張吉旺，宋勝濤，李瑞琴

(中北大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

導(dǎo)致并聯(lián)機構(gòu)存在誤差的原因有很多種，如驅(qū)動副固有誤差、零件制造誤差和安裝誤差等。

有很多學(xué)者對誤差建模、誤差分析和誤差補償進行了研究。單鵬等[1]通過D-H矩陣法對Stewart型并聯(lián)機床進行了誤差建模和誤差分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)并聯(lián)機床位姿要求高時，在誤差分析中應(yīng)考慮桿件的全部D-H參數(shù)；楊斌[2]通過D-H矩陣法對3-RSR并聯(lián)機構(gòu)進行了誤差建模和誤差分析，最終以補償桿長固有誤差的方法減小動平臺的位姿誤差；He 等[3]用D-H矩陣法對三自由度并聯(lián)機械手建立了誤差模型并進行了精度分析；陳小崗等[4]對6-UPS并聯(lián)機床的誤差分布特性進行了研究，給出了在不同位姿下的誤差比值；Akhbari 等[5]將實際運動軌跡和理論預(yù)測軌跡相比較，分析了四自由度并聯(lián)機床的運動精度；Sun 等[6]對一移三轉(zhuǎn)的并聯(lián)機構(gòu)進行幾何精度設(shè)計和誤差分析，降低了3個轉(zhuǎn)角的誤差；房立金等[7]對帶有約束的3-TPS并聯(lián)機床進行位姿誤差分析，通過蒙特卡洛法對誤差結(jié)果進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)來自機床內(nèi)部約束的誤差對末端執(zhí)行器誤差的影響最大；Tian 等[8]對五自由度并聯(lián)機床的病態(tài)位置進行誤差分析，避免了并聯(lián)機床出現(xiàn)病態(tài)位置；Zhao 等[9]對六自由度并聯(lián)機床進行誤差分析并降低了誤差；安守和等[10]對兩操作模式2-R(SS)2-R(RR)2(RR)2并聯(lián)機構(gòu)進行了誤差分析及精度設(shè)計，通過算例在給定誤差精度的條件下找到了最佳制造誤差值；曾達幸等[11]提出了一種少自由度并聯(lián)機構(gòu)的誤差分析方法，通過試驗樣機驗證了該方法的正確性。也有學(xué)者通過粒子群算法求解出優(yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)解。侯雨雷等[12]用粒子群算法對3PSS/S并聯(lián)機構(gòu)進行誤差補償，使動平臺的運動誤差下降了40%左右；李冰冰[13]以Stewart六自由度并聯(lián)機器人為研究對象，用粒子群算法找出桿長誤差尺寸的最優(yōu)解，最大程度補償了機構(gòu)動平臺的位姿誤差。

本文以移動副驅(qū)動的三自由度并聯(lián)機構(gòu)為基礎(chǔ)，通過控制零件制造誤差的方式來補償移動副固有誤差帶來的動平臺位姿誤差。

1 并聯(lián)機構(gòu)的誤差模型建立

1.1 并聯(lián)機構(gòu)簡介

本文的并聯(lián)機構(gòu)如圖1所示。整個并聯(lián)機構(gòu)由定平臺、動平臺和3條支鏈組成。支鏈1和支鏈2為PRU支鏈，由1個P副(移動副)、1個R副(轉(zhuǎn)動副)和1個U副(萬向鉸)組成。支鏈3為閉環(huán)球鉸支鏈，由1個P副、4個S副(球副)的閉環(huán)球鉸和1個R副組成。在定平臺上的坐標(biāo)系OA-XAYAZA為定坐標(biāo)系；在動平臺上的坐標(biāo)系OB-XBYBZB為動坐標(biāo)系。

該并聯(lián)機構(gòu)有3個自由度，分別為沿YA和ZA軸的移動和繞YA軸的轉(zhuǎn)動。相對于其他的三自由度并聯(lián)機構(gòu)，該并聯(lián)機構(gòu)屬于非對稱結(jié)構(gòu)，支鏈3為適應(yīng)性中央支鏈，不僅可以增加并聯(lián)機構(gòu)的剛度，還可以增加并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動力。支鏈3為P-2(SS)結(jié)構(gòu)，這種閉環(huán)球鉸結(jié)構(gòu)相對于其他的結(jié)構(gòu)，可以給動平臺提供較大的轉(zhuǎn)角。

圖1 并聯(lián)機構(gòu)的模型圖

1.2 并聯(lián)機構(gòu)誤差建模

該并聯(lián)機構(gòu)的位置反解[14]如式(1)所示：

(1)

式中：d1，d2，d3為移動副的位移，為了滿足該并聯(lián)機構(gòu)的運動要求，三者均取正值；y，z分別為動平臺在定坐標(biāo)系下的YA，ZA方向的位置；L為并聯(lián)機構(gòu)的連桿長度；R為定平臺外接圓半徑；r為動平臺外接圓半徑；θ為動平臺繞YA軸轉(zhuǎn)動的角度；s，c分別表示sin和cos。

由位置反解可得位置正解，如式(2)所示：

(2)

對式(2)進行全微分，得到該并聯(lián)機構(gòu)的誤差模型，如式(3)所示：

(3)

式中：δy,δz,δθ為動平臺位姿誤差；δr,δR,δL為零件制造誤差；δd1,δd2,δd3為移動副固有誤差。

2 并聯(lián)機構(gòu)的誤差分析

該并聯(lián)機構(gòu)r=130 mm，R=590 mm，L=780 mm。為了使零件的配合性質(zhì)比較穩(wěn)定，故并聯(lián)機構(gòu)主要部件的制造精度為IT5。在此制造精度下，經(jīng)查手冊，動平臺、定平臺和連桿的制造誤差分別為δr=±0.009 mm，δR=±0.016 mm，δL=±0.018 mm[15]。由于電缸導(dǎo)致移動副的位移d1，d2和d3存在固有誤差，因此假設(shè)為δdi=±0.01 mm(i=1,2,3)，并聯(lián)機構(gòu)的零件制造誤差呈正態(tài)分布。由于零件的制造誤差具有隨機性，因此用MATLAB進行編程仿真，具體思路如圖2所示。

圖2 誤差仿真邏輯框圖

2.1 位移誤差分析

動平臺位移計算公式如式(4)所示，輸入動平臺轉(zhuǎn)動時間t為30 s。最終仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

(4)

圖3 YA方向位移誤差仿真結(jié)果

圖4 ZA方向位移誤差仿真結(jié)果

2.2 轉(zhuǎn)角誤差分析

動平臺轉(zhuǎn)角計算公式如式(5)所示，輸入動平臺轉(zhuǎn)動時間t為30 s。最終仿真結(jié)果如圖5所示。

(5)

圖5 繞YA軸轉(zhuǎn)角誤差仿真結(jié)果

由圖5可知，雖然曲線的波動較大，但是繞YA軸的轉(zhuǎn)角誤差較小，幾乎對動平臺的轉(zhuǎn)角沒有影響，因此可以忽略不計。

3 并聯(lián)機構(gòu)的誤差補償

3.1 用粒子群算法求解固定誤差的最佳制造誤差

首先定義適應(yīng)度函數(shù)如式(6)和式(7)所示：

(6)

F=|f1|+|f2|+|f3|

(7)

式中：f1，f2，f3分別為δy，δz，δθ的適應(yīng)度函數(shù)；F為目標(biāo)函數(shù)的收斂值。

在粒子群算法中，把式(7)作為目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)F越接近于0，證明求解的結(jié)果越精確。通過采用粒子群算法完成MATLAB編程，給定算法的迭代次數(shù)為500次。在迭代約240次后出現(xiàn)收斂，F(xiàn)=0.003 55，如圖6所示。由于粒子群算法解方程得出滿足條件的結(jié)果并不唯一，因此最終取出誤差補償效果較好的10組解做詳細(xì)分析，見表1。

圖6 粒子群算法目標(biāo)函數(shù)收斂值變化圖

表1 不同組合的零件制造誤差對YA，ZA位移誤差的降低效果

3.2 誤差補償結(jié)果

在表1中選擇第7組較優(yōu)解為例，代入MATLAB中再次仿真，結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖7 誤差補償后YA方向位移誤差仿真結(jié)果

圖8 誤差補償后ZA方向位移誤差仿真結(jié)果

4 結(jié)束語

本文分析了2-PRU-P-2(SS)并聯(lián)機構(gòu)的位移誤差和轉(zhuǎn)角誤差。結(jié)果顯示，該機構(gòu)位移誤差較大，需要優(yōu)化補償；轉(zhuǎn)角誤差較小，不需要優(yōu)化補償。由于沿YA方向的位移誤差比沿ZA方向的位移誤差大，因此在最終誤差補償?shù)姆抡孢^程中，可選擇沿YA方向位移誤差補償效果明顯的一組制造誤差。由于電缸導(dǎo)致移動副位移存在固有誤差，通過粒子群算法，以控制零件制造的方式對動平臺的位姿誤差進行補償。補償之后，動平臺沿YA的位移誤差最高可減少95.92%，沿ZA的位移誤差最高可減少98.11%。