陳昭岳，劉 莉，岳振江

(北京理工大學宇航學院飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

0 引 言

隨著人類太空活動的深入開展，月球探測任務目標變得更加多樣化，這對探測器的結(jié)構(gòu)設計提出了更多要求。在探測器著陸過程中，探測器結(jié)構(gòu)及其攜帶的有效載荷會受到短時沖擊，為避免可能的結(jié)構(gòu)功能失效，有必要在探測器結(jié)構(gòu)設計之初，對探測器結(jié)構(gòu)及其攜帶的重要有效載荷進行動力學響應分析，并基于其動力學特性進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計。

目前，國內(nèi)外研究者針對確定模型下的月球探測器結(jié)構(gòu)特性優(yōu)化開展了大量的工作。但用于優(yōu)化的模型或是局部組件模型，或是復雜耗時的有限元模型，均無法實現(xiàn)探測器整體結(jié)構(gòu)的快速優(yōu)化。王亮[1]建立了太陽翼剛?cè)狁詈夏Ｐ?，以展開收攏過程的加速度響應作為約束對腹板截面尺寸進行優(yōu)化。文桂林等[2]建立了探測器非線性有限元模型并對著陸緩沖過程進行分析，并使用該模型對結(jié)構(gòu)參數(shù)進行優(yōu)化設計。董威利等[3]建立了月球探測器有限元模型，并引入脈沖子結(jié)構(gòu)方法，建立了高效的探測器分析模型。陳樹霖等[4]在文獻[3]的基礎上提出一種考慮結(jié)構(gòu)動力學響應的優(yōu)化設計流程，并對月球探測器太陽翼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化分析，獲得了太陽翼結(jié)構(gòu)設計參數(shù)。綜上可以得出，要實現(xiàn)快速、精確的月球探測器整器模型優(yōu)化需要對模型進行簡化。

時域子結(jié)構(gòu)主要包括有限元、模態(tài)和脈沖子結(jié)構(gòu)三大類，其中已有大量針對有限元與模態(tài)子結(jié)構(gòu)的研究。脈沖子結(jié)構(gòu)方法(Impulse based substructuring method，IBS)于近年被提出，是一種高效求解且不損失精度的動態(tài)時域子結(jié)構(gòu)方法[3]。Rixen[5]于2010 年首次提出了脈沖子結(jié)構(gòu)方法的標準形式。之后，董威利等[6]將該方法成功應用于月球探測器著陸階段動力學分析中，并對標準脈沖子結(jié)構(gòu)方法的連接形式進行拓展。陳樹霖等[7]發(fā)展了脈沖子結(jié)構(gòu)與有限元及模態(tài)子結(jié)構(gòu)間的復雜連接情況。綜上可以看出采用子結(jié)構(gòu)方法對模型進行部分簡化建立多域子結(jié)構(gòu)分析模型，根據(jù)組件性質(zhì)將模型各組件建模為脈沖、模態(tài)和有限元子結(jié)構(gòu)，最后完成整體模型的組裝和求解分析，可以提高動力學求解效率。

探測器在生產(chǎn)設計和運行過程中會帶來很多結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性因素，且這些不確定性參數(shù)呈現(xiàn)空間分布特性，考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性影響的優(yōu)化設計能更好的提高可靠性。相關學者對結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間不確定性優(yōu)化方法進行了一定的研究和應用。姜潮[8]提出了兩種非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學轉(zhuǎn)換模型，可以將最一般性的不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為確定性優(yōu)化問題。呂輝等[9]利用基于區(qū)間分析旳不確定性優(yōu)化方法對汽車制動器的穩(wěn)定性進行了優(yōu)化。劉鈞圣等[10]等考慮區(qū)間不確定性因素對戰(zhàn)術導彈總體參數(shù)的影響，開展了模塊化戰(zhàn)術導彈不確定性優(yōu)化設計。Cheng等[11]提出了基于區(qū)間可靠性的結(jié)構(gòu)設計優(yōu)化模型。Cai等[12]提出了一種高效的不確定性優(yōu)化目標函數(shù)求解方法，實現(xiàn)了多個不確定性參數(shù)的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化。上述方法雖然采用區(qū)間方法對不確定性建模，但是沒有考慮參數(shù)不確定性的空間分布特性。

本文基于多域子結(jié)構(gòu)綜合方法和區(qū)間不確定性分析方法，提出了一種考慮區(qū)間不確定性的月球探測器結(jié)構(gòu)優(yōu)化框架。首先提出了月球探測器結(jié)構(gòu)優(yōu)化框架，建立月球探測器多域子結(jié)構(gòu)模型，并介紹了基于區(qū)間可能度模型的區(qū)間不確定性優(yōu)化方法；接著選取月球探測器著陸過程結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)，開展探測器結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間靈敏度分析得到關鍵影響參數(shù)；最后通過太陽翼和中心體隔板優(yōu)化算例，驗證了本節(jié)提出的優(yōu)化框架可以有效應用到探測器結(jié)構(gòu)的優(yōu)化分析中，提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化效率，指導探測器結(jié)構(gòu)設計。

1 考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間不確定性的月球探測器結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化框架

1.1 月球探測器結(jié)構(gòu)動力學不確定性優(yōu)化框架

本節(jié)首先給出提出了月球探測器的結(jié)構(gòu)動力學不確定性優(yōu)化框架。優(yōu)化框架中，優(yōu)化目標選為月球探測器著陸過程的關鍵點沖擊力學環(huán)境，約束條件包含設計變量約束和其他的性能約束。在優(yōu)化框架中，優(yōu)化過程分為兩層嵌體優(yōu)化，其中外層優(yōu)化采用遺傳算法用于設計變量尋優(yōu)，內(nèi)層通過區(qū)間方法計算不確定性目標函數(shù)和約束函數(shù)的區(qū)間，并通過轉(zhuǎn)換后的目標函數(shù)求解設計變量的適應度。具體流程如下：

1)根據(jù)優(yōu)化問題，確定優(yōu)化的初始條件，包括設計變量、不確定參數(shù)及設計空間等。

2)根據(jù)優(yōu)化對象、不確定性參數(shù)、模型來源等，構(gòu)建或更新月球探測器多域子結(jié)構(gòu)模型。

首先，將優(yōu)化對象所在組件模型轉(zhuǎn)換為有限元模型；其次，如果有相關聯(lián)組件模型發(fā)生變化，例如對中心體部分結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，則原中心體模型被拆分，需對這些模型進行重新建模，并根據(jù)新模型轉(zhuǎn)換脈沖或模態(tài)子結(jié)構(gòu)模型；最后，分析子結(jié)構(gòu)連接界面是否發(fā)生改變，完成新的多域子結(jié)構(gòu)模型綜合。

3)開始兩層嵌體優(yōu)化循環(huán)。

4)利用遺傳算法產(chǎn)生結(jié)構(gòu)優(yōu)化變量的初始種群。

5)根據(jù)當前種群中選取一組當前設計變量值，帶入內(nèi)層不確定性分析，使用區(qū)間場方法對不確定性進行建模。

6)采用多域子結(jié)構(gòu)綜合模型，考慮當前不確定性設計變量，計算關注點的加速度響應譜區(qū)間和不確定性約束函數(shù)區(qū)間。

7)通過適應度函數(shù)計算當前設計變量的適應度。

8)重復步驟5)～步驟7)，直至計算完成當前種群中所有個體的適應度，評估個體適應度。

9)遺傳算法終止條件判斷，如果滿足收斂準則，結(jié)束優(yōu)化，輸出當前種群作為優(yōu)化結(jié)果；如果不滿足，則進行遺傳算法的選擇、交叉和變異運算，返回步驟4)。

考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間不確定性的月球探測器結(jié)構(gòu)優(yōu)化框架具體流程如圖1所示。

圖1 考慮區(qū)間不確定性的月球探測器結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖Fig.1 Process of the dynamic optimum design of lunar lander under interval

1.2 月球探測器多域子結(jié)構(gòu)模型

探測器不確定性分析和優(yōu)化過程需要大量調(diào)用探測器分析模型，因此分析模型的計算效率尤為重要。本節(jié)首先建立了月球探測器有限元模型，隨后基于多域子結(jié)構(gòu)方法將部分組件轉(zhuǎn)為模態(tài)或脈沖子結(jié)構(gòu)，建立了月球探測器多域子結(jié)構(gòu)模型，最后使用多域子結(jié)構(gòu)運動綜合方法，實現(xiàn)了探測器動力學的高效精確分析。

本文首先基于文獻[13]，建立月球探測器有限元模型。月球探測器由探測器中心體、著陸緩沖機構(gòu)和有效載荷等部分組成，在有限元建模中只保留探測器中心體主結(jié)構(gòu)、巡視器結(jié)構(gòu)、太陽翼結(jié)構(gòu)及著陸緩沖系統(tǒng)，探測器上其他有效載荷以等效質(zhì)量形式分布到臨近承力結(jié)構(gòu)上。詳細有限元建模過程參見文獻[13]。此外，當月球著陸器按飛行程序進入著陸階段，為了避免著陸沖擊對太陽翼的損傷，太陽翼暫時收攏，因此建模中將太陽翼從展開狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槭諗n狀態(tài)，最終建立的探測器有限元模型如圖2所示。

圖2 月球探測器有限元模型[13]Fig.2 Finite element model of lunar lander

基于探測器有限元模型，根據(jù)各個有限元組件的動力學特性，建立月球探測器多域子結(jié)構(gòu)模型，將探測器的部分組件由有限元子結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為模態(tài)子結(jié)構(gòu)或脈沖子結(jié)構(gòu)。

探測器動力學分析中，著陸緩沖機構(gòu)的非線性有限元分析占用了大量的計算時間，因此應用多域子結(jié)構(gòu)方法進行建模和分析中首先需要對著陸緩沖機構(gòu)進行簡化。當著陸姿態(tài)和角度固定時，由于探測器整體質(zhì)量的變化相對于整體質(zhì)量很小，因此可以將著陸過程的非線性因素簡化為等效的激勵載荷。首先通過探測器著陸沖擊數(shù)值仿真測得緩沖機構(gòu)產(chǎn)生的著陸緩沖載荷，接著計算著陸緩沖機構(gòu)與中心體連接的12個連接點處的沖擊載荷，最后根據(jù)反作用力原理，作用于探測器中心體上。計算沖擊載荷的計算工況選取為探測器豎直著陸工況(著陸速度4 m/s、月球加速度g=1.63 m/s2)，以+X+Y象限的主緩沖支柱為例，其傳遞給中心體的載荷時間歷程曲線如圖3所示。

圖3 著陸緩沖載荷Fig.3 Landing buffer load

探測器中心體有限元模型自由度眾多(共87666個自由度)，模態(tài)密集(1000 Hz內(nèi)含2268階模態(tài))，使用模態(tài)綜合法將保留過多模態(tài)，且計算精度不能得到有效保證。同時中心體結(jié)構(gòu)在后續(xù)分析中結(jié)構(gòu)設計變化較小，因此可以使用脈沖子結(jié)構(gòu)方法對探測器中心體建模，脈沖子結(jié)構(gòu)模型中只保留輸入輸出自由度和連接界面自由度。將中心體劃分為主體結(jié)構(gòu)和中心體隔板結(jié)構(gòu)。將中心體主體建為脈沖子結(jié)構(gòu)。中心體主體與中心體隔板、著陸腿、巡視器和太陽翼分別有64、36、204和24 個連接自由度。減縮后的脈沖子結(jié)構(gòu)自由度大幅減小，其中包括328個輸入自由度(保留所有連接自由度)和293個輸出自由度(連接自由度與中心點頂板縱向1個輸出自由度)。

中心體隔板對中心體結(jié)構(gòu)起加強作用，同時在設計時可能進行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化，因此將中心體隔板從中心體模型中拆分出來，建為有限元子結(jié)構(gòu)，中心體隔板有限元子結(jié)構(gòu)模型共有9576的自由度。

太陽翼在結(jié)構(gòu)設計及建模中極有可能進行參數(shù)優(yōu)化，迭代優(yōu)化中需要重新建模，如果采用脈沖子結(jié)構(gòu)對其建模，每一次的模型修改需要重新計算太陽翼的脈沖響應函數(shù)，這反而使得計算更為耗時，因此不適合將模型轉(zhuǎn)換為脈沖子結(jié)構(gòu)。同時與探測器中心體不同，太陽翼結(jié)構(gòu)相對簡單，包含的自由度較少，并且模態(tài)分布并不密集，適合采用模態(tài)子結(jié)構(gòu)進行描述。因此將太陽翼有限元子結(jié)構(gòu)模型轉(zhuǎn)為模態(tài)子結(jié)構(gòu)模型，對模型進行減縮，同時保留原有有限元子結(jié)構(gòu)。未減縮的太陽翼有限元子結(jié)構(gòu)共包含3024個自由度，減縮后的太陽翼模態(tài)子結(jié)構(gòu)只保留41個自由度，模型計算規(guī)模大幅下降。

巡視器同樣需要在結(jié)構(gòu)設計及建模中進行參數(shù)優(yōu)化，迭代優(yōu)化中需要重新建模，因此不適合將模型轉(zhuǎn)換為脈沖子結(jié)構(gòu)。巡視器的模態(tài)密集，可以將巡視器的有限元子結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為模態(tài)子結(jié)構(gòu)，對模型進行減縮，同時保留原有有限元子結(jié)構(gòu)。未減縮的巡視器有限元子結(jié)構(gòu)共包含7026個自由度，減縮后的太陽翼模態(tài)子結(jié)構(gòu)只保留311個自由度，模型計算規(guī)模下降。

在月球探測器多域子結(jié)構(gòu)模型中，太陽翼與中心體通過轉(zhuǎn)軸鉸鏈進行連接，在多域子結(jié)構(gòu)模型綜合中將連接形式簡化為典型的剛-彈混合連接；巡視器和中心體通過Tie連接。通過以上分析，建立了探測器多域子結(jié)構(gòu)動力學分析模型:探測器中心體為脈沖子結(jié)構(gòu)，巡視器為模態(tài)子結(jié)構(gòu),太陽翼為有限元子結(jié)構(gòu),著陸緩沖載荷為系統(tǒng)激勵。最終建立的多域子結(jié)構(gòu)模型如圖4所示，由于該模型在保證與有限元模型同等求解精度的前提下，極大的提高了求解效率，為探測器的動力學分析結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化提供了模型基礎。

圖4 探測器多域子結(jié)構(gòu)模型Fig.4 Multi-domain substructure model of lunar lander

1.3 區(qū)間不確定性優(yōu)化方法

傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化問題中，優(yōu)化模型中所有的參數(shù)都給以給定精確值，因此目標函數(shù)和約束在給定的設計變量點處可以計算出確定值。但實際工程問題中，很多參數(shù)存在不確定性，此時在設計點處，目標函數(shù)和約束函數(shù)均呈現(xiàn)不確定性，確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)為不確定性優(yōu)化問題。采用區(qū)間對設計參數(shù)建模并優(yōu)化，即為區(qū)間不確定性優(yōu)化方法。一般性的區(qū)間不確定性優(yōu)化模型可表示為:

(1)

對于目標函數(shù)f(X,U)，可以通過區(qū)間不確定性描述為:

f(X,U)∈fI(X)=[fL(X),fR(X)]

(2)

其中，目標函數(shù)的區(qū)間上下界可以通過區(qū)間分析方法如全局優(yōu)化方法。

(3)

通過線性加權(quán)組合法處理目標函數(shù)的區(qū)間中點和區(qū)間半徑，可以將不確定性目標函數(shù)轉(zhuǎn)換為確定性的優(yōu)化目標函數(shù)，并通過對確定性的目標函數(shù)進行評判，尋找最優(yōu)設計變量。不確定性目標函數(shù)的線性加權(quán)組合法轉(zhuǎn)換如式(4)所示:

β(fw(X)+ξ)/ψ

(4)

式中:0≤β≤1為多目標權(quán)重系數(shù),為使fc(X)和fw(X)為非負數(shù)補償系數(shù),取較大的值來保證當不滿足約束條件時設計變量受到懲罰；φ和ψ為標準化因子，其表達式如下:

(5)

解決不確定性優(yōu)化問題的手段是通過一定的方法將該問題轉(zhuǎn)化成確定性優(yōu)化問題，這種轉(zhuǎn)化方法需要借助轉(zhuǎn)換模型，本節(jié)將介紹區(qū)間可能度方法用于處理帶有區(qū)間不確定性變量的目標函數(shù)和約束[14]。

區(qū)間可能度方法假設兩個區(qū)間為服從均勻分布的隨機變量，通過計算隨機變量的大小關系的概率來獲得區(qū)間比較關系的可能度，文獻[8]給出了完備的區(qū)間可能度模型，對于任意兩個區(qū)間AI和BI，它們共有6種可能的位置關系，根據(jù)可能的位置關系，可以給出可能度模型的計算公式，如式(6)所示:

(6)

基于可能度模型，式(1)中不確定性約束函數(shù)，可以轉(zhuǎn)換成如下的確定性不等式約束:

(7)

經(jīng)過線性加權(quán)組合法和可能度模型的轉(zhuǎn)換，原不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定性多目標優(yōu)化問題:

(8)

可以通過罰函數(shù)的方法來處理式中的約束條件，使其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題:

(9)

式中:σ為懲罰因子，取較大的值來保證當不滿足約束條件時設計變量受到懲罰，使得尋優(yōu)繼續(xù)進行。

至此，對于一般性的非線性區(qū)間優(yōu)化問題經(jīng)過轉(zhuǎn)換變成可以采用傳統(tǒng)優(yōu)化手段解決的單目標無約束確定性優(yōu)化問題。

2 考慮區(qū)間不確定性的月球參數(shù)靈敏度分析

2.1 區(qū)間不確定性靈敏度分析方法

(10)

其中:θij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)為第j個模型參數(shù)對第i個決策目標的綜合影響因子。

令:

(11)

(12)

敏感性因子矩陣的列向量表征了同一個不確定性輸入?yún)?shù)對不同的決策目標yi的影響程度；敏感性因子矩陣的行向量表征了不同的不確定性輸入?yún)?shù)xj對同一個的決策目標的影響程度。

由于各模型參數(shù)的量綱往往不盡相同，在參數(shù)敏感性分析過程中需要對各個參數(shù)的不確定性進行歸一化處理，定義參數(shù)XI的區(qū)間變異系數(shù)為δ=ΔX/Xc，文獻[13]指出隨著參數(shù)區(qū)間變異系數(shù)的不同，獲得的參數(shù)對決策目標的敏感性因子是不同的。在進行參數(shù)敏感性分析時，應將參數(shù)區(qū)間取為參數(shù)在相同變異系數(shù)下的變化區(qū)間。

2.2 月球探測器不確定性參數(shù)靈敏度分析

為了較為全面的考慮月球探測器結(jié)構(gòu)阻尼、連接剛度、結(jié)構(gòu)尺寸和材料特性等參數(shù)的不確定性影響，本文分別選取結(jié)構(gòu)阻尼、巡視器頂板鋪層厚度、中心體隔板鋪層厚度、太陽翼鋪層厚度、巡視器頂板材料剛度、中心體隔板材料剛度、太陽翼材料剛度和太陽翼連接扭轉(zhuǎn)剛度等8個參數(shù)作為分析對象，對月球探測器軟著陸過程的沖擊力學環(huán)境進行不確定性參數(shù)靈敏度區(qū)間分析。各個參數(shù)的變異系數(shù)均取為0.1，即10%的不確定性區(qū)間,選取的參數(shù)和不確定性區(qū)間見表1。

首先，考慮全部不確定性參數(shù)，通過區(qū)間場方法完成參數(shù)不確定性建模，同時采用多域子結(jié)構(gòu)綜合方法提高分析效率，計算巡視器、中心體和太陽翼特征點處沖擊響應譜峰值的不確定性區(qū)間，并作為全參數(shù)不確定性影響下的決策目標可行域區(qū)間用于后續(xù)分析，見表2。

表1 模型不確定性因素Table 1 Uncertain parameters of lunar lander

表2 決策目標的可行域區(qū)間Table 2 Uncertain range of dynamic response

可以看出，當輸入?yún)?shù)的不確定性區(qū)間變異系數(shù)取為0.1時，中心體響應譜峰值的區(qū)間相對較小，可行域半徑僅為0.034，輸出響應相對于輸入響應的不確定性減小，這是由于中心體結(jié)構(gòu)相對復雜，內(nèi)部有大量的局部加強結(jié)構(gòu)降低了整體的動力學響應。而巡視器和太陽翼的輸出結(jié)果不確定性區(qū)間均有所增大，分別為0.154和0.0203，因此當考慮參數(shù)不確定性時，有必要對巡視器和太陽翼的輸出結(jié)果不確定性進行重點關注。

對每一個不確定性參數(shù)的靈敏度進行分析計算，單獨考慮一個不確定性參數(shù)計算得到三個測點的響應譜區(qū)間，根據(jù)求得模型參數(shù)對決策目標的敏感性因子矩陣如下:

(13)

為了更直觀地比較各參數(shù)靈敏度，繪制決策目標對各不確定性參數(shù)的靈敏度柱狀圖，如圖5所示。

圖5 不確定性參數(shù)靈敏度分析結(jié)果Fig.5 Interval sensity of lunar lander parameters

由圖5和式(13)可知：

1)三個結(jié)構(gòu)測點的力學環(huán)境對結(jié)構(gòu)阻尼β和連接扭轉(zhuǎn)剛度D66的靈敏度分析結(jié)果總體趨勢基本相同，其中結(jié)構(gòu)阻尼對測點的影響因素相對更大，三個結(jié)構(gòu)對連接扭轉(zhuǎn)剛度的靈敏度均在0.05以下。

2)對于巡視器、太陽翼和中心體三個結(jié)構(gòu)，靈敏度最大的不確定性變量分別為所在結(jié)構(gòu)的彈性模量和結(jié)構(gòu)厚度，這與直觀的物理印象相同。值得注意的是，中心體測點的靈敏度結(jié)果中，巡視器彈性模量和結(jié)構(gòu)厚度的靈敏度要遠大于太陽翼結(jié)構(gòu)的彈性模量和結(jié)構(gòu)厚度靈敏度，這表明巡視器對中心體響應的影響要更大，在后續(xù)對巡視器結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計分析中要注意其對中心體響應的影響。中心體的結(jié)構(gòu)參數(shù)對巡視器和太陽翼結(jié)構(gòu)響應均有較大的影響。

3)太陽翼的結(jié)構(gòu)質(zhì)量遠小于中心體和巡視器，因此這兩個結(jié)構(gòu)對太陽翼結(jié)構(gòu)彈性模量和結(jié)構(gòu)厚度靈敏度極小，在對太陽翼的結(jié)構(gòu)分析中可以減小對這兩個結(jié)構(gòu)的顧慮。

綜上所述，在探測器著陸力學環(huán)境分析中，由于結(jié)構(gòu)彈性模量和結(jié)構(gòu)厚度對結(jié)果有很大影響，應當提高這兩種不確定性因素的準確度。

3 數(shù)值算例

本節(jié)分別以太陽翼和中心體隔板結(jié)構(gòu)為例，采用本文提出的不確定性優(yōu)化設計框架，開展相應的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計，來說明框架的具體使用方法，并對框架的有效性進行驗證。

3.1 月球探測器太陽翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計實例

太陽翼結(jié)構(gòu)作為探測器工作動力的來源，成為月球探測器最重要的組成之一。當月球探測器著陸過程中，其沖擊載荷將對太陽翼產(chǎn)生一定的沖擊。

本節(jié)以太陽翼為例，將太陽翼重要位置處的動力學環(huán)境作為優(yōu)化目標，考慮太陽翼的材料楊氏模量、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼、中心體隔板楊氏模量為不確定性變量，對太陽翼結(jié)構(gòu)進行不確定性優(yōu)化，從而改善其關鍵位置的力學環(huán)境條件。

3.1.1月球探測器太陽翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計模型

本算例中需要優(yōu)化的結(jié)構(gòu)為太陽翼，根據(jù)優(yōu)化框架，首先給出探測器分析模型的選擇，將太陽翼和中心體隔板建為有限元模型，巡視器和中心體結(jié)構(gòu)建立為脈沖子結(jié)構(gòu)，巡視器只保留與中心體的連接自由度，共240個自由度，中心體只保留與巡視器、中心體隔板和太陽翼的連接自由度，以及外力輸入自由度，共3328個輸入自由度，293個輸出自由度。結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型如圖4所示。

太陽翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析中，太陽翼的材料楊氏模量、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼、中心體隔板楊氏模量為不確定性變量，不確定性參數(shù)的取值見表3。

本節(jié)給出太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化的數(shù)學模型設計優(yōu)化三要素選擇，即優(yōu)化目標、約束條件和設計變量，并最終提出太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化數(shù)學模型。

1)優(yōu)化目標

本算例的優(yōu)化目標是太陽翼著陸沖擊力學環(huán)境，使得太陽翼特征點處的沖擊力學環(huán)境最小，保證太陽翼結(jié)構(gòu)及有效載荷的安全性。在探測器著陸沖擊力學環(huán)境分析中，使用加速度沖擊響應譜對探測器部組件處的沖擊力學環(huán)境進行量化[17-18]。通過響應譜不確定性分析得到太陽翼特征點加速度響應譜最大值的區(qū)間，并通過式(4)轉(zhuǎn)換為確定性優(yōu)化目標函數(shù)，最終優(yōu)化目標函數(shù)如式(14)所示:

β(fw(U)+ξ)/ψ

(14)

表3 模型不確定性因素Table 3 Range of uncertain parameter

其中:U為目標優(yōu)化結(jié)構(gòu)特征點加速度響應;f(U)為轉(zhuǎn)換后的目標優(yōu)化結(jié)構(gòu)特征點位置加速度沖擊響應包絡譜峰值。

2) 約束條件

在考慮不確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法中，約束條件的選擇要考慮多個因素，包括太陽翼的質(zhì)量特性要求、動響應要求及結(jié)構(gòu)固有頻率要求，巡視器的力學環(huán)境要求。約束條件的選取同時要考慮確定性約束條件和不確定性約束條件。綜合考慮后給出了優(yōu)化的約束條件：

①質(zhì)量特性要求：為了能夠攜帶更多的有效載荷，探測器結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量應盡可能輕，對太陽翼結(jié)構(gòu)總質(zhì)量Ms提出了質(zhì)量指標要求：Ms≤Msmax=4.5 kg。

②太陽翼動響應位移：為了避免太陽翼結(jié)構(gòu)由于沖擊載荷作用發(fā)生振動，與探測器本體碰撞，太陽翼角點處相對位移ds應在可控范圍之內(nèi)：ds≤dsmax=40 mm。

③太陽翼響應譜峰值最大值，為保證太陽翼結(jié)構(gòu)的安全可靠，太陽翼響應譜峰值最大值應滿足最大響應譜限制：f(U)≤3500 m/s2。

④巡視器力學環(huán)境：由于材料存在不確定性，探測器著陸響應相對于確定性響應可視為不確定性區(qū)間Ar，巡視器力學環(huán)境滿足區(qū)間限制：Ar?kI。

3) 設計變量

太陽翼作為探測器的主要供能裝置，其幾何尺寸由板上的電池片決定，所以在結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設計中不涉及其幾何外形參數(shù)?；陟`敏度分析結(jié)果，太陽翼碳纖維鋪層厚度對太陽翼結(jié)構(gòu)剛度、強度影響顯著，因此將太陽翼碳纖維鋪層厚度選為優(yōu)化設計變量；太陽翼整體剛度同時受到太陽翼與本體間連接鉸鏈扭轉(zhuǎn)剛度的影響，因此同時對一次扭轉(zhuǎn)剛度進行優(yōu)化。綜合以上分析，設計變量及設計空間見表4。

表4 太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設計變量Table 4 Dynamic optimum design variables of solar wings

通過以上對優(yōu)化三要素：優(yōu)化目標、約束條件、設計變量的分析，太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化問題可描述為標準優(yōu)化數(shù)學模型：

(15)

3.1.2月球探測器太陽翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果與分析

采用本文給出的優(yōu)化流程進行優(yōu)化設計。相關參數(shù)設置如下：優(yōu)化算法參數(shù)ξ為0，β為0.5，罰因子σ為10000,正則化因子φ和φ分別取1.33和0.34；外層遺傳算法的種群規(guī)模設為30，最大代數(shù)為50，交叉概率為0.6，變異概率為0.1；不確定性約束kI=[550,750]m/s2，可能度λ取為0.6。

1)不確定性優(yōu)化收斂性分析與結(jié)果分析

首先對優(yōu)化流程的收斂性進行分析，優(yōu)化流程中外層遺傳算法的種群適應度隨種群代數(shù)的變化曲線如圖6所示。根據(jù)適應度收斂曲線，當種群代數(shù)達到40代時，種群適應度基本收斂。

圖6 種群適應度收斂曲線Fig.6 Iterative convergence curve of fitness value

經(jīng)過優(yōu)化求解，得到優(yōu)化后的設計變量，不確定性優(yōu)化后的設計變量與初始變量的對比結(jié)果見表5。

表5 優(yōu)化前后設計變量取值Table 5 The design variables before and after the optimization

根據(jù)設計變量優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化后的太陽翼厚度ts和扭轉(zhuǎn)連接處剛度系數(shù)D66相比優(yōu)化前的取值有大幅增加，其中太陽翼厚度增加71.2 %，扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)增加 48.5%。

經(jīng)過優(yōu)化后的著陸沖擊力學環(huán)境、結(jié)構(gòu)動力學系數(shù)、結(jié)構(gòu)質(zhì)量與結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)的對比結(jié)果見表6。

表6 優(yōu)化前后動力學特性對比Table 6 The structural dynamic performance before and after the optimization

通過對比優(yōu)化前后著陸力學環(huán)境，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過優(yōu)化后，沖擊響應峰值區(qū)間變小，區(qū)間上界和區(qū)間半徑都略有降低；太陽翼角點相對最大位移滿足約束要求，總質(zhì)量在滿足約束要求前提下略有增加，分析結(jié)果表明優(yōu)化后的著陸沖擊力學環(huán)境得到有效改善。

2)可能度影響分析

在保證優(yōu)化流程中結(jié)構(gòu)參數(shù)和優(yōu)化算法參數(shù)設置不變的前提下，可能度λ分別選取0、0.3、0.6和1，比較不同可能度水平下太陽翼沖擊響應譜和設計變量的優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化結(jié)果見表7。

表7 不同可能度水平太陽翼不確定性優(yōu)化結(jié)果Table 7 Optimization result of solar wings under interval degree

對比結(jié)果表明，隨著可能度的增大，響應優(yōu)化結(jié)果中太陽翼厚度ts和扭轉(zhuǎn)連接處剛度系數(shù)D66隨之增加，太陽翼的響應譜區(qū)間減小，整體設計趨向保守。

可能度水平代表了決策者對可靠性的要求，決策者對優(yōu)化結(jié)果的可靠性要求越高，對約束函數(shù)區(qū)間的要求越小，則應選取較大的可能度水平。在本次優(yōu)化中，不確定性約束選取為巡視器沖擊響應譜區(qū)間，當可能度水平較高時，表示設計者對巡視器力學環(huán)境的關注程度較高，相應的對太陽翼的關注降低，因此設計變量優(yōu)化結(jié)果相對較小，響應譜區(qū)間增大。

3)不確定性優(yōu)化與確定性優(yōu)化對比分析

忽略不確定性因素的影響，采用傳統(tǒng)的遺傳算法對太陽翼力學環(huán)境進行優(yōu)化，并與不確定性優(yōu)化結(jié)果對比。確定性優(yōu)化的分析模型、設計變量與不確定性優(yōu)化相同。優(yōu)化設計變量仍選取為太陽翼單層碳纖維厚度和扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，設計空間的上下限也保持不變。忽略結(jié)構(gòu)阻尼、中心體隔板材料楊氏模量和太陽翼材料楊氏模型的不確定性因素，整體結(jié)構(gòu)不考慮不確定性。

確定性優(yōu)化的優(yōu)化目標為使太陽翼特征點處的響應譜峰值最小，優(yōu)化目標如式(16)所示:

(16)

確定性優(yōu)化的約束條件只保留對質(zhì)量特性、太陽翼響應譜峰值最大值和太陽翼動響應相對位移的約束，忽略對中心體力學環(huán)境的約束，即:

①質(zhì)量特性要求：為了能夠攜帶更多的有效載荷，探測器結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量應盡可能輕，對太陽翼結(jié)構(gòu)總質(zhì)量Ms提出了質(zhì)量指標要求：Ms≤Msmax=4.5 kg。

②太陽翼動響應位移：為了避免太陽翼結(jié)構(gòu)由于沖擊載荷作用發(fā)生振動，與探測器本體碰撞，太陽翼角點處相對位移ds應在可控范圍之內(nèi)：ds≤dsmax=40 mm。

③太陽翼響應譜峰值最大值，為保證太陽翼結(jié)構(gòu)的安全可靠，太陽翼響應譜峰值最大值應滿足最大響應譜限制：f(U)≤3500 m/s2。

最終給出確定性優(yōu)化數(shù)學模型如式(17)所示:

(17)

將確定性優(yōu)化結(jié)果與可能度水平為0.6的不確定性優(yōu)化結(jié)果對比，其中沖擊響應譜峰值對比中，不確定性優(yōu)化結(jié)果選取太陽翼沖擊響應譜區(qū)間上界。對比結(jié)果見表8。

表8 確定性優(yōu)化與不確定性優(yōu)化結(jié)果對比Table 8 Comparasion between deterministic and uncertain optimizatoin

對比結(jié)果表明：相比于確定性優(yōu)化結(jié)構(gòu)，不確定性優(yōu)化中太陽翼結(jié)構(gòu)質(zhì)量增重較多，響應譜峰值降低的較小，整體的優(yōu)化結(jié)果更為保守。這是因為不確定性優(yōu)化方法在優(yōu)化過程中考慮了材料、載荷的不確定性對動力學響應的影響，同時在分析中考慮了特別的惡劣工況，因此不確定性分析結(jié)構(gòu)對結(jié)構(gòu)承載能力提升較多，優(yōu)化結(jié)果更具可靠性。

在優(yōu)化過程中，外層GA算法共調(diào)用內(nèi)層優(yōu)化模型1530次，每次內(nèi)層優(yōu)化要調(diào)用模型分析2次，如果采用全階有限元模型，單次模型調(diào)用時間約1400 s，而使用本文提出的多域子結(jié)構(gòu)方法，分析耗時約190 s，分析效率大幅提高。同時基于區(qū)間場分析方法，建立代理模型也大幅提高了分析效率。

3.2 月球探測器中心體隔板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

探測器中心體承載了大部分探測任務儀器，并焊接燃料貯箱，是月球探測器的重要組件之一。在月球探測器著陸過程中，中心體將承受沖擊載荷。中心體隔板作為中心體的加強結(jié)構(gòu)，為中心體提供了主要支撐和傳力作用，因此對中心體隔板的結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有重大意義。

本節(jié)以中心體隔板為例，將中心體重要位置處的動力學環(huán)境作為優(yōu)化目標，考慮中心體隔板材料楊氏模型、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼、巡視器隔板楊氏模型和隔板厚度為不確定性變量，對中心體隔板結(jié)構(gòu)進行不確定性優(yōu)化，從而改善中心體結(jié)構(gòu)的力學環(huán)境條件。

3.2.1月球探測器中心體隔板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計模型

本算例中需要優(yōu)化的結(jié)構(gòu)為中心體隔板，根據(jù)優(yōu)化框架，首先給出探測器分析模型的選擇，將太陽翼、巡視器和中心體隔板建為有限元模型，中心體結(jié)構(gòu)建立為脈沖子結(jié)構(gòu)，只保留外力輸入自由度，以及與巡視器、中心體隔板和太陽翼的連接自由度,結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型如圖4所示。

中心體隔板的結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析中，中心體隔板材料楊氏模型、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼、巡視器隔板楊氏模型和隔板厚度為不確定性變量，不確定性參數(shù)的取值見表9。

表9 模型不確定性因素Table 9 Range of uncertain parameter

本節(jié)給出中心體隔板結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化的數(shù)學模型的設計的優(yōu)化三要素的選擇，即優(yōu)化目標、約束條件和設計變量，并最終提出中心體隔板結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化數(shù)學模型。

1)優(yōu)化目標

本算例的優(yōu)化目標是中心體結(jié)構(gòu)的著陸沖擊力學環(huán)境，使得中心體特征點處的沖擊力學環(huán)境最小，保證中心體結(jié)構(gòu)及有效載荷在動態(tài)沖擊過程中結(jié)構(gòu)性能完好。

在探測器著陸沖擊力學環(huán)境分析中，使用加速度沖擊響應譜對探測器部組件處的沖擊力學環(huán)境進行量化，通過響應譜不確定性分析得到中心體特征點加速度響應譜最大值的區(qū)間，并轉(zhuǎn)換為確定性優(yōu)化目標函數(shù)，最終優(yōu)化目標函數(shù)如式(18)所示:

β(fw(U)+ξ)/ψ

(18)

2)約束條件

在考慮不確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法中，約束條件的選擇要考慮多個因素，包括中心體的質(zhì)量特性要求、動響應要求及結(jié)構(gòu)固有頻率要求，巡視器的力學環(huán)境要求。約束條件的選取同時要考慮確定性約束條件和不確定性約束條件。綜合考慮后給出了優(yōu)化的約束條件:

①質(zhì)量特性要求：為了能夠攜帶更多的有效載荷，探測器結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量應盡可能輕，對太陽翼結(jié)構(gòu)總質(zhì)量Ml提出了質(zhì)量指標要求：Ml≤Mlmax=25 kg。

3) 設計變量

中心體隔板作為中心體的支撐結(jié)構(gòu)，其幾何尺寸受到中心體模型的限制，因此在結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設計中不涉及其幾何外形參數(shù)。基于靈敏度分析結(jié)果，中心體隔板的厚度對中心體響應影響顯著,因此設計變量及設計空間見表10。

表10 中心體隔板結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化設計變量Table 10 Dynamic optimum design variables of solar wings

通過以上對優(yōu)化三要素：優(yōu)化目標、約束條件、設計變量的分析，太陽翼結(jié)構(gòu)動力學優(yōu)化問題可描述為標準優(yōu)化數(shù)學模型：

(19)

3.2.2月球探測器中心體隔板優(yōu)化結(jié)果與分析

首先對優(yōu)化流程的收斂性進行分析，優(yōu)化流程中外層遺傳算法的種群適應度隨種群代數(shù)的變化曲線如圖7所示。根據(jù)適應度收斂曲線，當種群代數(shù)達到40代時，種群適應度基本收斂。

圖7 種群適應度收斂曲線Fig.7 Iterative convergence curve of fitness value

不確定性優(yōu)化后的設計變量與初始變量的對比結(jié)果見表11。

表11 優(yōu)化前后設計變量取值Table 11 The design variables before and after the optimization

根據(jù)設計變量優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化后的中心體隔板厚度tl相比優(yōu)化前的取值有大幅增加，中心體隔板厚度增加44.7 %。

經(jīng)過優(yōu)化后的著陸沖擊力學環(huán)境、結(jié)構(gòu)動力學系數(shù)、結(jié)構(gòu)質(zhì)量與結(jié)構(gòu)初始狀態(tài)的對比結(jié)果見表12。

表12 優(yōu)化前后動力學特性對比Table 12 The structural dynamic performance before and after the optimization

通過對比優(yōu)化前后著陸力學環(huán)境，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)過優(yōu)化后，沖擊響應峰值區(qū)間上下界均有所減小，同時沖擊響應峰值區(qū)間半徑也降低，整體的著陸沖擊力學環(huán)境得到有效改善。總質(zhì)量在滿足約束要求前提下略有增加，分析結(jié)果表明優(yōu)化后的著陸沖擊力學環(huán)境得到有效改善。

4 結(jié) 論

針對月球探測器結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中優(yōu)化效率和參數(shù)不確定性影響的問題，本文引入多域子結(jié)構(gòu)綜合方法和區(qū)間不確定性分析方法，提出了考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)區(qū)間不確定性的月球探測器結(jié)構(gòu)性優(yōu)化框架。得到如下結(jié)論：

1)本文提出優(yōu)化框架采用多域子結(jié)構(gòu)模型作為優(yōu)化模型，優(yōu)化效率相比傳統(tǒng)有限元優(yōu)化模型，使得優(yōu)化過程單次動力學分析效率提高10倍以上，顯著縮減了結(jié)構(gòu)動響應計算耗時。

2)通過太陽翼和中心體隔板優(yōu)化算例證明，本文提出的優(yōu)化框架在優(yōu)化過程中能夠考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性。不確定性優(yōu)化結(jié)果的區(qū)間中值與確定性優(yōu)化結(jié)果相近，同時不確定性優(yōu)化結(jié)果考慮了最惡劣的結(jié)構(gòu)工況，優(yōu)化結(jié)果能夠保證結(jié)構(gòu)的可靠性。

3)相比傳統(tǒng)優(yōu)化中，更改優(yōu)化目標即需要整體模型重新建模，本文提出的優(yōu)化框架可以靈活的根據(jù)優(yōu)化對像建立優(yōu)化模型，降低了模型更新的耗時，能夠快速進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計。