含邊界層的機械臂分?jǐn)?shù)階滑?？刂?/h1>

2021-03-05 10:08劉世杰黃志來楊明星徐培民

上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報訂閱 2021年4期 收藏

關(guān)鍵詞：邊界層微分滑模

劉世杰，黃志來，楊明星，徐培民

（安徽工業(yè)大學(xué) a.特種重載機器人安徽省重點實驗室；b.機械工程學(xué)院,馬鞍山 243000）

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的拓展，由L’Hopital 和Leibniz 于1695 年首次提出[1]，進一步演變?yōu)槲⒎?積分階次為任意復(fù)數(shù)，稱之為復(fù)數(shù)階微積分[2].分?jǐn)?shù)階微積分在控制領(lǐng)域的應(yīng)用受到許多學(xué)者的關(guān)注[3]，并將其移植于整數(shù)階控制器，取得了系列研究成果[4].

滑?？刂?Sliding Mode Control，SMC)[5]是一種確定、非線性、魯棒控制方法，屬于變結(jié)構(gòu)控制[6]，滑模面對應(yīng)的函數(shù)滿足李雅普諾夫穩(wěn)定[7]，保證系統(tǒng)相軌跡在預(yù)定的滑模面附近切換，實現(xiàn)穩(wěn)定控制[8].引入分?jǐn)?shù)階微積分設(shè)計滑?？刂剖钱?dāng)前研究的熱點[9]，對解決滑?？刂扑逃械亩墩駟栴}有積極意義[10]，并具有更好的控制效果[11].分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于滑?？刂?，簡稱分?jǐn)?shù)階滑?？刂?(Fractional Order Sliding Mode Control，F(xiàn)OSMC)，在控制器的設(shè)計過程中，部分學(xué)者將分?jǐn)?shù)階算子與滑模面結(jié)合構(gòu)成分?jǐn)?shù)階滑模面.Huang 等[12]針對多機電力系統(tǒng)，將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于滑?？刂?，提出一種自由空間滑模控制器，仿真結(jié)果表明該控制器能有效減少抖振現(xiàn)象.Nguyen 等[13]針對半主動車輛懸架系統(tǒng)，提出一種基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的滑?？刂破鳎瑪?shù)值仿真驗證所提出的控制方法能使給定系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時間內(nèi)漸趨穩(wěn)定.此外，還有學(xué)者將分?jǐn)?shù)階算子與趨近律結(jié)合構(gòu)成新的分?jǐn)?shù)階趨近律.Ma 等[14]針對不確定離散時間系統(tǒng)，將分?jǐn)?shù)階微分和高階擾動補償器引入趨近律中，提出一種新的分?jǐn)?shù)階趨近律，仿真結(jié)果表明所提出的方法能進一步減輕抖振并提高控制精度.Babaei 等[15]將非線性趨近律與基于分?jǐn)?shù)階模型的灰色預(yù)測算法相結(jié)合，提出一種新的分?jǐn)?shù)階模糊灰色預(yù)測滑?？刂破?，仿真和試驗結(jié)果顯示，所提出的方法跟蹤速度更快，對干擾具有較強的魯棒性.

機械臂廣泛應(yīng)用于裝備制造、外科醫(yī)療等領(lǐng)域[16]，隨著工業(yè)領(lǐng)域?qū)π屎唾|(zhì)量的不斷追求，對機械臂系統(tǒng)控制也有了更高要求[17]，如控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[18]、精確的軌跡跟蹤[19]等.將分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鲬?yīng)用于機械臂控制有很好的前景[20].

本研究引入分?jǐn)?shù)階微積分，構(gòu)造一類分?jǐn)?shù)階滑模面和飽和函數(shù)趨近律，獲得新的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鳎⒆C明控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最終通過機械臂系統(tǒng)的控制算例驗證其控制效果.

1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分由整數(shù)階微積分推廣至任意非整數(shù)階，近年來，其大量應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域.分?jǐn)?shù)階微分用算子表示[21]，其有多種定義，本研究中取Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子，定義為式中：α 為階次，m?1<α

分?jǐn)?shù)階微積分具有全局特性和記憶性，是初始點到終止點間所有狀態(tài)信息的綜合體現(xiàn)，其數(shù)值實現(xiàn)難度遠超整數(shù)階微積分.目前采用逼近方法以有限的整數(shù)階狀態(tài)信息近似出分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值[22].本研究使用頻域濾波算法中Oustaloup 方法實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值計算，其本質(zhì)是在限定頻段內(nèi)近似實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分算子，具有計算精度較高、運算簡便的優(yōu)點[23].考慮頻帶范圍(ω1,ω2)，構(gòu)造Oustaloup 算法的濾波器傳遞函數(shù)為

式中：r為逼近后整數(shù)階傳遞函數(shù)的階數(shù)，為非負(fù)整數(shù)；頻帶范圍 (ω1,ω2)=(0.001 rad/s,1 000 rad/s).

性質(zhì)1Caputo 型分?jǐn)?shù)微分算子用代換，即

當(dāng)且僅當(dāng)分?jǐn)?shù)微分的下端t=z時，函數(shù)f(t)滿足條件

性質(zhì)2常數(shù)的Caputo 型分?jǐn)?shù)微分

式中：r為任意常數(shù).

性質(zhì)3與整數(shù)階微分類似，分?jǐn)?shù)階微分是一種線性運算，有

性質(zhì)4Caputo 定義下的Laplace 變換為

2 滑模趨近律

趨近律是描述狀態(tài)點運動至滑模面的速率，通過其可調(diào)節(jié)到達滑模面的時間及產(chǎn)生的沖擊，可有效保證滑?？刂频钠焚|(zhì)[24]，是滑?？刂浦邢魅醵墩窈透纳瓶刂苿討B(tài)性能的重要途徑[25].

2.1 傳統(tǒng)滑模趨近律

1）等速趨近律

令ε=[sign(s1),sign(s2),···,sign(sn)]T，定義常量η為系統(tǒng)狀態(tài)點到達切換面的趨近速率，表達式為

η值大小決定趨近速率快慢，η過大，則狀態(tài)點將以較大的速度到達切換面，易引起較大抖振.si(t)為 切換函數(shù)，且，求解式(8)可得

2）指數(shù)趨近律

在等速趨近律基礎(chǔ)上引入指數(shù)項 ?τs，遠離切換面時，主要體現(xiàn)為指數(shù)趨近；而到達切換面附近時，指數(shù)趨近速度銳減，此時等速趨近項 ?ηε確?；Ｗ兞吭谟邢迺r間內(nèi)到達切換面，即

求解式(10)得

3）冪次趨近律

狀態(tài)點以冪次規(guī)律的趨近速率在有限時間內(nèi)到達切換面，冪次項保證狀態(tài)點接近滑動模態(tài)時減緩趨近速率，可有效削弱抖振，可得

對式(12)積分可得

2.2 含邊界層的滑模趨近律

經(jīng)典滑模控制中符號函數(shù)導(dǎo)致控制器存在不連續(xù)切換，引起系統(tǒng)抖振[26]，引入邊界層法能夠有效消除抖振[27].邊界層法屬于準(zhǔn)滑動模態(tài)控制方法之一，準(zhǔn)滑動模態(tài)控制使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點被吸引至理想滑動模態(tài)的某一 μ 鄰域內(nèi)，μ 鄰域稱為滑動模態(tài)切換面的邊界層[28].本研究采用飽和函數(shù)來替代符號函數(shù)，選取飽和函數(shù) sat(si)為

式中：μ>0為 邊界層厚度，i=1,2,···,n.

飽和函數(shù)與符號函數(shù)如圖1 所示.在邊界層內(nèi)，采用連續(xù)控制；在邊界層外，采用切換控制，從而削弱在滑模面上的抖振現(xiàn)象.令 ψ=[sat(s1),sat(s2),···,sat(sn)]T，構(gòu)造飽和函數(shù)趨近律為

圖1 飽和函數(shù)與符號函數(shù)Fig.1 Saturation function and sign function

3 機械臂分?jǐn)?shù)階滑模控制

3.1 機械臂系統(tǒng)模型

n關(guān)節(jié)機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

3.2 含邊界層的分?jǐn)?shù)階滑?？刂?/h3>

令C=diag(c1,c2,···,cn),ci>0，系統(tǒng)誤差e=qd?q，K=diag(k1,k2,···,kn),ki>0，則定義分?jǐn)?shù)階滑模面為

根據(jù)式(3)中給出的性質(zhì)，可得

式(18)求導(dǎo)可得

合并式(15)和式(20)構(gòu)造分?jǐn)?shù)階滑模控制律

利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論進行穩(wěn)定性分析，定義李雅普諾夫函數(shù)為

對于任意的s≠0都有V(t)>0.對式(22)求導(dǎo)，同時考慮式(20)可得

將式(21)代入式(23)中化簡可得

根據(jù)飽和函數(shù)的定義可知sisat(si)≥0，因此，可得，即控制律滿足穩(wěn)定條件.

4 仿真算例

以含擾動的兩自由度機械臂為仿真系統(tǒng)，為驗證式(21)FOSMC 的控制律的控制效果，取對比控制律SMC 為，式(16)中系統(tǒng)動力學(xué)模型參數(shù)如下[29]

式中：質(zhì)量參數(shù)m1=4kg，m2=2kg；長度參數(shù)l1=2 m，l2=1 m ；重力加速度g=9.8m/s2；擾動Δ(t)=3sin(2πt)；期望軌跡q1d=cos(πt)和q2d=sin(πt)；系統(tǒng)初始狀態(tài)；控制器參數(shù)c1=c2=5，μ=0.9，η=0.5；仿真時長10s，仿真結(jié)果如圖2和圖3所示.

圖2 軌跡跟蹤Fig.2 Trajectory tracking

圖3 軌跡跟蹤誤差Fig.3 Trajectory tracking error

圖2中，選取α=0.2，兩種控制方法均能實現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤，相比SMC，F(xiàn)OSMC的軌跡，更加接近期望軌跡.

軌跡跟蹤誤差如圖3 所示.i=1,2為機械臂關(guān)節(jié)1 和2；j=1,2,3,4 為FOSMC 階數(shù)α=0.2,0.4,0.6,0.8；ei和ei j分別為SMC和FOSMC軌跡跟蹤誤差.SMC和FOSMC 取不同階次時系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)時間見表1.當(dāng) α=0.2時軌跡跟蹤誤差曲線能較快趨于平緩.兩種控制方法的誤差最終都趨于0，F(xiàn)OSMC 的誤差收斂速度更快，即調(diào)整時間更短.

表1 系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)時間Table 1 System reaching steady state time

由圖2 和圖3 可知，兩種控制方法均能實現(xiàn)對三角函數(shù)形式的期望軌跡的精確跟蹤，與SMC 相比，F(xiàn)OSMC 的跟蹤誤差更小，能更快收斂于0，調(diào)整時間更短，具有更好的跟蹤特性和穩(wěn)定性.

5 結(jié)語

針對兩自由度機械臂系統(tǒng)，本研究基于經(jīng)典滑?？刂疲敕?jǐn)?shù)階微積分理論，構(gòu)造一種新的分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?對滑?？刂拼嬖诘亩墩駟栴}，采用飽和函數(shù)替代符號函數(shù)構(gòu)造含邊界層的滑模趨近律，利用李雅普諾夫直接法證明方法的穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典滑?？刂葡啾?，新控制器具有更快的收斂速度和更好的控制性能.

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