王 卓，徐 瑞，李朝玉，朱圣英，陳德相

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2. 深空自主導(dǎo)航與控制工業(yè)和信息部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081；3.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240)

0 引 言

隨著航天技術(shù)的發(fā)展，需要航天器具有良好的姿態(tài)機(jī)動(dòng)能力，而航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)能力在很大程度上取決于姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力[1]。航天器在完成姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)時(shí)，大多采用推力器作為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)。然而，采用推力器進(jìn)行長(zhǎng)周期大角度的姿態(tài)機(jī)動(dòng)會(huì)消耗大量燃料，在一定程度上限制了航天器的工作能力。零推進(jìn)劑姿態(tài)機(jī)動(dòng)(Zero propellant maneuver, ZPM)技術(shù)是一種成功應(yīng)用于國(guó)際空間站的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)技術(shù)[2]。ZPM采用控制力矩陀螺代替推力器作為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，這在延長(zhǎng)航天器在軌時(shí)間，提高航天器安全性方面具有實(shí)際意義[3]。

ZPM的概念最早出現(xiàn)于1996年，由美國(guó)麻省理工學(xué)院德拉普爾實(shí)驗(yàn)室的Bedrossian提出[4]。其核心思想是提前規(guī)劃出滿足控制力矩陀螺約束的姿態(tài)路徑和控制力矩陀螺框架角運(yùn)動(dòng)路徑，使得航天器在執(zhí)行多種空間任務(wù)時(shí)控制力矩陀螺不會(huì)陷入奇異或飽和狀態(tài)，從而不需要消耗額外燃料進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)或消除控制力矩陀螺的奇異和飽和狀態(tài)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)航天器的零推進(jìn)劑姿態(tài)機(jī)動(dòng)。

2006年11月5日，NASA首次在國(guó)際空間站上采用ZPM技術(shù)完成了90°的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，使用雙框架控制力矩陀螺作為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)[5]。2007年3月3日，NASA在國(guó)際空間站上通過ZPM技術(shù)實(shí)現(xiàn)180°的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，和同等機(jī)動(dòng)條件下的推力器相比節(jié)省50.76 kg燃料消耗，節(jié)約的燃料成本達(dá)110萬(wàn)美元[6]。同時(shí)，預(yù)計(jì)于2022年完成的中國(guó)空間站，采用的執(zhí)行機(jī)構(gòu)是可靠性高和可控性好的單框架控制力矩陀螺(Single gimbal control moment gyroscopes，SGCMGs)[7]。上述工程實(shí)驗(yàn)為本文的研究提供了方向和理論依據(jù)，但是其考慮的約束較少，而實(shí)際的航天器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)不僅要考慮控制力矩陀螺的約束，更要考慮姿態(tài)約束。

當(dāng)前的SGCMGs的研究，大多基于給定參考姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑的SGCMGs奇異躲避或逃離操縱律設(shè)計(jì)[8-10]。Kurokawa使用梯度法避免SGCMGs奇異，將零運(yùn)動(dòng)添加到偽逆解中得SGCMGs奇異避免操縱律，但是這種方法可能會(huì)陷入某些特殊的奇異狀態(tài)[11]。Bedrossian等提出了基于力矩誤差的奇異魯棒操縱律，可以讓SGCMGs在陷入奇異時(shí)快速逃離奇異，但是當(dāng)控制力矩矢量和奇異方向一致時(shí)，就會(huì)陷入鎖死狀態(tài)從而無(wú)法逃離奇異[12]。Hou等提出了一種解析的SGCMGs奇異躲避操縱律，在滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)全局奇異躲避[13]。上述方法可以跟蹤設(shè)定好的參考姿態(tài)路徑進(jìn)行奇異躲避，但是實(shí)際運(yùn)行中的航天器姿態(tài)路徑難以提前確定，且航天器難以實(shí)時(shí)更新姿態(tài)路徑參數(shù)。因此，雖然上述方法可以有效避免SGCMGs奇異，但并不適合解決實(shí)際航天器運(yùn)行中的ZPM問題。

針對(duì)ZPM問題，在設(shè)計(jì)SGCMGs奇異躲避操縱律的同時(shí)，也要對(duì)航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)進(jìn)行規(guī)劃[14-16]。NASA的Bedrossian等通過偽譜法進(jìn)行ZPM技術(shù)的研究，借助DIDO優(yōu)化軟件設(shè)計(jì)出國(guó)際空間站首次ZPM大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的路徑軌跡[2]。Zhang等采用高斯偽譜法得出最優(yōu)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑和SGCMGs框架角運(yùn)動(dòng)，能夠使SGCMGs在ZPM機(jī)動(dòng)中一直遠(yuǎn)離奇異狀態(tài)[17]。但是通過偽譜法仿真可以發(fā)現(xiàn)，該方法的計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)且無(wú)法滿足節(jié)點(diǎn)間約束。為了實(shí)現(xiàn)時(shí)間和能量等多種指標(biāo)優(yōu)化，Zhao等提出了偽譜法和物理規(guī)劃相結(jié)合的混合算法，實(shí)現(xiàn)了ZPM中SGCMGs框架角運(yùn)動(dòng)的多目標(biāo)優(yōu)化，但也只能生成無(wú)姿態(tài)約束的機(jī)動(dòng)路徑[18]。以往的研究一般只考慮ZPM過程中的SGCMGs約束和初始邊界約束，而忽略了姿態(tài)空間約束，如太陽(yáng)能電池板和光學(xué)敏感器的方位約束[19]。同時(shí)，大多數(shù)ZPM規(guī)劃方法通過偽譜法和優(yōu)化工具箱進(jìn)行全局離線規(guī)劃，難以實(shí)現(xiàn)在軌應(yīng)用，因此需要研究考慮滿足多種約束的在線ZPM規(guī)劃方法。

基于上述討論，本文主要研究航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中的ZPM技術(shù)，旨在提出一種同時(shí)考慮姿態(tài)約束和SGCMGs約束的ZPM路徑規(guī)劃方法，使航天器在進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)前可以規(guī)劃出一條滿足多種約束的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑和SGCMGs框架角路徑。本文提出一種基于約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式的差分進(jìn)化(Differential evolution，DE)方法，通過對(duì)ZPM原理進(jìn)行約束和復(fù)雜度分析，設(shè)計(jì)姿態(tài)規(guī)劃空間內(nèi)的ZPM規(guī)劃序列，采用歐拉機(jī)動(dòng)保證路徑的連續(xù)性。在規(guī)劃空間中建立約束評(píng)價(jià)函數(shù)，設(shè)計(jì)基于評(píng)價(jià)函數(shù)的啟發(fā)式策略，對(duì)航天器約束和控制力矩陀螺約束進(jìn)行解耦處理。將約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式策略用于改進(jìn)DE算法的種群變異，引導(dǎo)ZPM規(guī)劃序列滿足約束。最后通過航天器ZPM仿真校驗(yàn)，驗(yàn)證啟發(fā)式DE方法的合理性和有效性。

1 航天器零推進(jìn)劑姿態(tài)機(jī)動(dòng)模型

本節(jié)對(duì)航天器ZPM進(jìn)行建模和約束分析，并且定義了新的SGCMGs飽和度量。

1.1 ZPM動(dòng)力學(xué)

本文將航天器視為能夠三軸運(yùn)動(dòng)的剛體，在繞中心天體轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)可以自由機(jī)動(dòng)[14]，并以SGCMGs為姿態(tài)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，選擇姿態(tài)四元數(shù)作為姿態(tài)參數(shù)，ZPM的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程如下：

(1)

(2)

式中：姿態(tài)四元數(shù)q=[q0,q1,q2,q3]T，且滿足：

(3)

其中:uc表示SGCMGs提供的控制力矩;Te表示環(huán)境力矩;J是航天器的慣性矩陣;ω0表示航天器的軌道角速度;ω=[ω1,ω2,ω3]T表示航天器角速度，ω+是ω的叉乘矩陣形式：

(4)

在ZPM中需要考慮SGCMGs框架角運(yùn)動(dòng)，SGCMGs的動(dòng)力學(xué)方程為：

(5)

(6)

式中:hc表示SGCMGs角動(dòng)量;h0表示單個(gè)SGCMG的角動(dòng)量;δ表示SGCMGs框架角組合;Jc(δ)表示SGCMGs控制力矩的雅克比矩陣：

Jc(δ)=ACδ-BSδ

(7)

式中:A和B是SGCMGs的安裝矩陣，與SGCMGs的構(gòu)型相關(guān);Sδ是框架角組合的正弦對(duì)角矩陣;Cδ是框架角組合的余弦對(duì)角矩陣。

1.2 SGCMGs約束

實(shí)現(xiàn)ZPM的關(guān)鍵是機(jī)動(dòng)過程中SGCMGs滿足奇異和飽和約束，這里對(duì)SGCMGs約束進(jìn)行分析。

單個(gè)SGCMG只能產(chǎn)生垂直于框架軸的角動(dòng)量，因此只能提供單自由度的控制力矩。為了實(shí)現(xiàn)航天器的三軸控制，至少需要三個(gè)及以上SGCMG提供控制力矩[18]。由于可靠性高和控制性能較好，本文采用五棱錐構(gòu)型的SGCMGs，如圖1所示。

圖1 五棱錐構(gòu)型SGCMGs示意圖Fig.1 Illustration of SGCMGs with pentagonal configuration

SGCMGs構(gòu)型和框架角組合共同決定SGCMGs控制力矩的大小和方向，但在某些特定的框架角組合中，SGCMGs產(chǎn)生的力矩處于同一個(gè)平面內(nèi)，無(wú)法提供期望的控制力矩，這種現(xiàn)象叫做SGCMGs奇異，也被稱為內(nèi)部奇異。

在ZPM中SGCMGs需要遠(yuǎn)離奇異狀態(tài)。衡量SGCMGs奇異程度的參數(shù)為奇異度量m：

(8)

當(dāng)奇異度量m等于0時(shí)，SGCMGs陷入奇異狀態(tài)，SGCMGs的奇異約束為：

m>0

(9)

本文SGCMGs飽和是指SGCMGs的總角動(dòng)量達(dá)到角動(dòng)量包絡(luò)面，無(wú)法繼續(xù)沿角動(dòng)量包絡(luò)面的法線方向提供力矩，也稱為外部奇異。五棱錐構(gòu)型SGCMGs的包絡(luò)面是有著六對(duì)凹陷的近似的球體。為了避免SGCMGs飽和，當(dāng)前的研究主要是以角動(dòng)量包絡(luò)面上的最小振幅Hm為半徑的球體作為SGCMGs框架角的可行解空間[20]，設(shè)置飽和約束為：

(10)

根據(jù)式(9)判斷飽和約束不僅會(huì)減少SGCMGs角動(dòng)量的可行域，同時(shí)僅根據(jù)SGCMGs角動(dòng)量而不是框架角組合來(lái)進(jìn)行規(guī)劃，有時(shí)無(wú)法得到準(zhǔn)確的SGCMGs框架角運(yùn)動(dòng)路徑。

因此，本文基于SGCMGs框架角組合設(shè)計(jì)飽和度量b，用以衡量SGCMGs飽和狀態(tài)：

(11)

SGCMGs遠(yuǎn)離飽和狀態(tài)，需要保證飽和度量b大于0，即SGCMGs的飽和約束為：

b>0

(12)

1.3 姿態(tài)約束

除了上述SGCMGs約束，航天器在ZPM過程中也面臨較為復(fù)雜的姿態(tài)約束，包括姿態(tài)指向約束、有界約束和初始終端約束等[14]。

姿態(tài)指向約束縮小了ZPM中航天器的可行姿態(tài)空間。航天器必須避免強(qiáng)光天體進(jìn)入光學(xué)元件的視場(chǎng)[15]，姿態(tài)指向約束表示形式為：

(13)

式中：rb表示光學(xué)元件在本體系的方向;CbI表示航天器的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣;ri表示強(qiáng)光天體在慣性系中的方向;θ是光學(xué)元件視場(chǎng)角。圖2所示為姿態(tài)指向約束示意圖。

圖2 姿態(tài)指向約束示意圖Fig.2 Illustration of attitude pointing constraint

(14)

初始終端約束是指ZPM中航天器從初始平衡狀態(tài)機(jī)動(dòng)到目標(biāo)平衡狀態(tài)：

(15)

式中：q0為初始姿態(tài);qf為目標(biāo)姿態(tài);δ0為初始框架角;δf為目標(biāo)框架角;t0為初始時(shí)間;tf為終端時(shí)間。

1.4 ZPM規(guī)劃模型

基于上述動(dòng)力學(xué)和約束分析，建立ZPM規(guī)劃模型如下：

(16)

基于ZPM規(guī)劃模型對(duì)航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)進(jìn)行規(guī)劃，即可得到航天器的姿態(tài)路徑和SGCMGs框架角路徑。

2 約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式DE算法

本文提出基于約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式的DE算法，在姿態(tài)規(guī)劃空間中設(shè)計(jì)約束評(píng)價(jià)函數(shù)和啟發(fā)式策略，并基于DE算法框架進(jìn)行ZPM規(guī)劃。

2.1 ZPM規(guī)劃序列

本文在姿態(tài)規(guī)劃空間中進(jìn)行ZPM規(guī)劃，本節(jié)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的ZPM規(guī)劃序列，便于后續(xù)規(guī)劃。

從式(16)可以看出，ZPM問題中的航天器運(yùn)動(dòng)以及SGCMGs框架角運(yùn)動(dòng)分別位于姿態(tài)規(guī)劃空間和SGCMGs框架角規(guī)劃空間，且存在映射關(guān)系。3維的姿態(tài)規(guī)劃空間映射到6維的框架角規(guī)劃空間，單個(gè)姿態(tài)規(guī)劃解對(duì)應(yīng)一個(gè)或多個(gè)框架角組合規(guī)劃解。

基于ZPM的規(guī)劃復(fù)雜度和約束復(fù)雜性，選擇在姿態(tài)規(guī)劃空間中進(jìn)行ZPM規(guī)劃。耦合約束限制了ZPM的可行解空間和規(guī)劃速度，選擇姿態(tài)規(guī)劃空間既可以參數(shù)化多個(gè)ZPM指標(biāo)，又可以通過降維來(lái)提高ZPM規(guī)劃效率。

考慮到偽譜法中節(jié)點(diǎn)間約束難以滿足，本文在姿態(tài)空間中設(shè)計(jì)基于多段歐拉參數(shù)的ZPM規(guī)劃序列P：

P=(s1,t1,…,si,ti,…,sn,tn),(i∈1,…,n)

(17)

式中：s為節(jié)點(diǎn)姿態(tài)參數(shù)，且si=(qi0,qi1,qi2,qi3)，t為規(guī)劃步長(zhǎng)，且都為正整數(shù)，下標(biāo)i表示節(jié)點(diǎn)序號(hào)。

在ZPM規(guī)劃序列P中，以歐拉姿態(tài)機(jī)動(dòng)執(zhí)行規(guī)劃動(dòng)作，連接節(jié)點(diǎn)之間的姿態(tài)路徑：

(18)

(19)

進(jìn)一步地，路徑旋轉(zhuǎn)四元數(shù)qr為：

(20)

節(jié)點(diǎn)si和si+1之間路徑集合qsi(j), (j=1,…,ti)：

qsi(j)=qsi(j-1)?qr, (j=1,…,ti)

(21)

將式(21)帶入式(17)的規(guī)劃序列P中，即可得到n-1段連續(xù)姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。在ZPM規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上，以機(jī)動(dòng)時(shí)間為目標(biāo)函數(shù)，將ZPM規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為時(shí)間優(yōu)化問題，在姿態(tài)規(guī)劃空間中求解，得到航天器姿態(tài)路徑q(t)、角速度ω(t)和SGCMGs框架角δ(t)。

2.2 約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式

ZPM問題中SGCMGs約束和姿態(tài)約束耦合，增加了規(guī)劃求解難度。當(dāng)前ZPM研究多是基于偽譜法進(jìn)行規(guī)劃[16-18]，但是偽譜法在約束增多的情況就會(huì)出現(xiàn)規(guī)劃效率降低和難以滿足節(jié)點(diǎn)間約束的情況。且多數(shù)研究?jī)H考慮SGCMGs約束，忽略了姿態(tài)指向等姿態(tài)約束。

面對(duì)多種ZPM約束耦合難以處理的問題，本文設(shè)計(jì)約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式，以期快速引導(dǎo)ZPM規(guī)劃序列滿足上述約束。

首先，基于ZPM過程中約束的影響機(jī)理對(duì)ZPM約束進(jìn)行解耦分類處理。航天器姿態(tài)指向約束和有界約束分別在三維空間指向和節(jié)點(diǎn)間距離方面對(duì)ZPM路徑進(jìn)行限制，SGCMGs奇異和飽和約束同時(shí)在SGCMGs框架角組合方面進(jìn)行限制。因此根據(jù)其約束機(jī)理設(shè)置姿態(tài)指向約束評(píng)價(jià)函數(shù)、有界約束評(píng)價(jià)函數(shù)、SGCMGs奇異和飽和約束評(píng)價(jià)函數(shù)。

然后，針對(duì)約束評(píng)價(jià)函數(shù)，設(shè)計(jì)啟發(fā)式策略，引導(dǎo)ZPM規(guī)劃序列P滿足上述多種約束。約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式以約束處理為主要關(guān)注目標(biāo)，具體過程如下。

(22)

式中：k代表姿態(tài)指向約束區(qū)域序號(hào);θk為對(duì)應(yīng)的約束區(qū)域視場(chǎng)角。

(23)

式中：

(24)

式中：I3表示3階單位矩陣。

(25)

(26)

通過候選安全節(jié)點(diǎn)sp替換約束節(jié)點(diǎn)si，啟發(fā)式引導(dǎo)規(guī)劃序列P滿足姿態(tài)指向約束：

(si,ti)=(sp,tp)

(27)

在有界約束啟發(fā)式方面，不涉及路徑指向，主要考慮路徑中的節(jié)點(diǎn)距離。有界約束和規(guī)劃步長(zhǎng)ti負(fù)相關(guān)，通過限制路徑的控制力矩和角速度壓縮節(jié)點(diǎn)間空間距離。值得注意的是，這里的規(guī)劃步長(zhǎng)ti指的是姿態(tài)規(guī)劃序列P中節(jié)點(diǎn)間的機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)。

因此，這里將有界約束滿足問題轉(zhuǎn)化為規(guī)劃步長(zhǎng)ti選擇問題。通過節(jié)點(diǎn)空間距離和有界約束上限來(lái)估計(jì)規(guī)劃步長(zhǎng)ti，設(shè)計(jì)有界約束評(píng)價(jià)函數(shù)Cd(si)來(lái)判斷約束區(qū)間和約束程度，采用評(píng)估Cd(si)引導(dǎo)規(guī)劃序列滿足有界約束的啟發(fā)式策略。

Cd(si)=Cd(uc)+Cd(ω)

(28)

在姿態(tài)規(guī)劃空間中，控制力矩和角速度同時(shí)影響規(guī)劃步長(zhǎng)ti，因此有界約束評(píng)價(jià)函數(shù)Cd(si)由控制力矩和角速度對(duì)規(guī)劃步長(zhǎng)ti的評(píng)價(jià)函數(shù)Cd(uc)和Cd(ω)組成:

(29)

式中：uc(k)和ω(k)表示從節(jié)點(diǎn)si和節(jié)點(diǎn)si+1的中間路徑的控制力矩和角速度，規(guī)劃步長(zhǎng)ti對(duì)應(yīng)中間路徑的機(jī)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)，w1和w2分別表示控制力矩和角速度的估計(jì)權(quán)值，滿足w1+w2=N1：

(30)

式中：N1為權(quán)值系數(shù);w1和w2互斥是因?yàn)樵谕还?jié)點(diǎn)處只有一種有界約束處于主導(dǎo)位置。

當(dāng)Cd(si)>1時(shí)，節(jié)點(diǎn)si違反有界約束。通過Cd(si)判斷P中違反有界約束的節(jié)點(diǎn)、違反程度以及對(duì)應(yīng)的約束項(xiàng)，同時(shí)用于生成新的規(guī)劃步長(zhǎng)。基于當(dāng)前規(guī)劃步長(zhǎng)ti和對(duì)應(yīng)的Cd(si)估計(jì)滿足有界約束的規(guī)劃步長(zhǎng)td：

td=ceil(tiln(Cd(si))+1)

(31)

其中,ceil( )表示返回大于或者等于指定表達(dá)式的最小整數(shù)。

通過候選安全節(jié)點(diǎn)td替換約束節(jié)點(diǎn)規(guī)劃步長(zhǎng)ti，引導(dǎo)規(guī)劃序列P滿足姿態(tài)指向約束。

在SGCMGs奇異和飽和約束啟發(fā)式方面，ZPM規(guī)劃序列P在姿態(tài)空間進(jìn)行規(guī)劃，此時(shí)無(wú)法直接對(duì)SGCMGs奇異和飽和約束判斷。因此設(shè)計(jì)SGCMGs奇異和飽和躲避規(guī)劃操縱率，采用SGCMGs奇異約束評(píng)價(jià)函數(shù)Cm(si)和飽和約束評(píng)價(jià)函數(shù)Cb(si)來(lái)判斷約束區(qū)域和約束違反程度，再通過評(píng)估Cm(si)和Cb(si)引導(dǎo)規(guī)劃序列滿足約束的啟發(fā)式策略:

(32)

式中：δi表示si對(duì)應(yīng)的SGCMGs框架角組合。當(dāng)Cm(si)和Cb(si)都大于0時(shí)，SGCMGs滿足奇異和飽和約束。

通過對(duì)五棱錐構(gòu)型的內(nèi)部奇異點(diǎn)和外部奇異點(diǎn)分析，設(shè)計(jì)基于勢(shì)函數(shù)思想[10]的SGCMGs奇異和飽和躲避規(guī)劃操縱率，用于SGCMGs框架角運(yùn)動(dòng)提供航天器要求的指令力矩。

在框架角規(guī)劃空間中，設(shè)計(jì)SGCMGs內(nèi)部奇異點(diǎn)持續(xù)排斥δi，SGCMGs外部奇異點(diǎn)先吸引再排斥的SGCMGs框架角運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到對(duì)應(yīng)的框架角轉(zhuǎn)動(dòng)矢量di的吸引勢(shì)函數(shù)Vai和排斥勢(shì)函數(shù)Vpi：

(33)

式中：w3和w4分別表示對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)權(quán)值。通過式(33)得到框架角轉(zhuǎn)動(dòng)矢量di：

2w4(Cb(si))2

(34)

(35)

2.3 啟發(fā)式DE規(guī)劃

ZPM約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式能夠處理ZPM過程中的復(fù)雜約束，可以和多種優(yōu)化方法結(jié)合進(jìn)行啟發(fā)式規(guī)劃，這里和DE算法結(jié)合進(jìn)行啟發(fā)式DE規(guī)劃。

DE算法通過適應(yīng)度函數(shù)對(duì)種群進(jìn)行評(píng)價(jià)，通過變異交叉得到中間種群，基于適應(yīng)度函數(shù)判斷是否得到最優(yōu)個(gè)體[21]。啟發(fā)式DE規(guī)劃方法用啟發(fā)式約束評(píng)價(jià)函數(shù)更新適應(yīng)度函數(shù)，將約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式放入DE算法的變異過程中，快速引導(dǎo)規(guī)劃序列滿足多種約束。下面是約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式的DE應(yīng)用以及算法改進(jìn)部分。

機(jī)動(dòng)時(shí)間作為優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)：

Jt=tf

(36)

在啟發(fā)式變異方面，考慮到ZPM問題約束的復(fù)雜性，在變異進(jìn)程中優(yōu)先進(jìn)行約束處理，通過判斷評(píng)價(jià)函數(shù)是否超出評(píng)價(jià)閾值Cw，進(jìn)行如式(37)的約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式規(guī)劃。當(dāng)滿足約束之后，則進(jìn)行變異操作，優(yōu)化總適應(yīng)度函數(shù)Jz。啟發(fā)式變異向量vj,G+1如下產(chǎn)生：

vj,G+1=

(37)

而突變算子F的取值影響算法的搜索空間和效率，F(xiàn)越大搜索范圍越廣，這里將F設(shè)置為根據(jù)規(guī)劃進(jìn)程可變的形式：

F=exp(-fi/fmax)w

(38)

式中：fi是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)數(shù);fmax是總節(jié)點(diǎn)數(shù);w是控制參數(shù)。這樣突變算子F在規(guī)劃前期較大后期較小，這樣具有較好的前期全局規(guī)劃能力以及后期收斂速度。

根據(jù)總適應(yīng)度函數(shù)Jz將最優(yōu)個(gè)體與當(dāng)前種群中的個(gè)體向量進(jìn)行比較，選擇是否保留當(dāng)前個(gè)體，逐代更新，得到ZPM的最優(yōu)解。

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)進(jìn)行了多種約束條件下航天器ZPM規(guī)劃仿真，以校驗(yàn)本文提出的啟發(fā)式DE規(guī)劃算法的有效性。

在仿真驗(yàn)證中，航天器僅由SGCMGs提供控制力矩進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)，構(gòu)型為五棱錐構(gòu)型，每個(gè)SGCMG的轉(zhuǎn)子角動(dòng)量為1000 N·m·s。航天器在z軸方向安裝光學(xué)相機(jī)，方向矢量由rb表示，其需要躲避的明亮天體的指向分別是ri1、ri2、ri3和ri4，視場(chǎng)角θ1、θ2和θ3是30°，θ4是25°，其他仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真條件Table 1 Simulation conditions

通過啟發(fā)式DE方法，對(duì)ZPM進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果如下。

圖3到圖5分別給出ZPM過程中的姿態(tài)參數(shù)、控制力矩和角速度。圖3顯示航天器能夠?qū)崿F(xiàn)從初始姿態(tài)q0到目標(biāo)姿態(tài)qf的平穩(wěn)機(jī)動(dòng)，滿足初始終端約束。圖4和圖5顯示由SGCMGs提供的控制力矩以及航天器角速度都沒有超出上限值，滿足有界約束。本文的離散ZPM規(guī)劃序列節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)之間的路徑通過歐拉姿態(tài)機(jī)動(dòng)連接，因此控制力矩主要施加在節(jié)點(diǎn)處，保證節(jié)點(diǎn)間的機(jī)動(dòng)連續(xù)性和角速度的平穩(wěn)性。

圖3 ZPM姿態(tài)四元數(shù)曲線Fig.3 ZPM attitude maneuver quaternion curve

圖4 ZPM控制力矩曲線Fig.4 ZPM control torque curve

圖5 ZPM角速度曲線Fig.5 ZPM attitude angular velocity curve

圖6 SGCMGs奇異度量Fig.6 Singular measures of SGCMGs

圖7 SGCMGs飽和度量Fig.7 Saturation measurement of SGCMGs

圖6和圖7給出ZPM過程中SGCMGs的奇異度量和飽和度量。圖6顯示機(jī)動(dòng)過程中SGCMGs一直遠(yuǎn)離奇異狀態(tài)，滿足奇異約束，圖7顯示機(jī)動(dòng)過程中SGCMGs能夠避免進(jìn)入飽和狀態(tài)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了航天器通過SGCMGs實(shí)現(xiàn)ZPM機(jī)動(dòng)，無(wú)需消耗燃料。

圖8和圖9分別給出ZPM過程中航天器在天球坐標(biāo)下的投影路徑和空間路徑。圖8中的橢圓和圖9中的圓形區(qū)域表示姿態(tài)禁止機(jī)動(dòng)區(qū)域，實(shí)線為航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑。為了驗(yàn)證本文約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式的約束處理能力，將禁止區(qū)域密集設(shè)置?？梢钥闯觯赯PM過程中光學(xué)相機(jī)能夠安全通過密集的禁止機(jī)動(dòng)區(qū)域，有效滿足姿態(tài)指向約束，得到安全的ZPM路徑。

圖8 天球坐標(biāo)系投影下航天器姿態(tài)路徑Fig.8 Spacecraft attitude path estimation based on celestial coordinate projection

圖9 天球坐標(biāo)下航天器空間三維姿態(tài)路徑Fig.9 Three-dimensional attitude path of spacecraft in celestial coordinates

為了驗(yàn)證本文提出的啟發(fā)式DE方法的有效性，將啟發(fā)式DE方法和ZPM偽譜法[16]進(jìn)行對(duì)比。仿真條件和約束設(shè)置相同，計(jì)算機(jī)主頻為3.2 GHz，內(nèi)存是4 G，同時(shí)考慮SGCMGs約束和姿態(tài)約束，規(guī)劃結(jié)果對(duì)比見表2。

表2 規(guī)劃方法對(duì)比Table 2 Comparison of planning methods

由表2可知，本文的啟發(fā)式DE方法和偽譜法[16]都能夠有效地處理SGCMGs約束。但是在考慮密集姿態(tài)約束的情況下，偽譜法難以得到滿足姿態(tài)約束的ZPM路徑。而本文的啟發(fā)式DE方法可以同時(shí)滿足SGCMGs約束和姿態(tài)約束，得到安全的ZPM路徑。

值得注意的是，本文提出的啟發(fā)式DE方法的規(guī)劃時(shí)長(zhǎng)與偽譜法相比減少了約56%，說(shuō)明啟發(fā)式DE方法有更高的規(guī)劃效率，能夠?qū)崿F(xiàn)快速ZPM規(guī)劃。而且，啟發(fā)式DE方法和偽譜法的路徑機(jī)動(dòng)時(shí)間相差不大，說(shuō)明啟發(fā)式DE方法同樣也具有較好的時(shí)間優(yōu)化效果。

綜上看出，通過本文提出的啟發(fā)式DE方法，航天器能夠在姿態(tài)機(jī)動(dòng)中通過SGCMGs實(shí)現(xiàn)零推進(jìn)劑消耗。該方法通過約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式引導(dǎo)，保證航天器滿足SGCMGs約束和姿態(tài)約束。平滑的姿態(tài)曲線表明該方法可以生成質(zhì)量較好的平穩(wěn)機(jī)動(dòng)路徑，控制力矩和角速度低于上限值說(shuō)明滿足姿態(tài)有界約束，姿態(tài)路徑曲線沒有經(jīng)過陰影區(qū)域說(shuō)明滿足姿態(tài)指向約束，SGCMGs奇異度量和飽和度量全程都大于0說(shuō)明SGCMGs遠(yuǎn)離奇異和飽和狀態(tài)。同時(shí)該方法和偽譜法[16]相比縮短了規(guī)劃時(shí)長(zhǎng)，具有更好的約束處理能力和規(guī)劃速度。而且通過歐拉機(jī)動(dòng)連接路徑節(jié)點(diǎn)，能夠保證ZPM路徑連續(xù)平穩(wěn)，適合進(jìn)行航天器ZPM應(yīng)用。

4 結(jié) 論

本文研究了多種約束情況下的航天器ZPM問題，通過對(duì)SGCMGs和航天器進(jìn)行約束和復(fù)雜度分析，針對(duì)耦合約束設(shè)計(jì)約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式，結(jié)合DE算法進(jìn)行啟發(fā)式DE規(guī)劃，并采用歐拉機(jī)動(dòng)保證路徑的連續(xù)性。通過仿真驗(yàn)證了該方法在解決ZPM問題方面的有效性和快速性，可以生成平滑的姿態(tài)四元數(shù)曲線，保證航天器滿足姿態(tài)約束，通過約束評(píng)價(jià)啟發(fā)式引導(dǎo)奇異和飽和度量避免SGCMGs陷入奇異和飽和狀態(tài)，和偽譜法相比具有較好的約束處理能力和規(guī)劃速度。該方法能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)機(jī)動(dòng)的零推進(jìn)劑消耗，得到安全的ZPM路徑，在航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)領(lǐng)域有較好的應(yīng)用前景。