姚海樓，呂鑫龍

(北京工業(yè)大學理學部數學學院，北京 100124)

斜群代數最早與文獻[1]中奇點的研究有著密不可分的聯(lián)系. Reiten等[2]對斜群代數做了系統(tǒng)且全面的總結,這使得斜群代數的表示理論初露端倪并且逐漸成為研究熱點. 目前,斜群代數已成為代數表示論研究領域中的重要課題之一[3-5].

傾斜理論最早是由英國數學家Brenner等[6]提出并加以發(fā)展的. Miyashita等[7]定義了具有有限投射維數的傾斜模,并且討論了其基本的性質. 結合余代數的研究方法,Wang[8]定義了余代數的傾斜余模,詳細討論了傾斜內射余模和傾斜內射維數. 受此啟發(fā),在Artin代數上引入傾斜投射模和傾斜投射維數的概念,并研究其性質. 還研究了ArtinR-代數Λ和斜群代數ΛG的傾斜整體維數之間的關系.

設Λ是一個ArtinR-代數，G是一個有限群,ΛG是一個斜群代數. 本文利用斜群代數和傾斜模的性質,研究斜群代數的傾斜維數. 證明了Λ-模X的傾斜投射維數與ΛG-模ΛG?ΛX的傾斜投射維數相等; 進一步,證明了ArtinR-代數Λ的傾斜整體維數和斜群代數ΛG的傾斜整體維數相等.

1 預備知識

設R為Artin交換環(huán)，

定義1[9]設G是有限群，G在Λ上的R-代數作用是滿足下列條件的函數G×Λ→Λ.

1) 對所有σ∈G,σ∶Λ→Λ是R-代數的自同構.

2) (σ1σ2)(λ)=σ1(σ2(λ)),σ1,σ2∈G,λ∈Λ.

3) 1λ=λ,λ∈Λ,1是G的恒等元.

定義2[9]設G是一個有限群,Λ為ArtinR-代數,且G×Λ→Λ是G在Λ上的R-代數作用,則G在Λ上的斜群代數(記為ΛG)由下列條件給出.

1)ΛG作為Abel群是以G的元素為基的自由左Λ-模.

2)ΛG上的乘法定義為(λσσ)(λττ)=(λσσ(λτ))στ,λσ,λτ∈Λ,σ,τ∈G.

命題1[9]設ΛG是斜群代數且G的階|G|為n,則

1) 若n在Λ中可逆,則平凡ΛG-模Λ是一個投射模.

2) 若G平凡的作用在Λ上,即對任σ∈G和λ∈Λ有σλ=λ,則Λ是投射ΛG-模當且僅當n在Λ中可逆.

引理1[9]設Λ是ArtinR-代數,G為有限群,ΛG為斜群代數,則

1) 群G?ΛG是ΛG的一個基,其中ΛG是作為左和右Λ-模.

命題2[9]令Λ是R-代數Γ的子代數,且滿足如下條件，則有gl.dim(Γ)≥gl.dim(Λ).

1)Γ是投射左Λ-模.

2) 存在Γ的一個子群C,C是Γ的一個Λ-子雙模,使得Γ=ΛЦC.

推論1[9]設ΛG為斜群代數,則gl.dim(Λ)≤gl.dim(ΛG).

引理2[9]設ΛG是斜群代數且G的階|G|在Λ中可逆. 若Y是任意ΛG-模,則Y是AG?ΛY的直和加項.

命題3[9]設Λ是ArtinR-代數Γ的R-子代數,且滿足如下條件，則gl.dim(Γ)≤gl.dim(Λ).

1)Γ是投射右Λ-模.

2) 每一個Γ-模Y同構于Γ?ΛY的一個直和項.

推論2[9]令ΛG是斜群R-代數,且G的階|G|在Λ中可逆. 則gl.dim(Λ)≥gl.dim(ΛG).

由推論1和推論2可立刻得到如下定理:

定理1[9]令ΛG是斜群R-代數,且G的階|G|在Λ中可逆,則gl.dim(Λ)=gl.dim(ΛG).

命題4[9]令Λ是ArtinR-代數Γ的R-子代數. 則下面2條敘述是等價的.

1) 從modΛ到modΛG的函子HomΛ(Γ,-)與函子Γ?Λ-是自然同構的.

2) 下面的條件均是成立的.

①Γ是投射左Λ-模.

②Γ和HomΛ(Γ,Λ)作為Γ-Λ-雙模是同構的.

命題5[9]令ΛG是斜群代數,則從modΛ到modΛG的函子ΛG?Λ-和函子HomΛ(ΛG,-)是自然同構的.

定理2[10](相伴性定理) 假設R和S是2個環(huán),M是一個(R,S)-模,即左S右R-模,E是左S-模,A是左R-模. 則有群同構

ω∶HomR(A,HomS(M,E))→
HomS(M?RA,E),φ→f
φ(a)(m)=f(m?a)∈E

定義3[11]設A為代數,A-模T稱為偏傾斜模,如果T滿足條件

1) proj.dim(TA)≤1.

定義4[11]偏傾斜模T稱為傾斜模,若它還滿足條件

3) 存在下述的一個短正合列

0→AA→T′A→T″A→0

式中T′，T″∈addT,其中addT是由有限多個T的直和的直和加項構成的模類.

注1[11]T關于模的同態(tài)像,直和及擴張是封閉的.

定義6令M是一個Λ-模. 定義M的傾斜投射維數為

t.proj.dim(M)=

inf{n|0→En→…→E1→E0→M→0}

其中0→En→…→E1→E0→M→0是M的一個傾斜投射分解,且所有的Ei是傾斜投射Λ-模. 若不存在這樣的n,則稱M的傾斜投射維數為無窮的,記為t.proj.dim(M)=∞.

定義7令M是右Λ-模. 定義ArtinR-代數Λ的右傾斜整體維數

t.rgl.dim(Λ)=sup{t.proj.dim(M)|M∈modΛ}

以同樣的方式,也可定義ArtinR-代數的左傾斜整體維數.

2 主要結果

首先，有傾斜投射模的等價條件的命題.

命題1對一個模M,下列敘述等價.

1)M是傾斜投射的.

3) 對任何形如下述的短正合列

其中N1∈T,和任何的模同態(tài)f∶M→N2,存在一個模同態(tài)g∶M→N,使得h°g=f.

4) 如果N∈T,則任何形如下述的短正合列

0→N→E→M→0

是可裂的.

證明: 1)?2)對任何的L∈T,存在一個短正合列

0→L→I→N→0

(1)

式中I是內射的.

因M是傾斜投射的,應用函子HomΛ(M,-),則有長正合列

應用函子HomΛ(T,-)于短正合列(1),得如下長正合列

于是,短正合列(1)為T中的短正合列. 又因函子HomΛ(M,-)保持T中序列的正合性,故有正合列

0→HomΛ(M,L)→HomΛ(M,I)
→HomΛ(M,N)→0

2)?3) 對任意的下述短正合列

式中N1∈T，和任何模同態(tài)f∶M→N2，應用函子HomΛ(M,-),可得下述長正合列

0→HomΛ(M,N1)→HomΛ(M,N)
→HomΛ(M,N2)→0

因此,對任何的模同態(tài)f∶M→N2,存在一個模同態(tài)g∶M→N,使得h°g=f.

3)?4) 對任意的短正合列

因N∈T,對恒等同態(tài)1M∶M→M,由3)知,存在一個模同態(tài)g∶M→E使得h°g=1M. 因此該短正合列是右可裂的,從而是可裂的.

4)?1) 取T中的短正合列

0→A→B→C→0

應用函子HomΛ(M,-),可得下述長正合列

0→HomΛ(M,A)→HomΛ(M,B)→
HomΛ(M,C)→0

由傾斜投射模定義可知,M是傾斜投射的.

定理1令X是Λ上的傾斜模,則ΛG?ΛX是ΛG上的傾斜模.

證明: 首先,因為X是Λ上的傾斜模,于是有proj.dim(X)≤1,從而得到X的投射分解

0→P1→P0→X→0

(2)

式中P1、P0是投射Λ-模. 由預備知識中的命題2、3,推論1、2及定理1可知,ΛG作為左和右Λ-模都是投射的,于是得到ΛG?ΛX的投射分解

0→ΛG?ΛP1→ΛG?ΛP0→ΛG?ΛX→0

(3)

式中ΛG?ΛP1、ΛG?ΛP0是投射ΛG-模. 因此得到

proj.dimΛG(ΛG?ΛX)≤proj.dim(X)≤1

其次,應用函子HomΛG(-,ΛG?ΛX)于短正合列(3)得到長正合列

再由預備知識中的定理2可得

HomΛG(ΛG?ΛX,ΛG?ΛX)?
HomΛ(X,HomΛG(ΛG,ΛG?ΛX))?
HomΛ(X,ΛG?ΛX)
HomΛG(ΛG?ΛP0,ΛG?ΛX)?
HomΛ(P0,HomΛG(ΛG,ΛG?ΛX))?
HomΛ(P0,ΛG?ΛX)
HomΛG(ΛG?ΛP1,ΛG?ΛX)?
HomΛ(P1,HomΛG(ΛG,ΛG?ΛX))?
HomΛ(P1,ΛG?ΛX)

應用函子HomΛ(-,ΛG?ΛX)于短正合列(2)可得長正合列

所以,得

因此,函子HomΛ(-,ΛG?ΛX)保持短正合列(2)的正合性.

于是,函子HomΛG(-,ΛG?ΛX)保持短正合列(3)的正合性,故得如下短正合列

0→HomΛG(ΛG?ΛP1,ΛG?ΛX)→
HomΛG(ΛG?ΛP0,ΛG?ΛX)→
HomΛG(ΛG?ΛX,ΛG?ΛX)→0

最后,因X是Λ上的傾斜模,則存在短正合列

0→Λ→X′→X″→0

式中X′、X″∈addX. 因ΛG是投射左和右Λ-模,知ΛG?Λ-保持序列正合性,故得到短正合列

0→ΛG?ΛΛ→ΛG?ΛX′→ΛG?ΛX″→0

式中ΛG?ΛX′和ΛG?ΛX″屬于addΛG?ΛX.

綜上所述,ΛG?ΛX是ΛG上的傾斜模.

定理2如果X是關于T的傾斜投射模,則ΛG?ΛX是關于ΛG?ΛT的傾斜投射模.

證明: 因T是傾斜模,由定理1可知ΛG?ΛT是傾斜模.

0→A→B→C→0

(4)

由于A、B、C是ΛG-模,則A、B、C也可以看成是Λ-模. 故短正合列(4)也可看成是Λ-模的短正合列.

于是得

HomΛG(ΛG?ΛT,A)?HomΛ(T,HomΛG(ΛG,A))?
HomΛ(T,A)
HomΛG(ΛG?ΛT,B)?HomΛ(T,HomΛG(ΛG,B))?
HomΛ(T,B)
HomΛG(ΛG?ΛT,C)?HomΛ(T,HomΛG(ΛG,C))?
HomΛ(T,C)

0→HomΛG(ΛG?ΛT,A)→HomΛG(ΛG?ΛT,B)→
HomΛG(ΛG?ΛT,C)→0

從而函子HomΛG(ΛG?ΛT,-)保持短正合列(4)的正合性. 將A、B、C看成是Λ-模時,由上述同構關系,有短正合列

0→HomΛ(T,A)→HomΛ(T,B)→HomΛ(T,C)→0故函子HomΛ(T,-)也保持短正合列(4)的正合性. 故A、B、C也屬于T.

應用函子HomΛG(ΛG?ΛX,-)于短正合列(4),得如下長正合列

再由預備知識中的定理2可得

HomΛG(ΛG?ΛX,A)?HomΛ(X,HomΛG(ΛG,A))?
HomΛ(X,A)
HomΛG(ΛG?ΛX,B)?HomΛ(X,HomΛG(ΛG,B))?
HomΛ(X,B)
HomΛG(ΛG?ΛX,C)?HomΛ(X,HomΛG(ΛG,C))?
HomΛ(X,C)

因為HomΛ(X,-)在T中保持序列的正合性,故函子HomΛG(ΛG?ΛX,-)也保持短正合列(4)的正合性,即HomΛG(ΛG?ΛX,-)在T′中保持序列的正合性. 因此,ΛG?ΛX是關于ΛG?ΛT的傾斜投射模.

定理3對左Λ-模M,下列敘述是等價的

1) t.proj.dim(M)≤n.

2) 如果存在一個正合列

0→X→En-1→…→E1→E0→M→0

其中所有Ei為傾斜投射的,則X是傾斜投射的.

證明: 1)?3)對n用歸納法. 若t.proj.dim(M)≤1,則由定義得短正合列

0→E1→E0→M→0

其中E1、E0是傾斜投射的. 應用函子HomΛ(-,L)于上述正合列得

0→L→I→N→0

其中I是內射的. 應用函子HomΛ(M,-)于上述短正合列得

3)?2)對任何模L∈T,考慮正合列

其中所有的Ei是傾斜投射的. 于是有短正合列

0→Imd1→E0→M→0
0→X→En-1→Imdn-1→0
0→Imdi+1→Ei→Imdi→0

2)?1) 假設正合列

0→X→En-1→…→E1→E0→M→0

是M的傾斜投射分解. 由傾斜投射維數的定義立刻得到t.proj.dim(M)≤n.

1)?4)與1)?3)是類似的.

4)?1)令序列

0→X→En-1→…→E1→E0→M→0

考慮到

由于K是有限生成的,而Λ是Artin代數,從而為Noether代數,故K是Artin模也是Noether模,即K有合成列.

設C是K的任意子模,則K/C也有合成列,從而K與K/C分別有合成列長度l(K)和l(K/C).

即K∈T,因此Γ≠?,即Γ為K的一個子模集.

令H={l(K/C)|C∈Γ},則H是非負整數集,并且對任何的C∈Γ,都有l(wèi)(K/C)≤l(K).

故H中存在最大非負整數n,不妨設Z∈Γ使得l(K/Z)=n.

下面分情況1和情況2討論.

情況2 若Z≠0. 以下再分2種情況討論.

情況2.1 若Z≠K,則K中存在一個極大子模N使得Z不包含在N中. 事實上,任取0≠z0∈Z,令Ω={Y|Y為K的子模并且z0∈Y}.

因K有合成列,故K滿足極大條件. 因此Ω中存在極大的子模Y0.

斷言Y0是K的極大子模. 應用反證法. 若Y0不是K的極大子模,則有Y的極大子模Y1包含Y0. 由于Y0在Ω中是極大的可知z0∈Y1,斷言Λz0+Y0=K,否則,存在z1∈K使得z1Λz0+Y0,故Λz1+Y0真包含Y0. 這與Y0在Ω是極大的相矛盾,于是Λz0+Y0=K. 由于z0∈Y1并且Y0?Y1,因此Y1=K,這與Y1是K的極大子模相矛盾. 所以,Y0是K的極大子模.

又因為K/Y0為單模,故μ為同構,從而Z/Q為單模,并且Z/Q?K/Y0∈T. 而Q是Z的極大子模,故有短正合列

即πQZ°πQ=πZ,這里πQ與πZ為自然滿同態(tài). 顯然,有2個交換圖

從而Q∈Γ,但l(K/Q)>l(K/Z),這與l(K/Z)是H中的最大數相矛盾. 故情況2.1不能出現.

情況2.2 若Z=K,則K中含有極大子模Q,從而有單模K/Q∈T. 于是有短正合列

應用函子HomΛ(X,-)作于上述短正合列,得

綜上,只有情況1成立,即X是傾斜投射模.

注2上述定理對右傾斜模TΛ也是成立的.

定理4令A,B,C是左Λ-模. 若序列

0→A→B→C→0

是正合的,則有如下關系.

1) 如果t.proj.dim(B)>t.proj.dim(A),則有

t.proj.dim(C)=t.proj.dim(B)

2) 如果t.proj.dim(B)

t.proj.dim(C)=t.proj.dim(A)+1

3) 如果t.proj.dim(B)=t.proj.dim(A),則有

t.proj.dim(C)≤t.proj.dim(A)+1

證明: 對任何模M∈T,任何n≥0,應用函子HomΛ(-,M),有長正合列

設t.proj.dim(B)=m,t.proj.dim(A)=n.

命題2令A、B、C都是左Λ-模. 如果序列

0→A→B→C→0

是正合的,并且A、B、C中有2個的傾斜投射維數有限,則第3個的傾斜投射維數也必然有限.

定理5令Λ是一個ArtinR-代數,G為有限群,M是左Λ-模. 則有關系

t.proj.dimΛ(M)=t.proj.dimΛG(ΛG?ΛM)

證明: 任取M的一個傾斜投射分解，

其中所有的Ei都是傾斜投射左Λ-模,于是得到ΛG?ΛM的一個傾斜投射分解

由定理2可知,其中所有的ΛG?ΛEi都是傾斜投射左ΛG-模. 若Imdn是傾斜投射Λ-模,則Im(1ΛG?dn)是傾斜投射ΛG-模. 因此有

t.proj.dimΛG(ΛG?ΛM)≤t.proj.dimΛ(M)

下面取ΛG?ΛM的一個傾斜投射分解

0→Fn→…→F1→F0→ΛG?ΛM→0

其中所有的Fi都是傾斜投射左ΛG-模,于是Fi作為Λ-模仍是傾斜投射的. 又因為ΛG可分解為n個Λ的直和,其中n=|G|,故有

t.proj.dimΛ(M)≤t.proj.dimΛG(ΛG?ΛM)

綜上所述,有

t.proj.dimΛ(M)=t.proj.dimΛG(ΛG?ΛM)

定理6令ΛG是斜群代數,群G的階|G|在Λ中可逆,則成立

t.gl.dim(Λ)=t.gl.dim(ΛG)

證明: 首先證明t.gl.dim(Λ)≤t.gl.dim(ΛG).

令X是左Λ-模,則ΛG?ΛX是ΛG-模. 下面取ΛG?ΛX的極小傾斜投射分解

0→En→…→E1→E0→ΛG?ΛX→0

(5)

其中所有的Ei都是傾斜投射的. 因ΛG是投射左Λ-模,故當正合列(5)被視為Λ-模的正合列時,可認為其是ΛG?ΛX作為Λ-模時的傾斜投射分解. 因此有

t.proj.dimΛG(ΛG?ΛX)≥t.proj.dimΛ(ΛG?ΛX)

因為ΛG作為雙模同構于Λ⊕C,其中C是ΛG的一個子雙模,故ΛG?ΛX作為左Λ-模有

ΛG?ΛX?(Λ?ΛX)⊕(C?ΛX)

因為Λ?ΛX?X,故X是ΛG?ΛX的直和加項. 因此,得到

t.proj.dimΛ(X)≤t.proj.dimΛ(ΛG?ΛX)

從而

t.proj.dimΛ(X)≤t.proj.dimΛ(ΛG?ΛX)≤
t.proj.dimΛG(ΛG?ΛX)

兩邊取上確界立刻得到

t.gl.dim(Λ)≤t.gl.dim(ΛG)

下面證明t.gl.dim(ΛG)≤t.gl.dim(Λ).

令Y是左ΛG-模. 則將Y視為Λ-模時有Λ-模傾斜投射分解

0→Et→…→E1→E0→Y→0

其中所有的Ei都是關于T的傾斜投射模. 因ΛG是Λ-投射的,故序列

0→ΛG?ΛEt→…→ΛG?ΛE1→
ΛG?ΛE0→ΛG?ΛY→0

(6)

是正合的. 再由定理2可知,其中所有的ΛG?ΛEi都是關于ΛG?ΛT的傾斜投射模. 因此,正合列(6)是ΛG?ΛY的一個傾斜投射分解. 于是,有

t.proj.dimΛG(ΛG?ΛY)≤t.proj.dimΛ(Y)

再由預備知識中的引理2可知,Y是ΛG?ΛY的直和加項. 于是,有

t.proj.dimΛG(Y)≤t.proj.dimΛG(ΛG?ΛY)

從而得到

t.proj.dimΛG(Y)≤t.proj.dimΛG(ΛG?ΛY)≤
t.proj.dimΛ(Y)

兩邊取上確界得

t.gl.dim(ΛG)≤t.gl.dim(Λ)

綜上所述,有t.gl.dim(Λ)=t.gl.dim(ΛG).

3 結論

1) 令A、B、C都是左Λ-模. 如果序列0→A→B→C→0是正合的,并且A、B、C中有2個的傾斜投射維數有限,則第3個的傾斜投射維數也必然有限.

2) 令ΛG是斜群代數,群G的階|G|在Λ中可逆,則:t.gl.dim(Λ)=t.gl.dim(ΛG).