王成華，楊永剛，楊 陽(yáng)，劉 寧，李 磊

（北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京，100076）

0 引 言

非正撞擊/侵徹（小攻角或大著角撞擊/侵徹）過(guò)程中彈體經(jīng)受的載荷環(huán)境遠(yuǎn)比正侵時(shí)的嚴(yán)酷和復(fù)雜，開(kāi)展非正撞擊/侵徹條件下彈體的載荷強(qiáng)度設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，是侵徹彈體工程設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。數(shù)值仿真是解決非正撞擊/侵徹彈體載荷和強(qiáng)度計(jì)算分析的有效手段[1,2]，但由于其建模過(guò)程復(fù)雜且計(jì)算量大，不便用于方案設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)參數(shù)的快速優(yōu)化。一套能兼顧精度和效率的非正撞擊/侵徹彈體載荷強(qiáng)度工程計(jì)算方法更易為設(shè)計(jì)人員接受。

美國(guó)Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室和水道實(shí)驗(yàn)室已在非正撞擊/侵徹彈體載荷預(yù)示方法研究方面開(kāi)展過(guò)深入工作。水道實(shí)驗(yàn)室的R.S. Bernard等人提出了一套基于球腔膨脹理論的非正撞擊/侵徹彈體載荷強(qiáng)度預(yù)示方法[3]，將球形腔膨脹理論推導(dǎo)出的彈體表面壓力方程直接應(yīng)用于彈體表面單元、并與求解彈體終點(diǎn)彈道運(yùn)動(dòng)方程相互關(guān)聯(lián)，來(lái)確定彈體各時(shí)刻的橫向分布載荷，但其方法沒(méi)有對(duì)橫向載荷的機(jī)理和規(guī)律作進(jìn)一步歸納總結(jié)，且彈體應(yīng)力的計(jì)算需進(jìn)一步借助有限元方法完成，方法本身仍顯復(fù)雜?；谄溟L(zhǎng)期積累的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的Young等人[4]總結(jié)出彈體橫向載荷與軸向載荷的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，將經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式應(yīng)用于整個(gè)彈體并結(jié)合彈體終點(diǎn)彈道聯(lián)立求解，給出了一套計(jì)算效率較高的非正撞擊/侵徹彈體載荷強(qiáng)度預(yù)示方法，但由于是一種純經(jīng)驗(yàn)方法，缺少理論基礎(chǔ)。另外，上述兩套方法對(duì)彈體受撞擊/侵徹載荷后的動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題均未有涉及，預(yù)示結(jié)果與彈體實(shí)際的應(yīng)力響應(yīng)水平存有較大差距。

本文將球腔膨脹理論和彈性振動(dòng)理論及經(jīng)驗(yàn)方法相結(jié)合，提出了一套新的彈體非正撞擊/侵徹載荷響應(yīng)預(yù)示的半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法。

1 用球形腔膨脹理論確定彈體載荷

著角（本文定義為彈軸與靶面法向夾角）和攻角均能誘導(dǎo)出彈體橫向載荷，二者誘導(dǎo)的機(jī)理不同，需要分別加以考慮。

1.1 攻角誘導(dǎo)出的橫向載荷

彈體質(zhì)心處的速度矢量與彈軸間的夾角用總攻角α表示，彈體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度用ω表示，忽略彈體變形產(chǎn)生的附加攻角，彈體剛體運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)在彈體任意軸向單元i（位置坐標(biāo)Xi）處誘導(dǎo)出的當(dāng)?shù)毓ソ铅羒具體表達(dá)式如下：

式中表示彈體速度；Xcg表示彈體質(zhì)心距彈尖距離。

當(dāng)?shù)毓ソ铅羒會(huì)誘導(dǎo)產(chǎn)生垂直于彈軸方向的橫向分布載荷，這種由攻角誘導(dǎo)出的橫向載荷，在侵徹過(guò)程中將作用在彈體侵入靶體部分的每一處位置而不僅限于彈體頭部。將球形腔膨脹理論直接應(yīng)用于非對(duì)稱受力情況下的帶攻角撞擊侵徹問(wèn)題，如圖1所示。

圖1 存在攻角情況下彈體受力分析示意Fig.1 Forces Carried by Projectile under Non-normal Impact/penetrating

速度矢量投影到圖示微元法向上的速度分量為

根據(jù)球形腔膨脹理論推導(dǎo)結(jié)果，作用在圖1所示的ds×dl微元法向上的壓力和法向面載荷分別為

法向壓力：

單元面載荷：

式中A為靜態(tài)阻力項(xiàng)系數(shù)[5]，B為動(dòng)態(tài)阻力項(xiàng)系數(shù)，對(duì)混凝土取B=1.5；ρ0為靶板材料密度；σ-b為靶板材料無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度。

橫向載荷：

軸向載荷：

圖2 軸向載荷和橫向載荷隨攻角變化的關(guān)系Fig.2 Relation Curves Between Angle of Attack and Force

引入無(wú)量綱比例系數(shù)：

式中sA為彈體頭部側(cè)向投影面積；為侵徹平均阻力，其中Lmax為零攻角正侵極限侵徹深度，m為彈體質(zhì)量，W˙0為彈體著靶初始速度。

將式（5）計(jì)算結(jié)果以式（7）無(wú)量綱形式輸出，研究發(fā)現(xiàn)系數(shù)Kα存在以下近似關(guān)系式：

式中ψ為彈體頭部形狀因子，

基于式（7）、式（8）代表的物理意義：作用在彈體單位側(cè)向投影面積上的橫向載荷正比于單位橫截面積上的軸向載荷，并考慮到彈體撞擊/侵徹混凝土靶存在的開(kāi)坑區(qū)效應(yīng)，提出如下小攻角誘導(dǎo)彈體橫向載荷單元分量表達(dá)關(guān)系式：

式中As,i為彈體任一單元段i的側(cè)向投影面積；為開(kāi)坑區(qū)損傷效應(yīng)修正系數(shù)，是彈體單元段i距離靶板表面距離li的函數(shù)：

式（9）與Young等人提出的經(jīng)驗(yàn)公式近似，但它是基于理論和數(shù)值積分分析得到的半經(jīng)驗(yàn)公式，二者在系數(shù)Kα量值和形式上均不相同。計(jì)算驗(yàn)證顯示式（9）不僅適用于彈體頭部，對(duì)整個(gè)彈體也適用。

1.2 著角誘導(dǎo)出的橫向載荷

著角誘導(dǎo)出的橫向載荷是由圖3所示彈體頭部Δ段上受力面不對(duì)稱和（LN-Δ）段靶板自由面效應(yīng)兩方面的因素造成的。在斜侵情況下（只有著角）彈體柱段表面和靶板間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的法向速度分量為0，彈體的柱段表面不會(huì)誘導(dǎo)出橫向力，著角誘導(dǎo)出的橫向載荷只需考慮彈體頭部即可。

圖3 斜侵情況彈體受力分析Fig.3 Forces Carried by Penetrator in Oblique Impact

靶板作用在Δ段和（LN-Δ）段彈體表面的壓力均可采用有限尺寸介質(zhì)球形腔膨脹理論確定，在考慮有限尺寸介質(zhì)的自由面效應(yīng)情況下，球形空腔內(nèi)壁壓力簡(jiǎn)單表達(dá)式如下[6]：

式（11）右端第1項(xiàng)為當(dāng)介質(zhì)的尺寸為無(wú)限大時(shí)球形空腔內(nèi)壁壓力，可以由式（3）給出，其中的球形空腔膨脹速度 nW˙在圖3所示坐標(biāo)系下具有如下形式：

式（11）右端第2項(xiàng)是考慮有限尺寸介質(zhì)的自由面效應(yīng)下的壓力損失因子，它與 nW˙、球腔內(nèi)半徑a及距自由面的距離d（見(jiàn)圖4）有關(guān)。

圖4 著角誘導(dǎo)橫向載荷自由面效應(yīng)影響示意Fig.4 Free-surface Effects of Lateral Force Caused by Impact Angle

把有限尺寸介質(zhì)中的球形腔膨脹理論應(yīng)用于彈體非正侵情況，如圖4所示先借助解析幾何原理計(jì)算出彈頭任一表面位置處的d和a，然后代入式（11）并用式（11）替代式（3），就可以計(jì)算給出考慮自由面效應(yīng)后的彈體橫向載荷與著角間的變化關(guān)系。

同樣引入一個(gè)與彈著角θ相關(guān)的比例系數(shù)關(guān)系式：

由數(shù)值積分給出的比例系數(shù)K,dθ隨侵深（用相對(duì)XCrit的無(wú)量綱變量表示）變化的關(guān)系曲線見(jiàn)圖5，顯示沿侵深存在兩個(gè)不同區(qū)段，兩區(qū)段分界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的侵深為

式中LN表示彈體頭部長(zhǎng)度。

圖5 系數(shù)K,dθ與侵徹深度間的變化關(guān)系Fig.5 Relation Curve between Coefficient Kθ,d and Penetration Depth

式（14）顯示在XCrit以前K,dθ隨侵徹深度近似線性增加、XCrit以后則呈指數(shù)衰減并在約3XCrit侵徹深度左右K,dθ趨進(jìn)于0、XCrit處K,dθ達(dá)到最大。

改變著角、靶板強(qiáng)度和著靶速度等參數(shù)，研究了Kθ,d對(duì)這些參數(shù)變化的敏感程度，結(jié)果顯示Kθ,d對(duì)靶板強(qiáng)度和著角均不敏感，但受速度的影響不可忽視，需要引入速度項(xiàng)修正系數(shù)Kθ,W˙來(lái)反映這種影響效應(yīng)，根據(jù)數(shù)值積分結(jié)果速度項(xiàng)修正系數(shù)具有以下形式：

綜合考慮圖5所示隨深度變化的比例系數(shù)K,dθ和式（15）給出的速度修正系數(shù)，提出如下單元分量形式的當(dāng)?shù)刂钦T導(dǎo)橫向力分量計(jì)算公式：

式中Kθ為合成系數(shù)，其中Kθ,d由圖5獲得；系數(shù)0.56是根據(jù)數(shù)值驗(yàn)證情況確定的修正系數(shù)。

2 撞擊/侵徹載荷作用下的彈體結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算

撞擊侵徹過(guò)程中彈體會(huì)發(fā)生彈性響應(yīng)變形，彈體的應(yīng)力計(jì)算需要考慮撞擊侵徹過(guò)程中的沖擊響應(yīng)放大。將式（9）、式（16）與彈體終點(diǎn)彈道運(yùn)動(dòng)方程求解過(guò)程相關(guān)聯(lián)，首先確定撞擊/侵徹各個(gè)時(shí)刻點(diǎn)的彈體載荷分布，再通過(guò)彈性振動(dòng)理論中的模態(tài)疊加法，就可以確定出彈體在撞擊/侵徹沖擊載荷作用下的響應(yīng)放大情況。

彈體長(zhǎng)細(xì)比較大時(shí)，可以將彈體簡(jiǎn)化成一個(gè)等截面梁模型，撞擊/侵徹過(guò)程中彈體在橫向分布激勵(lì)載荷f(x,t)作用下的結(jié)構(gòu)變形y(x,t)根據(jù)模態(tài)疊加法有如下形式解：

式中ωn,r為彈體第r階模態(tài)頻率；ξ為阻尼比系數(shù)；ωd,r彈體第r階諧振頻率，為廣義力，為彈體長(zhǎng)度。

撞擊/侵徹條件下彈體約束方式為兩端自由-自由狀態(tài)，彈體的各階固有頻率ωn,r和歸一化振型可以通過(guò)試驗(yàn)或計(jì)算獲得，對(duì)于均質(zhì)等截面梁可以通過(guò)查表獲得[7]，將獲得的Yr（x）和式（18）確定的代入式（17），即可獲得各個(gè)時(shí)刻的彈體結(jié)構(gòu)變形y(x,t)，彈體各截面的彎矩可通過(guò)下面的差分方程求解：

由M（x,t）進(jìn)而獲得由橫向載荷引起的彈體彎曲響應(yīng)應(yīng)力。

注意到軸向載荷FA(t)只作用于彈體頭部，可以將其簡(jiǎn)化為集中載荷作用在彈尖位置處、并忽略阻尼比系數(shù)影響，彈體軸向彈性響應(yīng)加速度具有如下簡(jiǎn)單形式：

3 彈體撞擊/侵徹過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

需要建立非正撞擊/侵徹彈體運(yùn)動(dòng)微分方程并與第1節(jié)、第2節(jié)計(jì)算過(guò)程聯(lián)立求解，最終確定撞擊/侵徹過(guò)程彈體載荷變化以及彈體結(jié)構(gòu)變形響應(yīng)的時(shí)間歷程。圖6為非正撞擊侵徹彈體受力及運(yùn)動(dòng)模型。

圖6 非正撞擊侵徹彈體受力及運(yùn)動(dòng)模型Fig.6 Terminal Ballistics and Stress Model for Penetrator in Non-normal Impact/penetration

彈體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程形式為

式中Jx為彈體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ytip，ztip為彈尖位置坐標(biāo)；y，z為彈體質(zhì)心位置坐標(biāo)；AF為彈體軸向阻力；NF為橫向載荷。

給定彈體初始著靶速度、彈著角和攻角，借助上述微分方程就可以求解出撞擊侵徹過(guò)程任一時(shí)刻的彈體運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，彈體軸向阻力和橫向載荷根據(jù)彈體所對(duì)應(yīng)時(shí)刻的侵深和姿態(tài)、由第1節(jié)方法計(jì)算給出。

4 半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法的數(shù)值仿真驗(yàn)證

基于本文半經(jīng)驗(yàn)方法，對(duì)多個(gè)彈體算例侵徹過(guò)載和應(yīng)力進(jìn)行預(yù)示，從彈體過(guò)載/應(yīng)力變化時(shí)間歷程和最大峰值方面，進(jìn)行了與LS_DYNA3D數(shù)值仿真結(jié)果間的對(duì)比驗(yàn)證。圖7表示了彈體最大應(yīng)力時(shí)間歷程變化。

以某縮比實(shí)驗(yàn)彈為例，著靶初始條件：攻角3°、著角0°、著靶速度600 m/s，靶板混凝土材料無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度30 MPa。數(shù)值仿真給出的彈體受力最嚴(yán)重部位的應(yīng)力變化曲線見(jiàn)圖7a，對(duì)應(yīng)的彈體最大應(yīng)力為-5322 MPa；本文方法計(jì)算給出的應(yīng)力變化曲線見(jiàn)圖7b，對(duì)應(yīng)的彈體最大應(yīng)力為-4998 MPa，最大應(yīng)力量值上與仿真結(jié)果接近。應(yīng)力曲線的變化規(guī)律上，本文方法模擬出了彈體在穿靶過(guò)程中出現(xiàn)的多個(gè)應(yīng)力響應(yīng)峰，峰值發(fā)生的時(shí)刻與仿真結(jié)果基本吻合。

表1為小攻角撞擊混凝土靶彈體侵徹過(guò)載和最大應(yīng)力，表2為大著角撞擊混凝土靶彈體侵徹過(guò)載和最大應(yīng)力。進(jìn)行了小攻角和大著角多種子樣情況下彈體過(guò)載和應(yīng)力峰值與數(shù)值仿真結(jié)果的對(duì)比，表1和表2結(jié)果顯示本文方法具有較廣泛的適應(yīng)性，與數(shù)值結(jié)果相比彈體應(yīng)力預(yù)示結(jié)果的相對(duì)誤差基本能控制在30%左右。

圖7 彈體最大應(yīng)力時(shí)間歷程變化Fig.7 Maximum Stress Time History of Penetrator

表1 小攻角撞擊混凝土靶彈體侵徹過(guò)載和最大應(yīng)力Tab.1 Aeceleration and Maximum Stress of Projectile Penetrating into Concrete Targets with Small Angle Attack

續(xù)表1

表2 大著角撞擊混凝土靶彈體侵徹過(guò)載和最大應(yīng)力Tab.2 Aeceleration and Maximum Stress of Projectile Penetrating into Concrete Targets with Large Impact Angle

5 結(jié) 論

通過(guò)將球形腔膨脹理論的應(yīng)用范圍推廣到彈體非正撞擊/侵徹情況，本文對(duì)非正撞擊/侵徹過(guò)程攻角和著角誘導(dǎo)載荷的機(jī)理以及靶板自由面效應(yīng)的影響特性等進(jìn)行了分析，提出了一套建立于理論分析并輔之以數(shù)值驗(yàn)證的彈體非正撞擊/侵徹載荷響應(yīng)半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法，將基于這套方法得到的彈體連續(xù)分布時(shí)變載荷作用于彈體上，采用彈性振動(dòng)模態(tài)疊加法，得到了非正撞擊/侵徹載荷作用下彈體的沖擊響應(yīng)時(shí)間歷程。

與數(shù)值仿真結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證情況表明：本文方法能夠模擬出彈體載荷和應(yīng)力沿終點(diǎn)彈道的主要時(shí)間歷程變化規(guī)律，沖擊響應(yīng)曲線的特征（峰值個(gè)數(shù)、大小及發(fā)生時(shí)刻等）和峰值量值均與仿真結(jié)果一致，且方法具有較廣適應(yīng)性，彈體應(yīng)力預(yù)示結(jié)果的相對(duì)誤差基本能控制在30%左右。