戴忠柱, 姜蘊(yùn)芝, 初裴裴

(營口理工學(xué)院 基礎(chǔ)部, 遼寧 營口 115014)

眾所周知,Lorenzian空間中超曲面的研究在廣義相對論中起著很重要的作用.超曲面是余維數(shù)為1的子流形,作為子流形的代表得到了廣泛研究.1982年,Thurston[1]給出了空間中關(guān)于幾何化猜想的八個模型以來,許多數(shù)學(xué)工作者對與該結(jié)論相關(guān)的乘積空間中子流形問題進(jìn)行了深入研究,并將其推廣到Lorenzian乘積空間中的超曲面問題,關(guān)于刻畫Lorenzian乘積空間中超曲面的相關(guān)幾何問題,近幾年逐漸成為一個活躍的研究課題之一,見文獻(xiàn)[2-3].

偽平行超曲面是半平行超曲面的自然推廣,是幾何弦理論的模型空間,因此刻畫偽平行超曲面的特征具有一定意義.對于空間形式及黎曼乘積空間中的偽平行超曲面的分類已經(jīng)得到許多深刻的結(jié)果[4].關(guān)于偽黎曼空間形式中偽平行超曲面還沒有完全分類結(jié)果,但也得到了許多深刻的結(jié)論,Magid[5]研究了Lorenzian空間中平行及半平行超曲面并給出了相應(yīng)的分類結(jié)果,劉建成等[6]研究偽黎曼空間形式中偽平行類空子流形,將黎曼空間形式中偽平行,半平行概念推廣到偽黎曼空間形式中,刻畫了偽平行超曲面的存在性及幾何特征.類比黎曼乘積空間中研究偽平行超曲面的方法,本文研究高維Lorenzian乘積空間Mn(c)×R1中偽平行超曲面存在的充要條件及基本的結(jié)論.

1 預(yù)備知識

設(shè)Mn(c)×R1是Lorenzian乘積空間,其度量為〈,〉=〈,〉Mn-dt2.其中Mn(c)是n維單連通黎曼流形,具有誘導(dǎo)度量〈,〉Mn.光滑浸入f:Σn→Mn(c)×R1是類空超曲面,記

為外圍空間Mn(c)×R1的單位類時向量場.對于任意η∈T⊥Σn,T∈TΣn

?t=f*T+〈η,?t〉η=T+〈η,?t〉η

假設(shè)η和?t具有相同的時間定向

其中:θ是η與?t所成的雙曲角.

式中:X,Y∈TΣn,A：TΣn→TΣn為Σn限制到高斯映照N上的形狀算子或第二基本形式.

Σn上的曲率算子R定義為

R(X,Y)Z=[X,Y]Z-[X,Y]Z

(3)

式中：X,Y,Z∈T(Mn(c)×R1),X*為X在Mn(c)上的投影,且X*=X+〈X,?t〉?t，ε=±1.

Gauss方程和Codazzi方程分別為

式中：X,Y,Z∈TΣn；V∈T⊥Σn.

(6)

定義1設(shè)f:Σn→Mn(c)×R1是等距浸入,若對于任意的X,Y∈TΣn,存在Σn上的實(shí)值光滑函數(shù)φ,使得

R(X,Y)·B=φ(X∧Y)·B

則稱f是偽平行浸入.

若對于任意的X,Y,Z,W∈TΣn,特別地,當(dāng)φ=0時,f是半平行浸入.由此可見,偽平行浸入是半平行浸入的一個推廣.

定義2設(shè)H是Σn在Mn(c)×R1中的平均曲率向量場,如果R⊥(X,Y)H=0,則稱f是H-平行浸入.

2 主要定理及證明

定理1設(shè)f:Σn→Mn(c)×R1是等距浸入,f是偽平行浸入當(dāng)且僅當(dāng)

(λj-λi)(c-cε|Tj|2-cε|Ti|2+ελiλj+φ)=0

(9)

或

cεTjTk(λi-λk)=0,(k≠i,j)

(10)

式中:T□=〈T,e□〉,λi,λj,λk是Σn的主曲率.

證明令{e1,e2,…,en}為Σn上局部正交標(biāo)架場,由偽平行的定義有

另一方面,由Gauss方程(6)及B(ei,ei)=〈Aηei,ei〉η=λiη

將上述兩式代入

由偽平行的定義有

φ(λi-λj)=(λj-λi)(c-cε|Tj|2-

cε|Ti|2+ελiλj)η

(λj-λi)(c-cε|Tj|2-cε|Ti|2+ελiλj+φ)=0

同理

R(ei,ej)ek=-εTjTkei+εTiTkej

由偽平行的定義

定理得證.

定理2設(shè)f:Σn→Mn(c)×R1是偽平行浸入,則f是H-平行浸入.

證明f:Σn→Mn(c)×R1是偽平行浸入,對任意法向量場η∈T⊥Σn,選取Σn的切標(biāo)架場{e1,e2,…,en}使得Aηei=λiei,i=1,2,…,n,則對于任意X,Y∈TΣn

另一方面

2〈B(R(X,Y)ei,ei),η〉}=

n〈R⊥(X,Y)H,η〉

結(jié)合兩式有

R⊥(X,Y)H=0

定理得證.

定理3令f:Σn→Mn(c)×R1是至少具有三個特征值的偽平行類空超曲面,則形狀算子Aη有如下表示:

證明令{e1,e2,…,en}為Σn上局部正交標(biāo)架場,滿足:

Aηei=λiei,?i∈{1,2,…,n}

情形1:T?span{ei,ej},則存在k∈{1,…,n}-{i,j}使得Tk≠0.由方程(10)可知Ti=Tj=0,即T⊥{ei,ej},根據(jù)方程(9)得到λiλj=c+φ;

情形2:T∈span{ei,ej},根據(jù)方程(11)得到λiλj=ccosh2θ+φ;

由以上討論,假設(shè)Aη的三個特征值為ν,μ,λ,對應(yīng)特征向量的下標(biāo)組成的集合分別記為A,B,C.則λμ,λν,νμ∈{c+φ,ccosh2θ+φ},說明三個乘積之間至少有兩個相等,不妨假設(shè)λν=μν,若ν≠0,則λ=μ,與假設(shè)至少有三個特征值矛盾,于是令ν=0,即λν=μν=0,λμ≠0∈{c+φ,ccosh2θ+φ}.

2) 當(dāng)c+φ=0時,λμ=μν=0=c+φ,由情形1,T⊥span{ei,ej},?j∈B∪C,?i∈A,說明T=0與假設(shè)矛盾.即λμ=-csinh2θ.定理得證.

說明:由定理3可知,φ=-ccosh2θ≠0對于Lorentzian乘積空間Mn(c)×R1中具有三個不同主曲率的類空超曲面,不可能是半平行類空超曲面.

推論1令f:Σn→Mn(c)×R1是至少具有三個特征值的為平行類空超曲面,則Σn是常角超曲面.

X(coshθ)=-〈AηX,T〉=0

說明coshθ是常數(shù).