劉 慶,尹曉麗,,李春明,李萬騰,劉 曉,孫 鳳,曹 惠
(1.中國石油大學(華東)中國石油大學勝利學院,山東 東營 257061) (2.中國石油大學(華東)機電工程學院,山東 青島 266580) (3.山東大學機械工程學院,山東 濟南 250061)
在機械設(shè)計[1]學科確定之初,力學和數(shù)學尚未完善和普及,一些知識點的表述缺乏力學和數(shù)學基礎(chǔ),導致理解難度高,初學者必須將其當成基本概念而死記硬背。比如一些計算公式是直接給出的,沒有推導過程,因而成為難懂的知識點。這些高難度知識點阻礙了學科的發(fā)展與普及。
為降低機械設(shè)計諸多知識點的理解難度,需要補充師生均易忽略的力學和數(shù)學基礎(chǔ)及分析步驟。目前,STEM(science科學, technology技術(shù), engineering工程, mathematics數(shù)學)教學理念已成為各學科的研究熱點?;谠摾砟睿矐?yīng)補充機械設(shè)計學科的數(shù)學和力學基礎(chǔ)。
1)“聯(lián)”指抽象的,“接”指連在一起可動,而“連”指具體的,“結(jié)”指不可動地合并,因此多個零件合成一個構(gòu)件應(yīng)為“連結(jié)”,兩個構(gòu)件相連應(yīng)為“連接”。原來的“螺紋聯(lián)接”,應(yīng)改為“螺紋連結(jié)”。
2)螺母扳擰力學模型的建立。根據(jù)運動和受力特點,將螺母與螺桿的相對運動簡化為滑塊在斜面上的上升和下降運動,并以滑塊為研究對象進行受力分析。分析支承力和摩擦力的關(guān)系式應(yīng)補充矢量的平行四邊形法則及正交分解與合成方法。假設(shè)螺母相對于螺桿做勻速旋動,根據(jù)螺母所受外力及牛頓第二定律列出力的矢量方程。計算擰緊和放松時的驅(qū)動力矩,需補充力矩M的矢量定義:
M=l×F
(1)
式中:l為從轉(zhuǎn)動中心到力作用線垂足的矢量;F為力矢量。
在平面當中研究受力,所有的力矩均垂直于該平面,只有正負之分,因而可作為標量進行運算,在數(shù)值上等于力乘以力臂。
3)用矢量方程圖解法求取未知量時需補充矢量等式的幾何意義。在分析各矢量的大小和方向后,等號兩邊的矢量分別首尾相接,如果兩者的起點相同,則終點重合。該特點與矢量的連接順序無關(guān)。
4)計算軸向力所作的功時需補充功的定義。功是標量,位移是螺母的軸向移動距離,而不是路程。求螺旋升角的最大值時應(yīng)補充函數(shù)的極值條件及復合三角函數(shù)求導公式。計算螺旋轉(zhuǎn)動一圈的輸入功[2]時應(yīng)補充轉(zhuǎn)矩T所作功W的定義:力矩與轉(zhuǎn)動角度的乘積。W在數(shù)值上為:
W=T2π=Fr2π=FC
(2)
T=r×F
(3)
T=rF=Fr
(4)
式中:整體傳動角度上的轉(zhuǎn)矩T與零件受力角度上的扭矩在數(shù)值上相等,與施力角度上的力矩M也在數(shù)值上相等;F為產(chǎn)生力矩的力;r為力作用點所在螺母上圓的半徑;C為該圓的周長;黑斜體符號為相應(yīng)的矢量。
5)對于具有自鎖功能的螺紋,證明效率η小于50%時需補充不等式成立的條件。
(5)
式中:ψ為螺紋升角;ρ′為接觸面的當量摩擦角。
第一個不等式成立的依據(jù)為分母增大則分式減小。
(6)
第二個不等式成立的依據(jù)為螺紋連結(jié)的自鎖條件:
ψ<ρ′
(7)
也可根據(jù)式(7)及半角公式證明:
(8)
6)當鉸制孔螺栓連結(jié)或鉚結(jié)承受橫向載荷時,螺桿或鉚釘桿受到擠壓。需補充:當被擠壓面為圓柱面時,有效擠壓面積為實際接觸面在直徑平面上的投影面積;螺栓或鉚釘桿在受力面積上可視為均勻受力,壓強可作為正應(yīng)力,力除以剪切面積可作為切應(yīng)力。
7)受橫向工作載荷的緊螺栓連結(jié)會受到摩擦力矩的作用,需補充:轉(zhuǎn)矩T作用下轉(zhuǎn)動零件所受的切應(yīng)力計算式。用于起吊重物的松螺栓連結(jié)需考慮沖擊的影響。如忽略沖擊,則設(shè)計的設(shè)備容易損傷。因此,必須增大安全系數(shù)、載荷系數(shù)或螺栓直徑。
8)細長螺桿受較大軸向壓力時,存在失效[3]的可能。目前除臨界載荷之外尚無其他設(shè)計依據(jù)。該依據(jù)來源于壓桿失效。原來,該失效與受軸向壓力轉(zhuǎn)軸失去自動定心能力的失穩(wěn)相混淆,定義為壓桿失穩(wěn)。該定義誤導了研究方向,導致避免該類失效的設(shè)計準則尚無成熟理論。如果以失效的機理為研究目標則更有希望獲得進展。
9)螺栓連結(jié)的強度計算需采用試算法。許用應(yīng)力隨螺栓尺寸的變化而有所變化。因此,設(shè)計時,先假設(shè)螺栓尺寸來確定許用應(yīng)力并計算最大應(yīng)力,再比較兩者的大小。如果最大應(yīng)力大于或遠小于許用應(yīng)力,則修改螺栓尺寸并重復上述步驟。螺栓既受到正應(yīng)力又受到切應(yīng)力,需用當量應(yīng)力設(shè)計尺寸或校核強度。因此,需補充零件設(shè)計常用的第三強度理論(最大切應(yīng)力理論)和第四強度理論(形狀改變比能理論)[4]。
(9)
(10)
式中:W為所作的功;t為時間;F為所受的力;s為力方向上發(fā)生的位移;r為轉(zhuǎn)動中心到F的垂直距離;n為轉(zhuǎn)速。
如果所有變量均采用國際單位制,則很多公式的常數(shù)不再出現(xiàn),且更便于理解。
2)設(shè)計軟齒面中心距時需采用模數(shù)、齒數(shù)和螺旋角的試算值,然后再校核試算的模數(shù)是否滿足彎曲強度要求。如果校核結(jié)果為不滿足,則需要依次調(diào)整這3個參數(shù)。
輪齒之間是點線接觸,計算齒面疲勞應(yīng)力時需補充赫茲公式。該式根據(jù)應(yīng)力定義及變形特點推導而來,但是未介紹推導過程。理解各符號含義即可用于教材上尚未介紹的齒輪齒條傳動、凸輪傳動等的接觸應(yīng)力計算。計算輪齒彎曲應(yīng)力時需補充彎曲疲勞應(yīng)力計算公式、危險界面的彎曲截面系數(shù)、30°危險截面等材料力學知識點。
3)分析帶受力的步驟為:建立坐標系—取微帶—沿切向和法向分別分析所有受力,根據(jù)牛頓第二定律獲得方程組。計算帶的應(yīng)力分布時需補充力的疊加原理,即各力單獨作用結(jié)果之和與共同作用的結(jié)果相同。一般情況下,機械上的力學系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)。求壓軸力(作用在帶輪軸上的力)時需補充正弦定理和余弦定理??捎蓭缀侮P(guān)系獲得方程,需要特別注意的是帶傳動緊邊和松邊的拉力不相等的情況。帶傳遞的功率可表示為拉力與帶速乘積的形式,該定義推導式為:
(11)
4)推導撓性體摩擦的歐拉公式[5]時需補充重要極限、二階近似式、對數(shù)函數(shù)及其求導方法。帶傳動的離心慣性力FC的計算需利用:
(12)
式中:x為變量;α為帶輪的包角。
帶由兩段線段和兩段圓弧組成,在求帶長時,需要使用該極限(見式12),同時還要使用有限項無窮階近似級數(shù)(泰勒級數(shù))的近似公式:
(13)
式中:f(·)為函數(shù);x0為當前點。
5)懸垂的鏈在傳動方向、豎直方向、橫向上均存在周期性變化的速度分量。分析鏈傳動的多邊形效應(yīng)需要補充振動力學[6-7]的簡諧振動。此外還需根據(jù)相對運動建模。
6)凸輪輪廓線的反轉(zhuǎn)法設(shè)計需補充相對運動原理[8]。如果令紙作勻速轉(zhuǎn)動,令從動件按給定規(guī)律運動,則兩構(gòu)件接觸點在紙上留下凸輪輪廓線,但是實現(xiàn)難度很高。如令整個機構(gòu)反轉(zhuǎn),而紙保持不變,則易實現(xiàn)繪圖。
剛化反轉(zhuǎn)法是在確定結(jié)構(gòu)尺寸時常用的機構(gòu)設(shè)計方法。將多個設(shè)計條件分別繪在紙上,根據(jù)已知構(gòu)件將多張紙重合,則可將給定連架桿位置的設(shè)計轉(zhuǎn)化為給定連桿位置的設(shè)計。
在機械加工中,刀具與工件通過相對運動完成復雜的加工。當轉(zhuǎn)動的刀具剛度不足時,可令工件轉(zhuǎn)動,完成相同的切削任務(wù)。復雜的加工面可由刀具和工件同時運動而獲得。
7)周轉(zhuǎn)輪系的轉(zhuǎn)化輪系需基于相對運動建立。針對實際嚙合情況,標注各體的假定轉(zhuǎn)動方向,基于嚙合關(guān)系建立轉(zhuǎn)速與齒輪齒數(shù)之間的關(guān)系式。對于圖1所示的機構(gòu),標注系桿的轉(zhuǎn)動方向,系桿指向紙外的運動會造成齒輪2轉(zhuǎn)速變慢或反轉(zhuǎn),因此齒輪2上向左標注系桿的轉(zhuǎn)動方向可與齒輪3上向下標注相一致。根據(jù)嚙合關(guān)系,可列出參考計算式:
(14)
(15)
式中:i為傳動比;ω為角速度;z為齒數(shù);數(shù)字下標為齒輪序號;下標H為系桿代號;上標H表示相對于系桿。如果由方程組或方程求得某體轉(zhuǎn)速為負值,則其實際轉(zhuǎn)動方向與假定方向相反。
圖1 標注方向的周轉(zhuǎn)輪系
1)軸上多個鍵槽布置原表述為:布置在同一母線上。一個形狀布置在一條線上,難以確定位置。因此,該表述改為:為了加工方便,同一軸上的多個鍵槽,必須與經(jīng)過軸線的同一個平面對稱,并且寬度應(yīng)盡量相同。
2)軸承支反力在經(jīng)典著作上只提供了需死記硬背的計算式。理論上,在軸線所在的平面內(nèi),軸系沒有轉(zhuǎn)動,但是仍滿足剛體的力矩平衡方程,基于此可推導計算式。計算角接觸軸承的軸向力時,應(yīng)明確軸承外圈為研究對象。軸的強度校核和剛度校核完全是一道力學應(yīng)用題,需補充并強調(diào)材料力學的彎矩、扭矩、強度理論、疊加原理、撓度、轉(zhuǎn)角、扭角等知識點[9]。這類綜合運用多個力學和數(shù)學知識點的過程,只要有一處需要死記硬背,該過程的難度就陡然提升。
3)滑動軸承的工作過程應(yīng)補充流體動壓理論。根據(jù)形成動壓的條件,可分析其啟動過程的3個階段?;瑒虞S承壓力場與溫度場的計算均需要另一個場已知,先假設(shè)一個溫度場,計算出壓力場之后,再計算溫度場。該結(jié)果必然與假設(shè)值不同,修正之后,重新計算壓力場。多物理場交替求解[10],直到修正量足夠小為止。
4)萬向連軸器主動-從動軸的速比關(guān)系式推導過程需補充:動坐標系與靜坐標系之間的坐標轉(zhuǎn)換矩陣、三角函數(shù)求導公式、三角函數(shù)代換公式和矢量運算法則等?;谧鴺讼缔D(zhuǎn)換和矢量運算的推導結(jié)果[5]相同,二者之間相互驗證。
令主動軸轉(zhuǎn)角為φ1、從動軸轉(zhuǎn)角為φ3、兩軸夾角為β,則該速比關(guān)系式為:
(16)
機械設(shè)計是以高等數(shù)學、材料力學和彈性力學等為基礎(chǔ)的專業(yè)學科,概念及理論體系必須具有連續(xù)性和交叉性。這種不同學科知識點之間的聯(lián)系普遍存在,如:從蝙蝠吃肉到超聲波應(yīng)用,從二分法悖論到盲人探路及半步優(yōu)化方法,從排列組合理論到窮舉機構(gòu)法等。
術(shù)語的命名如符合漢語語義則更易懂易學,否則憑空增加了知識點。從語言學角度重新審視基本概念是有必要的。目前,力學和數(shù)學知識足夠普及,機械設(shè)計學科除定義外,任何死記硬背的知識點都能轉(zhuǎn)化為可理解的導出概念。本文針對高難度知識點所補充的力學和數(shù)學基礎(chǔ),以及所提出的創(chuàng)新點,均有利于機械設(shè)計學科的發(fā)展。