陸祎雯

摘 要：在數學教學中，適當追求學生對數學知識理解的深刻性是必不可少的。將小學數學教學與對應的數學史融入課堂教學有助于學生更深層次的理解，提高數學學習的興趣，促進學生對該數學定理的應用，在形成數學定理過程中激發(fā)學生獨立思維，從而提高長期數學新授定理課課堂教學質量和培養(yǎng)學生獨立思考數學問題的能力。

關鍵詞：數學教育;數學史;獨立思維

記得一年級剛入學的學生會跑來問我為什么這門課叫數學，什么是數學？這個問題就像他們會仰著頭問爸爸媽媽他們是從哪里來的一樣熟悉和頻繁。數學課伊始學習寫阿拉伯數字。所以我總是從文字上詼諧地解讀“數學數學，學習數字呀！你們認真好好寫，數學才會學得好。”其實數學作為一門自然學科，真的很難用幾句話去概括何為數學，《義務教育數學課程標準（2011年版）》將數學定義為研究數量關系和空間形式的科學，是人類文化的重要組成部分并安排了四個部分的課程內容：“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”。

我思考了很久，什么是數學，數學從哪里來？何為數學史;該如何運用到課堂教學中去;哪些知識點可以利用數學史進行教學;運用了數學史能否真正有效提高教學質量;到底學生哪方面的數學素養(yǎng)得到了提升。美國著名數學史家、數學教育家M.克萊因似乎回答了筆者內心的部分疑惑。他說“歷史是教學的指南”。言下之意，數學史自然就是數學教學指南。

一、 緣起——兒童相見不相識，笑問客從何處來

一年級上冊在教授完“10以內數的認識”之后，課堂小結后有個學生提問“為什么這些數字叫阿拉伯數字？”這一提問竟然讓學生們統(tǒng)一得出了“錯誤標準”答案，“這些數字是阿拉伯人發(fā)明的唄！”還好我有所準備，孩子們在閱讀了PPT上的數學史料之后紛紛發(fā)出了恍然大悟的感嘆聲，原來阿拉伯數字是古印度人發(fā)明的，阿拉伯人傳播到歐洲去的。同時筆者分別講述在沒有數字之前其他三大古國記錄數量的方法。第二天家校聯(lián)系本溝通欄中就出現了阿拉伯數字的由來，很自豪表示爸爸媽媽沒搞懂的歷史被他們了解得一清二楚，有的在家里還做了回小老師，有的利用數字歷史甚至跟爸爸打賭贏得了額外的獎勵。一時之間，班里對數學的學習興趣高漲。這讓當時初上講臺的筆者初識數學史與數學教學相結合的美妙化學反應。

四年級下冊在教授“三角形內角和180°”之前，詢問學生“三角形內角和是多少？”學生們統(tǒng)一得出了“正確標準”答案——180°，追問為什么是180°時，學生的臉上紛紛出現了不自信表情回答著，有的說是自己量過得到，有的說是剪剪拼拼得到一個平角的。按照教案常規(guī)地進行授課，帶著學生對不同類型的三角形進行測量拼貼，總結出了三角形內角和180°。三角形內角和是180°對于學生而言就如同一句無意識的口號，在作業(yè)本中稍難一些的變式達成率不盡如人意。第二天，我提出了升級版問題“為什么三角形內角和180°，你能不測量，不剪拼來證明嗎？”教室里瞬間鴉雀無聲。有基礎差的學生干脆就放棄思考，靠著椅背望著天，畢竟“三角形內角和180°”這句口號他們喊得已經滾瓜爛熟了。筆者在備課初期就考慮到了這一點，對于已經熟記的數學定理，很多學生是不愿再花時間去進行多角度思考這條定理是否存在不同證明或者解法，似乎已經掌握了。這時候，出示PPT上為學生介紹法國著名數學家物理學家帕斯卡在12歲的時候沒有拼剪沒有測量就證明了“三角形內角和180°”。面對這個“爆炸性”的數學史料，學生們頓時來了興趣，歷史上竟然有個數學家在他們的年齡就完成了這個證明。不服輸的性子一下子就被激發(fā)出來了，學生們紛紛拿出了紙筆想要挑戰(zhàn)一下帕斯卡，說不定自己就是明日的數學家呢！

這兩個簡短的親身教學實例一直深深地印在筆者的腦海中，如果數學教學中滲透數學史內容（數學發(fā)展的歷史，數學趣味故事，數學家人物自傳等）而讓學生的思維活起來，這樣的數學課堂是不是就可以打破外學生對數學越學越沉默，視其為畏途的“偏見”？

二、情深——一枝獨秀不是春，百花齊放滿園春

翻閱書籍，一些數學史家和數學家早在19世紀就已經開始關注數學史的教育價值了。美國數學史家卡有利（F.Cajori）稱，一門學科的歷史乃是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”，認為數學史在課堂上可以激發(fā)學生的學習興趣;又稱，“學生所遭遇的困難往往是相關學科的創(chuàng)建者經過長期思索和探討后所克服的實際困難”1。在實際教學過程中，學生面對問題能主動思索多種解法是十分重要的，筆者想這體現了當下十分熱門的教育關鍵詞——以生為本和解題多樣化。這些解法可以是學生的，也可以是歷史上的。在課堂討論中，可采取互動的方式師生共同討論包括歷史方法在內的各種方式2。而實際上，由于歷史相似性的存在，即學生對數學概念的理解過程與數學概念的歷史發(fā)展過程具有一定的相似性，歷史上數學家所遭遇的困難正是學生所經歷的障礙3。

實際教學過程中，學生很多點與歷史上類似，有的是與數學家的總結數學定理時的年齡相仿;有的是計算過程，尋找的證明特例相似;有的是錯誤思路相似。當學生發(fā)現這些與歷史中偉大的數學家想法相似時，都不經感嘆“歷史總是驚人地相似！”臉上洋溢著自己都不經意的自信與喜悅。學生樂意并投入到現實的、探索性的數學活動中去，養(yǎng)成獨立思考問題的習慣。

對于小學一線教師來說利用數學史進行數學教學幫助學生進行獨立思考是件十分誘人的挑戰(zhàn)。教育部2013審定人教版數學教課書上往往以“你知道嗎？”一欄為對應課題的數學史進行滲透。筆者對課本上已有的數學史進行了整理。

一年級上冊：算籌、古埃及象形字、中國古代計時器

一年級下冊：七巧板、中國古代貨幣介紹

二年級上冊：現代多種測量工具、乘號的由來、用雙手表示9的乘法口訣、介紹我國兩千多年的乘法口訣歷史

二年級下冊：我國剪紙背景、計數的歷史演變、生活中的稱

三年級上冊：分數在我國的表示方式及其演化歷史

三年級下冊：指南針、除號的由來、二十四節(jié)氣歌、閏年的由來、地球自轉 24時區(qū)、小數出現的歷史

四年級上冊：三位一分節(jié)的大數的由來;數的由來及其發(fā)揚的歷史;我國歷史上0的表示方式;計算工具的發(fā)展、我國土地特有面積單位“畝”、意大利格子乘法、神奇的莫比烏斯帶

四年級下冊：小括號、中括號、大括號的由來、小數的由來及其歷史、《孫子算經》雞兔同籠

五年級上冊：什么是“數字黑洞”？ 方程的國內外史、《九章算術》方田章;劉徽出入相補原理

五年級下冊：完全數;哥德巴赫猜想、幾何學和歐幾里得、《九章算術》立體圖形體積計算公式、《九章算術》更相減損術

六年級上冊：《莊子？天下篇》一尺之棰，日取其半，萬事不竭、音樂五線譜中的分數、黃金比、圓周率：《周髀算經》祖沖之;《九章算術》方田章圓田術、恩格爾系數

六年級下冊：中外負數的發(fā)展歷史、圓柱容球（阿基米德）、抽屜原理、七橋問題

對于小學六年龐大的數學知識體系而言，教材上所羅列的數學史顯得頗有“地廣人稀”的感覺。所以筆者根據閱讀和搜集了課內外的小學數學歷史資料并將其與數學知識點一一對應。將歷史資料分為與課程標準一致的“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四大模塊。

數與代數：劉徽與小數的發(fā)明;分數和小數的由來;（韋達）字母表示數及其歷史，負數的歷史;阿基米德表示大數;手指算（16世紀）;格子算法（15世紀）;古印度數學家在除數是0上的錯誤思考;古代中國、印度和近代歐洲的分數除法;一元一次方程的歷史，移項（《九章算術》），盈不足問題（《九章算術》《算法統(tǒng)宗》），行程問題（斐波那契《計算之書》）。涵蓋知識點：小數;分數;字母表示數;大數的認識;一位數乘法;兩位數或多位數的乘法;正整數的除法;分數的除法;一元一次方程的概念、解法與應用。

圖形與幾何：泰勒斯與帕斯卡分別論證三角形內角和及其發(fā)展歷史;祖沖之計算圓周率;開普勒推導圓面積及圓面積公式的發(fā)展歷史;角的由來;圓的定義（《墨經》和《幾何原本》）;位置表示方法的歷史;出入相補原理。涵蓋知識點：三角形內角和;圓周率;圓的面積;角;圓;位置的表示法;三角形與梯形的面積。

統(tǒng)計與概率：恩格爾系數。

綜合與實踐：七巧板;莫比烏斯帶;數獨;加減乘除、等于大于小于、括號等數學符號的歷史;數學工具的發(fā)明（量角器、鐘等）。涵蓋知識點：正整數的四則運算等。

在歷史收集研究后，需要選擇制定出適合于課堂教學和兒童數學認知發(fā)展的教學設計。歷史資料的選用必須讓學生覺得有趣，有吸引力且兼?zhèn)鋽祵W教育意義;必須要符合史實，不能因新穎而隨意編造;最重要的一點是必須明確教學目標，不因為了歷史而上數學史，數學史始終為學生創(chuàng)造獨立思維，為達成教學目標所服務。

課本課本學生的根本。數學教材是最基礎的數學學習內容的集合。顯然，不論是教師在執(zhí)教過程中還是學生學習作業(yè)上都感受到了所要掌握的數學內容遠不止教材中的內容。數學教材并不是學生學習數學的唯一材料。在整理收集數學史的中筆者發(fā)現在這當中尋找數學教學資源宛若遇見了一個極大的寶藏?？梢詫滩南嚓P內容進行充實，既拓展了學生的數學視野，又豐富了學生對數學的理解，增強了學生獨立思考的能力。

三、 結緣——博觀而約取，厚積而薄發(fā)

如何將數學史料有效地融入數學教育教學實踐中，從而幫助學生增強獨立思考的能力呢？我們需要選擇合適于課堂教學的數學史。

（1） 課外知識拓展型

有的數學史可以作為課外知識的拓展，出示在課前或課堂總結后，例如展示有關數學家的生平故事等。在教學大數的認識時可以講述阿基米德數沙子的故事;在教學位置表示方法時可以講述笛卡爾與蒼蠅位置的故事（數對）;在教學圓周率時可以講述祖沖之推算的故事。

（2） 歷史“遺留”問題型

根據歷史資料改編成現代數學問題。例如《莊子？天下篇》一尺之棰，日取其半，萬事不竭，改編現代語言的數學問題，更改數據，學生們互相出題。還有四年級的雞兔同籠問題和六年級的七橋問題與歐拉定理。

（3） 復制粘貼拿來型

直接運用歷史上的數學問題或者解法等。例如在教學兩位數乘法時可以直接引入格子算法;在教學行程相遇問題時，直接采用《九章算術》中的鳧雁相逢問題或《計算之書》中的兩船相遇問題;在教學三角形內角和時，可直接引用帕斯卡的證明過程。在總結除法運算規(guī)律時可以直接運用“同頭無除商八、九”和“除數折半商四、五”的口訣，這我國古代勞動人民逐步總結出來的除法試商經驗。

（4） 分解重構型

借鑒或重新構建知識的發(fā)生、發(fā)展歷史。例如按照普洛克拉斯的“量—質—關系”4重現角概念的歷史。在教學提取最大公因數時可以借鑒我國古代的數學名著《九章算術》里，記載最大公因數的方法——“以少減多，更相減損”。在學習多邊圖形的面積時可以借鑒《九章算術》中記載著有關土地面積計算的內容，具體介紹了各種圖形的面積計算方法。著名數學家劉徽在注文中用“以盈補虛”的方法加以證明，并配有生動形象的圖。

沒有數學史的數學課堂不會怎么樣，有了數學史的數學課肯定不一樣。當學生面對數學史“笑問客從何處來”時，給他們想探求的歷史知識，促進獨立思維。面對數學教材的一枝獨秀，給學生的知識視野加點兒料，百花齊放才能滿園春。數學不再是枯燥乏味的，教師平日的靜心博觀，精心約取，課堂上才能讓學生達到厚積而薄發(fā)的效果。

參考文獻：

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[2]Kool M.An Extra Student in Your Classroom： How the History of Mathematics Can Enrich Interactive Mathematical Discussions at Primary School. Mathematics in School，2008，32（1）：19-22

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[4]Heath T L.The Thirteen Books of Euclid Elements.Cambridge：John Clay，1968：176-181