石 波，李待興，郭 偉，張益林

(中廣核研究院有限公司， 廣東深圳 518000)

小型堆由于具有用途廣泛、建設(shè)周期短和安全性高等優(yōu)點(diǎn)，逐漸成為國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[1]。但是，該堆型運(yùn)行工況比大型堆更復(fù)雜，需要控制系統(tǒng)具備快速的負(fù)荷跟蹤能力和良好的抗干擾能力。堆芯系統(tǒng)是保證壓水堆安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要組成部分，采用經(jīng)典控制理論很難實(shí)現(xiàn)堆芯功率的良好控制[2]。

廖龍濤等[3]采用加權(quán)多模型設(shè)計(jì)了堆芯內(nèi)模魯棒控制器。王俊玲等[4]利用點(diǎn)堆方程設(shè)計(jì)了自適應(yīng)保性能堆芯控制器。Rojas-Ramírez等[5]利用自適應(yīng)控制理論計(jì)算模糊隸屬度函數(shù)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)模糊堆芯控制器。Gong等[6]基于H∞輸出反饋控制理論設(shè)計(jì)了壓水堆功率魯棒控制器。Dong[7]根據(jù)非線性堆芯模型提出了自適應(yīng)跟蹤控制方法。Li等[8]采用T-S模糊模型設(shè)計(jì)了反應(yīng)堆模糊魯棒控制器。Kruger 等[9]基于反饋控制理論設(shè)計(jì)了功率魯棒控制器。

相比上述魯棒控制，筆者采用帶有回路傳輸恢復(fù)(LTR)的線性二次型高斯(LQG)控制，即LQG/LTR方法。該方法具有良好的魯棒性和解耦能力，同時(shí)對噪聲具有良好的抑制能力，可利用最小的控制能量獲得較小的控制誤差。LQG/LTR方法在航空航天等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。在反應(yīng)堆控制方面，該方法也用于大型堆的控制研究[10-12]，而小型堆的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和動態(tài)特性與大型堆差別較大，有必要進(jìn)一步探討LQG/LTR方法在該堆型功率控制中的應(yīng)用。筆者根據(jù)物理和熱工動力學(xué)原理建立了小型堆堆芯系統(tǒng)非線性仿真模型，并推導(dǎo)得到雙輸入雙輸出的狀態(tài)空間模型。在此模型基礎(chǔ)上，根據(jù)LQG/LTR方法的控制原理，開展小型堆堆芯系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和仿真驗(yàn)證。

1 堆芯系統(tǒng)建模

1.1 數(shù)學(xué)模型

堆芯系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型由點(diǎn)堆動力學(xué)方程、熱工水力守恒方程以及反應(yīng)性方程組成?；趩谓M緩發(fā)中子的點(diǎn)堆動力學(xué)方程[13]為：

(1)

式中：n為中子密度，m-3；ρ為總反應(yīng)性；β為有效緩發(fā)中子的數(shù)量占比；Ci為單組緩發(fā)中子先驅(qū)核密度，m-3；t為時(shí)間；Λ為中子代時(shí)間，s；λ為緩發(fā)中子衰變常數(shù)，s-1；

對式(1)進(jìn)行歸一化處理，令：

(2)

式中：nr為相對中子密度，%；Cr為單組緩發(fā)中子先驅(qū)核的相對密度，%；n100為額定功率下的中子密度，m-3；C100為額定功率下緩發(fā)中子先驅(qū)核的密度，m-3。

將式(2)代入式(1)，得到歸一化的點(diǎn)堆中子動力學(xué)方程為：

(3)

只考慮慢化劑溫度和燃料溫度的負(fù)反饋效應(yīng)，忽略氙、碘等毒物引入的反應(yīng)性反饋，則反應(yīng)堆總反應(yīng)性方程為：

(Tc10+Tc20)]

(4)

式中：ρrod為控制棒引入的反應(yīng)性；αf和αc分別為燃料溫度和冷卻劑溫度反應(yīng)性系數(shù)，K-1；Tf、Tc1、Tc2分別為燃料溫度、冷卻劑平均溫度和冷卻劑出口溫度，℃；Tf0、Tc10和Tc20分別為初始燃料溫度、初始冷卻劑平均溫度和初始冷卻劑出口溫度，℃。

熱工水力模型采用平均通道等效近似來處理，冷卻劑各節(jié)點(diǎn)的能量守恒方程以出口參數(shù)為集總參數(shù)，則燃料節(jié)點(diǎn)、2個(gè)冷卻劑節(jié)點(diǎn)的能量守恒方程為：

(5)

式中：P0為反應(yīng)堆滿功率，W；μf和μc分別為燃料和冷卻劑總熱容量，J/K；f為燃料產(chǎn)生熱量占總功率的比例；K為燃料與冷卻劑間的傳熱系數(shù)，W/K；qm,p為冷卻劑質(zhì)量流量，kg/s；cp,c為冷卻劑比定壓熱容，J/( kg·K)；Tin為冷卻劑入口溫度，℃。

1.2 堆芯系統(tǒng)模型線性化

利用微小攝動的線性化理論，選取堆芯系統(tǒng)狀態(tài)變量x=[δnrδCrδTfδTc1δTc2]T；輸入變量u=[δρrodδTin]T；輸出變量y=[δnrδTc2]T。其中，δ為微小擾動量。

將式(3)～式(5)在100%FP(滿負(fù)荷)工況點(diǎn) 進(jìn)行線性化處理，得到堆芯系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

(6)

其中，

式中:nr0為穩(wěn)態(tài)相對中子密度。

將狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化成傳遞函數(shù)形式，得到的雙輸入雙輸出傳遞函數(shù)矩陣為：

(7)

式中：Gr,11、Gr,12、Gr,21和Gr,22均為堆芯傳遞函數(shù)。

2 堆芯系統(tǒng)LQG/LTR控制器設(shè)計(jì)

2.1 LQG/LTR控制原理

圖1為LQG/LTR控制系統(tǒng)框圖。其中，r(t)為輸入變量；u(t)為控制器輸出變量；y(t)為輸出變量；ζ(t)和θ(t)分別為擾動信號和噪聲信號；Kc和Kf分別為狀態(tài)空間反饋矩陣和Kalman濾波矩陣；G(s)為對象傳遞函數(shù)矩陣；Gc為控制器傳遞函數(shù)矩陣，對于單變量系統(tǒng)，其為標(biāo)量形式；1/s為積分環(huán)節(jié)。

假設(shè)噪聲信號θ(t)和擾動信號ζ(t)均為零均值的白噪聲，其協(xié)方差矩陣Ξ=E[ζ(t)ζ(t)T]≥0，Θ=E[θ(t)θ(t)T]≥0。其中,Ξ為ζ(t)的協(xié)方差矩陣；Θ為θ(t)的協(xié)方差矩陣。

定義控制系統(tǒng)最優(yōu)化性能指標(biāo)J為：

(8)

式中：Q為對稱矩陣，Q=QT≥0；R為對稱正定矩陣，R=RT≥0，對于單變量系統(tǒng)，其為標(biāo)量形式。

控制器傳遞函數(shù)矩陣Gc可表示為：

Gc=Kc(sI-A+BKc+KfC)-1Kf

(9)

Kc=R-1BTPc

(10)

Kf=PfCTΘ-1

(11)

式中：Pc和Pf均為正定矩陣;I為單位矩陣。

ATPc+PcA-PcBR-1BTPc+Q=0

(12)

PfAT+APf-PcCTΘ-1CPf+ΓΞΓT=0

(13)

式中：Γ為可調(diào)參量矩陣。

采用對象輸入端回路傳輸恢復(fù)的設(shè)計(jì)方法時(shí)，控制器設(shè)計(jì)可分為2個(gè)步驟[11]：設(shè)計(jì)LQR控制器，通過選取適合的加權(quán)矩陣Q和R，使開環(huán)傳遞函數(shù)-Kc(sI-A)-1B的性能指標(biāo)達(dá)到設(shè)計(jì)要求； 引入LTR技術(shù)，使系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)盡可能接近直接采用狀態(tài)反饋時(shí)的結(jié)果。即假設(shè)Γ=B、Ξ=Ξ0+qI，其中Ξ0為初始協(xié)方差矩陣，選擇合適的虛擬噪聲系數(shù)q，使補(bǔ)償系統(tǒng)的傳遞函數(shù)接近目標(biāo)回路的開環(huán)傳遞函數(shù)，實(shí)現(xiàn)回路傳輸恢復(fù)。

2.2 堆芯系統(tǒng)設(shè)計(jì)

以NuScale小型堆堆芯系統(tǒng)為研究對象，設(shè)計(jì)堆芯功率控制器，其主要參數(shù)見表1。假設(shè)堆芯控制棒棒位與反應(yīng)性成正比，暫不考慮死區(qū)和磁滯回環(huán)，因此控制棒驅(qū)動機(jī)構(gòu)可以采用積分環(huán)節(jié)表示。此外，為確保系統(tǒng)的零穩(wěn)態(tài)誤差，可以通過在被控對象與控制器之間增加積分器來實(shí)現(xiàn)。LQG/LTR堆芯系統(tǒng)如圖2所示。

表1 堆芯系統(tǒng)的主要參數(shù)

圖2 LQG/LTR堆芯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structural diagram of the core power control systembased on LQG/LTR method

通過選擇合適的加權(quán)矩陣Q以及R值，使目標(biāo)回路的開環(huán)傳遞函數(shù)-Kc(sI-A)-1B的性能達(dá)到滿意的效果。假設(shè)當(dāng)加權(quán)矩陣Q=CTC，目標(biāo)回路奇異值曲線如圖3所示。由圖3可知，隨著R值增大，目標(biāo)回路在低頻段的幅值和穿越頻率不斷減小，導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)性能下降。當(dāng)R大于0.09時(shí)其變化對系統(tǒng)的影響較小。而在實(shí)際調(diào)節(jié)過程中，為盡量減少棒組的動作頻率，應(yīng)使目標(biāo)回路中的權(quán)重盡可能大，即R盡可能大。綜上，取R為0.09，得到狀態(tài)空間反饋矩陣為Kc=10-7×[0.04 351 -0.02 -0.001 2.1×10-42.8×105]。

圖3 目標(biāo)回路的奇異值曲線Fig.3 Singular value curves of the target loop

對虛擬噪聲系數(shù)q進(jìn)行選擇。隨著q增大，開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線越接近目標(biāo)回路的Nyquist曲線。但在實(shí)際應(yīng)用中，q不應(yīng)過大，否則會產(chǎn)生截?cái)嗾`差，并破壞系統(tǒng)的魯棒性[10]，因此取q=1010，此時(shí)開環(huán)系統(tǒng)Nyquist曲線與目標(biāo)回路的Nyquist曲線幾乎重合,如圖4所示。

圖4 開環(huán)系統(tǒng)和目標(biāo)回路的Nyquist曲線Fig.4 Nyquist curves of the open-loop system and the target loop

最后，利用Matlab魯棒系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具箱計(jì)算得到LQG/LTR控制器傳遞函數(shù)Gc為：

(14)

加入控制器后整個(gè)開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖見圖5，系統(tǒng)的幅值裕度為76.9 dB，相角裕度為69°，說明該系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能。

(a) 幅值

(B) 相角圖5 開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖Fig.5 Bode plots of the open-loop system

3 堆芯系統(tǒng)仿真驗(yàn)證

在100%FP下，基于堆芯入口溫度和功率參考值階躍2種瞬態(tài)工況，將LQG/LTR控制與PID控制的性能進(jìn)行對比。其中，PID控制采用單閉環(huán)結(jié)構(gòu)，利用Matlab軟件中的PID tuner工具計(jì)算得到最優(yōu)化比例增益和積分時(shí)間。

3.1 堆芯入口溫度階躍

堆芯系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后，在50 s時(shí)堆芯入口溫度階躍下降1 K，堆芯功率變化情況見圖6。在初始階段，由于冷卻劑溫度的負(fù)反饋?zhàn)饔茫瑢?dǎo)致堆芯反應(yīng)性增加，功率快速提高。此后，由于控制系統(tǒng)的作用，功率恢復(fù)到目標(biāo)值。由圖6可知，2種控制器均具有一定的抗干擾能力。但是，與PID控制相比，LQG/LTR控制具有更短的調(diào)節(jié)時(shí)間和更小的超調(diào)量，分別為20 s和0.05%。

由于控制棒動作導(dǎo)致的反應(yīng)性變化曲線如圖7所示。由圖7可知，控制系統(tǒng)作用導(dǎo)致控制棒下插，引入的反應(yīng)性最大為-35×10-5，100 s后堆芯系統(tǒng)達(dá)到平衡，由于控制棒動作引起的反應(yīng)性變化為-25×10-5。

圖6 入口溫度階躍時(shí)的功率變化Fig.6 Variation of power in response to a step change ofinlet temperature

圖7 入口溫度階躍時(shí)的反應(yīng)性變化Fig.7 Variation of reactivity in response to a step change ofinlet temperature

3.2 功率參考值階躍

堆芯系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后，在50 s時(shí)功率參考值階躍提高10%，功率的變化趨勢見圖8。由圖8可以看出，采用LQG/LTR控制器時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間短于10 s，穩(wěn)態(tài)誤差為0%，超調(diào)量小于0.1%；而PID控制的穩(wěn)定時(shí)間約為30 s，超調(diào)量大于1%。

圖8 功率參考值階躍時(shí)的功率變化Fig.8 Variation of power in response to a step change of powerreference values

結(jié)合圖8和圖9可以看出功率參考值提高時(shí)控制棒動作導(dǎo)致的反應(yīng)性變化曲線。從圖9可以看出，由于LQG/LTR控制作用導(dǎo)致控制棒上提，引入的反應(yīng)性最大為120×10-5。而在相同工況下，PID控制導(dǎo)致控制棒動作幅度更大，反應(yīng)性最大達(dá)到190×10-5。

圖9 功率參考值階躍時(shí)的反應(yīng)性變化Fig.9 Variation of reactivity in response to a step change of powerreference values

4 結(jié) 論

針對小型堆運(yùn)行過程中的非線性、強(qiáng)耦合和強(qiáng)時(shí)變等特點(diǎn)，搭建了堆芯系統(tǒng)集總參數(shù)非線性模型。基于LQG/LTR控制設(shè)計(jì)了堆芯功率控制器。將該控制器與PID控制器的控制效果進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明，LQG/LTR方法具有更好的抗干擾能力和負(fù)荷跟蹤能力，且控制性能優(yōu)于PID控制。