劉 聲,趙 靜,曹海林,田昌海,吳德成

(1.重慶大學 空天地網(wǎng)絡互連與信息融合重慶市重點實驗室,重慶400044;2.銅仁學院大數(shù)據(jù)學院,貴州 銅仁554300)

利用陣列天線接收空間信號并通過對接收信號進行處理來獲取空間信號方位角的過程稱為波達方向(DOA,direction of arrival)估計。DOA估計在移動通信[1]、雷達定位[2-4]和電子對抗等領域有著廣泛的應用。近年來,已有大量的DOA估計算法被提出,其中包括多重信號分類(MUSIC,multiple signal classification)算法[2-3],旋轉不變子空間(ESPRIT,estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)算法[4-5],傳播算子(PM,propagator method)算法[6]以及稀疏重構類算法[7]。但這些算法最早都是針對均勻陣列提出的。

對于常規(guī)的均勻陣列,為了避免角度模糊,陣元間距不能超過入射信號的半個波長。事實上,在實際應用中,當陣元間距很小時,陣元間的互耦效應就會比較明顯。Wang等[8]利用矩陣分解的方法將互耦系數(shù)從流形矩陣中分離開,構造一個不包含互耦系數(shù)的代價函數(shù),通過搜索代價函數(shù)的最值來實現(xiàn)對DOA的估計。Ye等[9]利用陣列部分中間陣元的接收數(shù)據(jù)提出了一種解耦算法,能有效地消除互耦的影響,然而這種算法孔徑損失較為嚴重。Liu等[10]利用部分中間陣元接收數(shù)據(jù)的四階累積量,提出了一種自校正DOA估計算法,可以彌補部分孔徑損失。Cao等[11]同樣也是利用中間陣元接收數(shù)據(jù),提出了一種針對非圓信號的自校正DOA估計算法。

除了利用算法來消除互耦效應對DOA估計的影響,使用稀疏陣列也是減小陣元間互耦效應的重要途經。陣元間的互耦效應會隨著間距的增大而減弱,當間距足夠大時,互耦效應便可以忽略。所以,在考慮互耦效應時,往往只需要考慮相近的陣元。稀疏陣列的陣元間距可以超過入射信號的半個波長,所以相對均勻陣列而言,稀疏陣列的互耦效應會更小。常見的稀疏陣列有互素陣列[12-13],嵌套陣列[14-20]等。對于大部分稀疏陣列來說,雖然隨著部分陣元間距的增加,互耦作用在一定程度上減小了,但是卻很難做到將互耦的影響完全消除。為了獲得具有連續(xù)虛擬陣元的虛擬陣列,大多數(shù)陣列的最小陣元間距依然不能超過入射信號的半個波長。雖然Li等[13]和Shi等[20]也提出了可以完全消除互耦作用的陣列結構,但在這些陣列對應的虛擬陣列中會出現(xiàn)很多的孔洞,從而無法像稀疏陣列[14-16]那樣獲得具有連續(xù)虛擬陣元的虛擬陣列。這樣會使得很多經典的高精度DOA估計算法很難直接應用于這些陣列。

筆者提出一種由2個嵌套子陣列組成的互素嵌套陣列,2個子陣的最小間距由一對互素的整數(shù)確定。這2個子陣列的最小間距可以遠超過入射信號的半個波長。所以只要選擇的互素整數(shù)足夠大就可以將互耦效應減小到可以忽略的程度。針對這種特殊陣列結構,又提出另一種無模糊的DOA估計算法。此算法先利用接收數(shù)據(jù)的四階累積量構造一個四階累積量矩陣,然后通過對這個矩陣的多步處理獲得一個信號子空間。這個信號子空間可以對應一個具有連續(xù)虛擬陣元的虛擬陣列,利用這個信號子空間可獲得無模糊的DOA估計值。相對于其它稀疏線陣[14-19],所提陣列可通過調整間距做到完全消去陣元間互耦效應影響,且不會產生角度模糊。相比于已有解耦算法[5-7],所提的陣列結構及算法具有更高的角度分辨能力和估計精確度。

符號說明:符號“cum{·}”,“[·]T”,“[·]H”,“[·]*”,“?”和“[·]+”分別表示四階累積量,轉置,共軛轉置,共軛,kronecker乘積和Moore-Penrose廣義逆。H(i,j)表示矩陣H第i行,第j列位置的元素,H(i:j,:)表示選取矩陣H的第i行至第j行,I K表示K階單位矩陣。

1 互素嵌套陣列結構

如圖1所示,互素嵌套陣列由2個子嵌套陣組成,每個子陣可看成嵌套陣列[14]的擴展結構。令d=λ/2,其中λ表示信號波長,第一個子陣包含N(N=N1+N2)個陣元,單位間距為qd。第二個子陣包含M(M=M1+M2)個陣元,單位間距為pd,其中q與p是一對互素的正整數(shù)。圖2給出了一個9元互素嵌套陣列結構,其中q=3,p=4。

圖1 互素嵌套陣列Fig.1 Co-prime nested array

圖2 9元互素嵌套陣列Fig.2 9-element co-prime nested array

令第一個子陣的第一個陣元為參考陣元,設K個遠場窄帶不相干信號s1(t),…,s K(t)的方向角分別為θ1,θ2,…,θK。令θ=[θ1,θ2,…,θK],Δ=2πd/λ。不考慮互耦效應時,陣列接收可以表示為

當考慮陣元互耦效應時,整個陣列接收可以表示為

其中:B'(θ)和n'2(t)分別表示B(θ)和n2(t)的后M-1行,M∈C(M+N-1)×(M+N-1)為互耦矩陣,m ij表示第i個陣元與第j個陣元間的互耦系數(shù),且滿足m ii=1。當?shù)趇個陣元與第j個陣元間距離大于某值w d時,m ij=0,即互耦效應可以忽略。對于所提陣列結構,只要選取一對都大于w的互素整數(shù),便可消除互耦的影響。

2 DOA估計算法描述

對于所提陣列,由于單位間距大于半個波長,且對應的虛擬陣列包含的虛擬陣元不具有連續(xù)性。所以無法直接使用空間平滑算法來構造擴展的協(xié)方差矩陣和獲取信號子空間。下面針對這種特殊的陣列結構,提出一種基于四階累積量的DOA估計算法。

首先利用陣列接收數(shù)據(jù)的4階累積量構造4個四階累積量矩陣C1∈C[N2(N1+2)-2]×[N2(N1+2)-2],C2∈C[N2(N1+2)-2]×[M2(M1+2)-2],C3∈C[M2(M1+2)-2]×[N2(N1+2)-2]和C4∈C[M2(M1+2)-2]×[M2(M1+2)-2]。對于任意給定的都存在以下唯一分解式

利用分解式(3),C1,C2,C3,C4可根據(jù)下面公式確定

利用這4個四階累積量矩陣C i,i=1,2,3,4可以構造一個分塊四階累積量矩陣

對C進行特征值分解,C的K個最大特征值對應向量組成的矩陣U s稱為信號子空間,且存在可逆矩陣T滿足

從U s中提出2個子矩陣,分別記為

再從U s中提取出4個矩陣,分別記為

根據(jù)式(10)和(11),可知

再根據(jù)式(10)和(13),可知

類似ESPRIT算[4-5]法,利用式(14)可得

但是,因為q與p是一對互素的整數(shù),所以一定存在另外2個整數(shù)p1,q1使得p1p+q1q=1。此時對進行乘方運算,便可得到

如果當p1或q1是負數(shù)時,定義

此時對Ξ進行特征值分解,便可獲得無模糊的DOA。然而,這個方法獲得的DOA估計值的精確度依然不高,所以利用Ξ對原有的信號子空間進行擴展。

合并Unew1,Unew2構造Unew

對U new進行正交化可獲得標準正交化向量再構造函數(shù)

搜索出f(θ)的最大值,便可估計出正確的方向角。

3 仿真實驗

通過幾個仿真實驗來對比所提算法與已有自校正算法的性能。假設w=2,即當陣元間距超過2d時,陣元耦合效應可以忽略。假設陣元本身的互耦系數(shù)為1,距離相差d的2個陣元的互耦系數(shù)為c2=0.9+0.4i,距離相差2d的2個陣元的互耦系數(shù)為c3=0.5-0.35i。對于所有算法,譜峰搜索的間隔固定為0.1°。設解耦算法[8-10]使用14元均勻陣列,陣元間距為d。對于所提的陣列,設N=7,M=8,因為2個子陣存在一個共用陣元,所以陣元總數(shù)也是14。在前2組實驗中,研究陣列取q=3,p=4,在這種情況下陣列中所有陣元的互耦效應就可以完全忽略。在第二組仿真實驗中,利用DOA估計的均方根誤差(RMSE,root mean square error)來評價算法的估計精確度,并設RMSE的定義為

其中J=200表示Monte-Carlo實驗的次數(shù)表示在第j次試驗中對第k個信號的DOA估計值。

第一組仿真實驗對比4種不同算法對角度的分辨能力,將快拍數(shù)固定在500,信噪比SNR(signal noise ratio)固定在10 d B。首先設4個信號的方向角為30°,40°,50°,60°。圖3(a)顯示了算法與Liu等[10]提出的算法的空間譜。圖3(b)顯示的是Wang等[8]和Ye[9]等所提算法的空間譜。通過觀察這2幅對比圖,可以發(fā)現(xiàn)只有算法和Liu的算法[10]能較好的將4個信號區(qū)分開,而其他2個算法對這4個信號的區(qū)分效果很差。然后將4個信號的方向角改為45°,50°,55°,60°,角度間隔減小到5°。圖4(a)顯示出算法與Liu的算法[10]的空間譜,圖4(b)顯示了Wang的算法[8]和Ye的算法[9]的空間譜。此時,可以發(fā)現(xiàn)算法依然能夠將4個信號順利的區(qū)分開,但其它3個算法都已無法區(qū)分這4個信號。這幾幅仿真圖中的結果可以反映出所提方法對信號的分辨能力要明顯好過其它3種算法。

圖3 空間譜對比圖(角度間隔為10°)Fig.3 Spatial spectral comparison of four signals with 10°angular interval

圖4 空間譜對比圖(角度間隔為5°)Fig.4 Spatial spectral comparison of four signals with 5°angular interval

第二組仿真實驗對比4種不同算法對角度估計的精確度。此次實驗是在信號能被分辨開的情況下進行對比,所以信號源的數(shù)量減少到3個,方向角設為30°,40°,50°。首先將快拍數(shù)固定在500。圖5顯示4個算法的均方根誤差隨信噪比的變化情況。然后將信噪比固定在2.5 dB,圖6顯示4個算法的均方根誤差隨快拍數(shù)的變化情況。從這2幅對比圖中可以發(fā)現(xiàn),算法的估計精確度要遠超過其他3種算法。另外,從圖5中可以發(fā)現(xiàn)當信噪比較低的時候,算法的優(yōu)勢更加明顯。而從圖6中也可以發(fā)現(xiàn)算法即使在較低的快拍數(shù)下也能獲得較好的估計性能。綜合2組仿真實驗的結果,算法無論是在估計精確度方面,還是對角度的分辨力方面都會優(yōu)于已有的幾種自校正DOA估計算法。

圖5 四種算法均方根誤差隨信噪比的變化曲線Fig.5 RMSE of four methods versus SNR

第三組仿真實驗對比所提算法在不同的q,p取值下的DOA估計效果。為了反應陣元間距對DOA估計精確度的作用,此次仿真實驗也不考慮陣元的互耦效應。從圖7中可以看出,算法在q=4,p=5時估計的精確度是最高的。從這個仿真結果可以發(fā)現(xiàn),所提的算法并不會因為陣元間距的增加而導致估計精確度的降低。反而隨著間距增大估計精確度有提高的趨勢。事實上,隨著q,p取值的增大,陣列能應對的互耦效應的強度也會增大。當q=4,p=5時,便可應對w=3的情形。而此時對于解耦算法[8-10],解耦效果就會進一步降低,尤其是算法[9-10]孔徑損失將會更加嚴重。

圖6 4種算法均方根誤差隨快拍數(shù)的變化曲線Fig.6 RMSE of four methods versus snapshots

圖7 不同q,p下均方根誤差隨信噪比的變化曲線Fig.7 RMSE of proposed method versus SNR for different q and p

4 結束語

為了最大限度地消除陣元互耦效應對DOA估計帶來地影響,提出了一種可以根據(jù)互耦效應的強度來調整陣元間距的互素嵌套陣列。此陣列由2個大間距的嵌套陣列組成,只要間距足夠大就可以消除互耦效應。并且針對這種大間距陣列提出了一種可以避免角度模糊的高分辨的DOA估計算法,在減小互耦作用的同時還能確保DOA估計的準確性,不會因為間距的增大而造成估計精確度的降低。仿真結果表明此陣列配合所提DOA估計算法比一些已有的自校正算法具有更高的估計精確度和角度分辨力。