張仙鳳

(朔州師范高等專科學(xué)校，山西 朔州 036002)

0 引言

層次分析法(簡稱AHP)，通常將目標(biāo)問題劃分成若干部分(即元素)，根據(jù)屬性的不同，將這些部分劃分成不同的層次，最上面第一層通常是決策目標(biāo)，中間通常是子準(zhǔn)則層，最下面的一層為決策方案[1]，見圖1.

圖1 層次結(jié)構(gòu)圖

專家得出較為合理的判斷矩陣，并將判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)是非常重要的步驟，對決策是否成功起到關(guān)鍵的作用[2].

1 基本概念、性質(zhì)

1.1 相關(guān)概念

3)設(shè)A=(aij)是一個(gè)n階判斷矩陣.1)若aij>1，ajs≥1或aij≥1，ajs>1，則ais>1. 2)若aij=1，ajs=1，則ais=1，則稱A具有次序一致性[5].

1.2 基本一致性及次序一致性含義

1)基本一致性含義：從重要性來說，若元素A是元素B的3倍，元素B是元素C的2倍，則元素A的重要性是元素C重要性的6倍.

2)次序一致性含義：從重要性來說，若元素A比B重要，元素B比C重要，則A比C重要.

若不滿足次序一致性，此判斷矩陣不能作為合理的屬性測度及決策的依據(jù)[6].

2 檢測方法

2.1有向圖

設(shè)A=(aij)n×n是一個(gè)判斷矩陣，構(gòu)造A的有向圖G(U，F(xiàn))，其中頂點(diǎn)集U={1，2，…，n}，邊集F={(i，j)|i≠j，aij≥1}，即若i≠j，aij>1，則G中有一條從i到j(luò)的一條有向邊，記(i，j).稱aij為有向邊(i，j)的權(quán).若aij=1，則G中有i→j及j→i兩條有向邊.圖中不相同頂點(diǎn)的有向邊首尾相接形成的鏈稱為有向路.從一個(gè)頂點(diǎn)經(jīng)過有向途徑又回到這個(gè)頂點(diǎn)的有向路稱為一個(gè)有向圈.把G中屬于某個(gè)有向圈的所有有向邊的權(quán)值相乘，所乘結(jié)果就是該有向圈的強(qiáng)度.

2.2鄰接矩陣

圖2 有向圖的構(gòu)成

定理1矩陣的有向圖，若有邊長大于3的有向圈(也稱為3圈)，則一定存在邊長等于3的有向圈.

證明 假如存在邊長為4的有向圈，可以設(shè)(a，b，c，d)，若對節(jié)點(diǎn)a，c，如果有邊(a，c)，則可構(gòu)造出有向圈(a，c，d，a).若有(c，a)，則構(gòu)成(c，a，d，c).成功找到了邊長等于3的有向圈.邊長大于4的證明過程類似.

圖3 有向圖G1

圖4 有向圖G2

2.3 尋找次序不一致性元素

定理4B的3階順序主子矩陣B[β1,β2,β3]不含全為零的行和列，則A的有向圖G中包含一個(gè)節(jié)點(diǎn)為β1,β2,β3的3圈.

證明B的順序主子矩陣B[β1,β2,β3]無0行無0列，不妨設(shè)β1=1,β2=2,β3=3.當(dāng)i≠j，bij，bji至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)i=1，j=2.b12=b21=0.則b13，b23，b31，b32均不為0，所以必包含(1,3)、(3,1)、(2,3)、(3,2)的有向邊.所以含有(1,2,3,1)或(1,3,2,1)的3圈，則b12或b21不為0，所以假設(shè)不成立.

b12≠0，b23≠0，b31≠0，則有3圈(1,3,2,1).

b12≠0，b23=0,則b13≠0，b21≠0，b32≠0，則有3圈(1,2,3,1).

b12=0，則b13≠0，b21≠0，b32≠0，從而3圈(1,2,3,1).

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

順序主子矩陣B[1,2,4]，B[2,3,4]含有3圈分別為：(1,4,2,1)，(3,4,2,3)強(qiáng)度都不等于1，所以O(shè).I.=2，不合邏輯元素為：a12，a41，a24，a12，a24，a43.

例4 在例2中

1 2 4 1 3 4 1 3 5 2 3 4 3 4 5

順序主子矩陣B[1,2,4]，B[1,3,4]，B[1,3,5]，B[2,3,4]，B[3,4,5]含有3圈分別為：(4,2,1,4)，(1,4,3,1)，(5,3,1,5)，(3,4,2,3)，(5,3,4,5)強(qiáng)度都不等于1，所以O(shè).I.=2.不合邏輯元素為：a41，a12，a24；a41，a13，a34；a51，a13，a35；a32，a43，a24；a43，a54，a35.

2.4 修改不合邏輯元素

原則1.優(yōu)先修改出現(xiàn)次數(shù)最多的有向邊.從而降低判斷矩陣次序一致性指標(biāo)O.I..

兩元素性質(zhì)特別相近，決策者難以判別易造成判別不一致的結(jié)果，優(yōu)先修改強(qiáng)度接近1的元素.

原則3.出現(xiàn)次數(shù)相同，強(qiáng)度與1的接近程度也相同，則可同時(shí)修改相關(guān)元素.

3 結(jié)論

判斷矩陣的一致性研究是AHP非常重要的內(nèi)容，若判斷矩陣次序一致性差，則其不能運(yùn)用于決策中.本文利用圖論知識(shí)，在對判斷矩陣的次序一致性進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，將不合邏輯的元素找出，并給出三條修改意見，為決策者進(jìn)行數(shù)據(jù)分析及元素修改提供了依據(jù).