滕兆春, 王俊淋

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

隨著現(xiàn)代社會(huì)工程建設(shè)的快速發(fā)展,彈性地基上各類板狀結(jié)構(gòu)在工程中的應(yīng)用前景越來(lái)越廣泛[1].工程中常見的地基模型有：彈性連續(xù)介質(zhì)模型、Winkler模型、粘彈性模型、雙參數(shù)模型等.Winkler模型認(rèn)為地基上某點(diǎn)的沉降只與該點(diǎn)作用的載荷有關(guān),而與其它點(diǎn)的載荷無(wú)關(guān)[2]；彈性連續(xù)介質(zhì)模型將地基視為完全相連的彈性體,在求解過(guò)程中通常都需要求解微分方程,在數(shù)學(xué)上較為困難.Winkler-Pasternak地基作為一種對(duì)Winkler地基模型的修正[3],同時(shí)也沒有彈性連續(xù)介質(zhì)地基模型在數(shù)學(xué)上遇到的困難,更接近工程中的實(shí)際情況[1].在Winkler地基模型的基礎(chǔ)上,Winkler-Pasternak地基模型假設(shè)各彈簧之間存在相互的剪切作用,且該剪切作用通過(guò)一層只能產(chǎn)生豎向剪切變形而不能被壓縮的剪切薄層與彈簧單元相連來(lái)實(shí)現(xiàn)[4].

功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是指兩種或兩種以上的材料從一側(cè)到另一側(cè)連續(xù)變化[5],從而使不同材料之間的性能也得以連續(xù)變化,以滿足構(gòu)件的不同部位對(duì)材料使用性能需求的不同, 特別在減緩熱應(yīng)力方面其性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)復(fù)合材料.正是因?yàn)檫@種優(yōu)越的力學(xué)性能,使得FGM應(yīng)用到更多的領(lǐng)域,特別在航空航天、核工業(yè)、光學(xué)器件等尖端領(lǐng)域.目前對(duì)彈性地基和FGM的研究也較多,諸如：Reddy等[6]用有限元方法對(duì)熱機(jī)耦合FGM圓柱和板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)熱彈響應(yīng)做了分析.蒲育等[7]在二維線彈性理論的基礎(chǔ)上,利用Hamilton建立了FGM 板面內(nèi)自由振動(dòng)的控制微分方程,然后采用微分求積法(Differential Quadrature Method,DQM),研究了四邊彈性約束條件下FGM 矩形板面內(nèi)自由振動(dòng)的無(wú)量綱頻率.Latifi等[8]在經(jīng)典板理論的基礎(chǔ)上,利用傅里葉級(jí)數(shù)展開研究了受面內(nèi)載荷FGM矩形板在各種邊界條件下的動(dòng)力屈曲.Na等[9]用有限元方法研究了功能梯度陶瓷復(fù)合材料的三維熱機(jī)屈曲并分析了功能梯度材料結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)厚比、體積分?jǐn)?shù)分布和系統(tǒng)幾何參數(shù)對(duì)FGM板熱屈曲性能的影響.Gupta等[10]基于非多項(xiàng)式高階剪切和法向變形理論,采用有限元方法研究Winkler-Pasternak地基上FGM板的彎曲與振動(dòng)問(wèn)題,并分析了各種邊界條件、幾何條件、地基參數(shù)和兩種微力學(xué)材料模型對(duì)功能梯度板彎曲和振動(dòng)響應(yīng)的影響.周鳳璽等[11]在三維線性熱彈性理論的基礎(chǔ)上,運(yùn)用Laplace變換和打靶法,求得了在熱沖擊下四邊簡(jiǎn)支FGM矩形板的熱響應(yīng),并分析了材料的組分分布和功能梯度材料的熱響應(yīng)行為之間的關(guān)系.Liang等[12]利用Laplace變換和微分求積法求得了FGM 圓板在雙參數(shù)黏彈性地基上瞬態(tài)響應(yīng)的解析解.滕兆春等[13]使用DQM法,數(shù)值研究了變厚度矩形板在彈性地基上橫向自由振動(dòng)的頻率特性.劉麗威[14]用DQM研究了不同邊界條件下長(zhǎng)寬比和剪切變形對(duì)FGM板頻率的影響.王小崗等[15]利用撓度試函數(shù)和Galerkin 法求得四邊自由的變厚度矩形板在Winkler彈性地基上的自振頻率方程和算式.國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開的對(duì)功能梯度材料在各種載荷作用下力學(xué)響應(yīng)的研究雖然較多,但鮮有關(guān)于同時(shí)考慮多種邊界條件和Winkler-Pasternak彈性地基上四邊受壓功能梯度矩形板的自由振動(dòng)與屈曲特性的報(bào)道.同時(shí)以上求解FGM板自由振動(dòng)、彎曲和屈曲問(wèn)題的方法雖多,例如有限元方法,適用于復(fù)雜邊界條件,但需要大量的前期準(zhǔn)備工作、密集的網(wǎng)格和較大的計(jì)算量,才能保證計(jì)算結(jié)果滿足所需的精度[16],DQM又因?yàn)檫吔鐥l件的限制或公式推導(dǎo)的繁瑣,使求解變得也較為麻煩.

微分變換法(differential transform method,DTM)是一種相對(duì)于有限元等可不采用結(jié)點(diǎn)而通過(guò)變換式迭代求解獲得較高計(jì)算精度結(jié)果的一種半解析方法,它可以將邊界條件和微分方程結(jié)合,將其變換成相應(yīng)的代數(shù)方程求解.最初該方法被運(yùn)用于電路問(wèn)題的分析[17],近年來(lái)也逐漸被用于結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解[18-21],且編寫程序簡(jiǎn)單,計(jì)算結(jié)果精度高,完全能滿足工程實(shí)際的要求[22].本文運(yùn)用DTM對(duì)多種邊界條件Winkler-Pasternak地基上四邊受壓FGM矩形板的自由振動(dòng)和屈曲特性展開研究.

1 問(wèn)題的描述及基本方程

1.1 問(wèn)題的基本描述

在均勻的Winkler-Pasternak彈性地基上放置一塊由兩種材料組成的四邊受壓FGM矩形板,并建立如圖1所示坐標(biāo)系.FGM矩形板的長(zhǎng)寬高分別為a、b和h,長(zhǎng)寬比為λ=a/b,載荷Ny垂直于y軸截面,載荷Nx垂直于x軸截面,kw、qw分別為地基的彈性剛度系數(shù)以及剪切剛度系數(shù),w表示板橫向的位移分量.y=0和y=b兩處邊界條件為簡(jiǎn)支(S),其余兩對(duì)邊外的邊界條件為簡(jiǎn)支(S)或固支(C).以下FGM矩形板四條直邊的邊界條件表示均按x=0、y=b、x=a和y=0的順序給出.

圖1 Winkler-Pasternak彈性地基上四邊受壓FGM板的幾何模型Fig.1 Geometric model of FGM plate under four-sided compression on Winkler-Pasternak elastic foundation

假設(shè)材料常數(shù)沿厚度方向遵循如下規(guī)律變化[23]：

(1)

式中：P表示材料的彈性模量E、剪切模量G或密度ρ;Pc、Pm分別表示兩種材料的物性參數(shù);z表示沿板厚度方向的坐標(biāo)；k表示梯度指數(shù),它取不同的值代表成分含量不一的功能梯度材料.

Winkler地基假定地基界面上任一點(diǎn)的壓力強(qiáng)度與該點(diǎn)的沉降量成線性變化,則在任意時(shí)間t,數(shù)學(xué)模型為

H(x,y,t)=kww(x,y,t)

(2)

Winkler-Pasternak考慮各彈簧之間存在相互的剪切作用,且彈性地基之間始終保持接觸,則在任意時(shí)間t,地基的載荷與位移關(guān)系可表示為

H(x,y,t)=kww-qw2w

(3)

1.2 基本方程

物理中面取薄板的正應(yīng)變與正應(yīng)力為零的面(z=z0).

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行積分可得

(5)

式中

位移分量：

(6)

應(yīng)變分量：

(7)

物理方程為

(8)

式中

A21=A12,A22=A11

FGM板的抗彎剛度、抗扭剛度為

(9)

將式(5)代入式(9),可得

2 控制微分方程及參數(shù)的無(wú)量綱化

由經(jīng)典薄板理論可得面內(nèi)受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上的應(yīng)變能U、動(dòng)能T、外力引起的勢(shì)能V分別表示如下：

(10)

(11)

(12)

對(duì)Winkler-Pasternak彈性地基上面內(nèi)受壓FGM矩形板使用廣義Hamilton原理[24]

(13)

式中：δ為變分符號(hào);t為時(shí)間.將式(10～12)代入式(13)可得面內(nèi)受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上自由振動(dòng)和屈曲問(wèn)題的控制微分方程:

(14)

考慮FGM矩形板在y=0和y=b處的邊界條件為簡(jiǎn)支(S),取FGM矩形板的橫向位移函數(shù)為

(15)

(16)

式中

A0=D11ρc/ηDc

A1=-2(2D33+D12)m2π2λ2ρc/ηDc-

Qm2π2λ2ρc/η+Kρc/η

考慮FGM矩形板在X=0和X=1處的邊界條件為簡(jiǎn)支(S)或固支(C),其無(wú)量綱形式為

(17)

(18)

3 控制微分方程及邊界條件的DTM變換

式(12)結(jié)合邊界條件求其固有頻率及臨界屈曲載荷的解析解較為困難,這里采用微分變換法(DTM)求其數(shù)值解.運(yùn)用DTM求解微分方程,首先需要原函數(shù)可展開為 Taylor 級(jí)數(shù),然后經(jīng)DTM變換法則變換,使系統(tǒng)邊界條件和原微分方程(組)能變換為由離散函數(shù)組成的代數(shù)方程(組),在通過(guò)迭代解出含有未知量的多項(xiàng)式,最后進(jìn)行反變換,求得該微分方程級(jí)數(shù)形式的解.

基于Taylor公式,Fr為原函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)DTM變換后所得,表示為

(19)

式(19)被稱作f(x)在x=x0時(shí)的微分變換的正變換式,Fr被稱作f(x)的微分變換形式.

設(shè)函數(shù)f(x)可展開為Taylor級(jí)數(shù)且收斂,此時(shí)Fr能變換為f(x),表示為

(20)

式(20)被稱作微分變換的反變換形式.由式(19)和式(20)可得

(21)

DTM基于Taylor級(jí)數(shù)展開后不需要求解函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù),因此計(jì)算量大大減小.在實(shí)際應(yīng)用中,可用有限的級(jí)數(shù)表示f(x),則式(21)可寫成

(22)

式(16)經(jīng)DTM變換后可得其等價(jià)代數(shù)方程為

(23)

將式(23)移項(xiàng)化為遞推形式有

(24)

這里r=0,1,2,3,…,n,DTM邊界條件變換如下:

在X=0處,簡(jiǎn)支(S):

(25)

在X=0處,固支(C):

(26)

在X=1處,簡(jiǎn)支(S):

(27)

在X=1處,固支(C):

(28)

經(jīng)式(23)迭代累加并結(jié)合邊界條件式(25～28)可分別求得四邊簡(jiǎn)支(SSSS)和三邊簡(jiǎn)支一邊固支(SSCS)的頻率特征方程如下:

(29)

(30)

要使其存在非零解,則

(31)

FGM矩形板失穩(wěn)時(shí)其固有頻率應(yīng)為零.式(23)中令無(wú)量綱固有頻率Ω=0,則此時(shí)對(duì)應(yīng)的最小屈曲載荷為臨界屈曲載荷Ncr,其求解過(guò)程類似于Ω的求解過(guò)程,可得

(32)

同理在邊界條件為對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固支(CSCS)和一邊固支三邊簡(jiǎn)支(CSSS)時(shí),可得到含有未知量無(wú)量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的特征方程：

由式(32～34),可分別求得邊界條件為SSSS、CSSS、SSCS、CSCS時(shí)的無(wú)量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr.為了保證無(wú)量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的精度,給定：

式中:η1、η2表示迭代誤差限,這里取η1=η2=0.000 001.

4 計(jì)算結(jié)果及分析

表1 材料力學(xué)性能Tab.1 Mechanical properties of materials

表2 均質(zhì)各向同性方板無(wú)量綱固有頻率的比較(Ω2=a5ω2ρH/D11)Tab.2 Comparison of dimensionless natural frequencies for homogeneous isotropic rectangular plates(Ω2=a5ω2ρH/D11)

表3 均質(zhì)各向同性矩形板臨界屈曲載荷的比較Tab.3 Comparison of critical buckling loads for homogeneous isotropic rectangular plates

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文有關(guān)FGM的計(jì)算精確,考慮取不同梯度指數(shù)k,并將問(wèn)題退化為無(wú)地基、無(wú)載荷的情形.表4給出了由Al/Al2O3組成的FGM方板在SSSS邊界條件下的前2階無(wú)量綱固有頻率值,并與文獻(xiàn)[27]的計(jì)算結(jié)果對(duì)比,計(jì)算結(jié)果吻合,這表明本文對(duì)功能梯度材料的計(jì)算正確.

表4 不同梯度指數(shù)k下四邊簡(jiǎn)支FGM矩形板無(wú)量綱固有頻率的比較Tab.4 Comparison of dimensionless natural frequencies for FGM rectangular plates with different gradient

圖2 不同邊界條件下梯度指數(shù)與FGM方板前三階無(wú)量綱固有頻率之間的關(guān)系曲線Fig.2 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and gradient index as boundary condition is different

圖3 不同邊界條件下無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)與FGM方板前3階無(wú)量綱固有頻率之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and dimensionless elastic stiffness coefficient as boundary condition is different

由圖2～圖5可知：在無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)、無(wú)量綱剪切剛度系數(shù)、外載荷、長(zhǎng)寬比一定時(shí),CSCS邊界的固有頻率最大、CSSS或SSCS的固有頻率次之、SSSS的固有頻率最小.這表明邊界條件約束越強(qiáng),FGM矩形板的無(wú)量綱固有頻率就越大.

圖5 不同邊界條件下長(zhǎng)寬比與FGM矩形板前3階無(wú)量綱固有頻率之間的關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM rectangular plates and length-width ratio as boundary condition is different

圖6 不同邊界條件下屈曲載荷與FGM方板前3階無(wú)量綱固有頻率之間的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between first three dimensionless natural frequencies of FGM square plates and buckling loads as boundary condition is different

圖7為CSCS和CSSS兩種邊界條件下K=200和Q=20時(shí),長(zhǎng)寬比λ對(duì)臨界屈曲載荷的影響曲線.由圖7可知：在梯度指數(shù)、無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)、無(wú)量綱剪切剛度系數(shù)、邊界條件一定時(shí),臨界屈曲載荷隨著長(zhǎng)寬比的增大而減??；當(dāng)長(zhǎng)寬比小于2時(shí),屈曲載荷Ncr隨著長(zhǎng)寬比的變化更顯著；長(zhǎng)寬比大于2時(shí),屈曲載荷Ncr隨著長(zhǎng)寬比的變化更趨于平緩；長(zhǎng)寬比、無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)、無(wú)量綱剪切剛度系數(shù)、邊界條件一定時(shí),臨界屈曲載荷隨著梯度指數(shù)的增大而減小.

圖7 不同梯度指數(shù)下長(zhǎng)寬比與臨界屈曲載荷之間的關(guān)系曲線Fig.7 Relationship between critical buckling loads and length-width ratio at different gradient indexes

5 結(jié)論

本文在經(jīng)典薄板理論和廣義Hamilton原理的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了四邊受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上的自由振動(dòng)與屈曲控制微分方程并進(jìn)行無(wú)量綱化.使用DTM對(duì)無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件進(jìn)行變換,利用MATLAB軟件對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行編程,計(jì)算出不同邊界條件下四邊受壓FGM矩形板在Winkler-Pasternak彈性地基上自由振動(dòng)的無(wú)量綱固有頻率和臨界屈曲載荷并對(duì)其特性進(jìn)行分析.考慮FGM矩形板的邊界條件為對(duì)邊簡(jiǎn)支和其余兩邊為簡(jiǎn)支或固支的任意組合,因此本文能解決FGM矩形板相對(duì)較多的邊界條件,并得到以下結(jié)論：

1) FGM矩形板的無(wú)量綱固有頻率隨著梯度指數(shù)的增大而減小,且k處于0到1之間,頻率減小更顯著,后逐漸趨于穩(wěn)定.

2) FGM矩形板的無(wú)量綱固有頻率隨著無(wú)量綱彈性剛度系數(shù)、無(wú)量綱剪切剛度系數(shù)和長(zhǎng)寬比的增大而增大,且高階頻率增大更明顯；邊界條件約束越強(qiáng),FGM矩形板的無(wú)量綱固有頻率越大.

3) FGM矩形板的無(wú)量綱固有頻率隨著面內(nèi)壓載荷的增大而減小,且能減小至0,此時(shí)對(duì)應(yīng)的壓載荷即為FGM矩形板的臨界屈曲載荷.

4) FGM矩形板的臨界屈曲載荷隨著長(zhǎng)寬比和梯度指數(shù)的增加而減小,且當(dāng)長(zhǎng)寬比小于2時(shí),屈曲載荷隨著長(zhǎng)寬比的變化更顯著.

5) 本文采用的DTM 法,編寫程序簡(jiǎn)單,計(jì)算精度高,特別對(duì)特征值問(wèn)題具有明顯的優(yōu)勢(shì),研究可為 FGM矩形板的設(shè)計(jì)及分析提供有效的依據(jù).