陳 木, 李 周, 王榮輝*

(1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣州 510641；2.中建科工集團(tuán)有限公司, 深圳 518000)

2019年10月，中國(guó)臺(tái)灣宜蘭縣某跨海拱橋發(fā)生倒塌事故，當(dāng)油罐車經(jīng)過(guò)橋梁時(shí)，最先發(fā)生斷裂的是跨中向右第一根吊索，破壞位置位于吊索與拱肋的連接處，可見(jiàn)實(shí)際拱橋結(jié)構(gòu)中拱肋與吊索連接處是易產(chǎn)生損傷或破壞的位置。目前，普通結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在計(jì)算橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，只考慮了慣性力作用，而忽略了擾動(dòng)在結(jié)構(gòu)中的傳播過(guò)程，但是當(dāng)擾動(dòng)傳過(guò)結(jié)構(gòu)特征尺度所需時(shí)間與沖擊荷載持續(xù)時(shí)間相比處于相同甚至更高量級(jí)的尺度時(shí)，就必須考慮擾動(dòng)的傳播過(guò)程[1]，所以普通結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在處理高頻沖擊荷載作用下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的問(wèn)題時(shí)會(huì)有誤差，而應(yīng)力波理論是研究這類問(wèn)題的最佳工具之一。Guo等[2]對(duì)彎梁受軸向沖擊荷載的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和有限元分析。Fan等[3]和Chen等[4]則分別研究了巖石節(jié)理處應(yīng)力波的反射和透射。Chattopadhyay等[5]和Mehmet等[6]則對(duì)層合板中應(yīng)力波傳播進(jìn)行了研究。Dubuc等[7]提出了各向異性板中彈性導(dǎo)波的相位和群速度的解析表達(dá)式。應(yīng)力波理論在工程中應(yīng)用比較廣泛的是結(jié)構(gòu)探傷等方向。比如Hafiz等[8]提出了一種超聲尾波對(duì)比技術(shù)(CWC)用于混凝土應(yīng)力監(jiān)測(cè)；Wei等[9]研究不同的裂紋模式、位置、深度及轉(zhuǎn)速對(duì)非均勻轉(zhuǎn)軸彈性波傳播特性的影響；楊衛(wèi)奇等[10]分析了殼的幾何物理參數(shù)及撞擊加載條件對(duì)屈曲行為的影響，同時(shí)分析了屈曲過(guò)程中的橫向慣性效應(yīng)和應(yīng)力波效應(yīng)。

現(xiàn)從應(yīng)力波理論的角度分析吊索-梁連接處的受力特點(diǎn)，建立了應(yīng)力波傳播的控制方程，并從經(jīng)典理論和有限元模型兩方面對(duì)理論進(jìn)行驗(yàn)證，最后討論了梁截面尺寸對(duì)吊索受力的影響。通過(guò)研究可以使橋梁工程師對(duì)拱肋與吊索連接處在外部沖擊荷載作用下的受力特點(diǎn)有更加清楚的認(rèn)識(shí)，具有一定的工程意義，以期為應(yīng)力波在結(jié)構(gòu)中的傳播規(guī)律等更深入的研究提供參考。

1 理論分析

為研究吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波的傳播規(guī)律，建立了應(yīng)力波傳播的理論模型，如圖1所示。理論模型分為3個(gè)部分，梁2和梁3的材料和截面相同，E2、A2和I2分別對(duì)應(yīng)的梁2和梁3的彈性模量、截面積和截面慣性矩，E1和A1則分別是索1的彈性模量和截面積，ρ1和ρ2則分別是索和梁的密度，梁與索的夾角為α。

索1端部有入射波u0向上傳播，傳播至結(jié)頭處時(shí)發(fā)生反射和透射，產(chǎn)生的反射波向下傳播，包含縱波u1及橫波w1。同時(shí)，梁2中有透射縱波u2和透射彎曲波w2，梁3中有透射縱波u3和透射彎曲波w3，正負(fù)號(hào)規(guī)定如圖1所示，其中，假設(shè)各質(zhì)點(diǎn)縱向位移正方向與波的傳播方向相反，即為拉伸波。

圖1 理論模型

假設(shè)結(jié)頭為剛體，入射波由吊索傳播至結(jié)頭處時(shí)，結(jié)頭只有平動(dòng)，而沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，結(jié)頭的縱向位移為u、橫向位移為w，正負(fù)號(hào)規(guī)定如圖2所示。

圖2 結(jié)頭位移及轉(zhuǎn)角

由結(jié)頭與梁和索的位移協(xié)調(diào)性可知，結(jié)頭處的縱向位移u和橫向位移w與各反射波和透射波質(zhì)點(diǎn)位移的關(guān)系為

(1)

式(1)為主梁-吊索剛性結(jié)頭處應(yīng)力波傳播的相容方程。吊索在波u0和u1作用下的總軸力為N1，梁2的軸力、剪力和彎矩分別為N2、Q2、M2，梁3的軸力、剪力和彎矩分別為N3、Q3、M3，如圖3所示。

圖3 結(jié)頭處受力模型

得到動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式(2)中：mj=ρ2V為結(jié)頭的質(zhì)量，ρ2為梁的密度，V為結(jié)頭的體積。

本構(gòu)方程為

(3)

式(3)中：G為剪切剛度；As與截面特性相關(guān)；x1、x2、x3分別表示索1、梁2、梁3的軸向局部坐標(biāo)，正方向與圖1中u1、u2、u3相同。

入射波u0在結(jié)頭處產(chǎn)生6類反射波和透射波，為求解控制方程，假定各類波的質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)為

(4)

NBT=Q

(5)

式(5)中：B為待求系數(shù)矩陣；N為影響矩陣；Q為與入射波相關(guān)的荷載矩陣。

(6)

(7)

(8)

式中：M1～M8分別表示為

(9)

2 數(shù)值分析

2.1 與經(jīng)典理論的對(duì)比

經(jīng)典理論中，梁或索中的縱波在固定邊界條件下的反射規(guī)律是質(zhì)點(diǎn)速度為0，質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力加倍，在自由邊界條件下的反射規(guī)律是質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力為0，質(zhì)點(diǎn)速度加倍，對(duì)梁截面積無(wú)限大和無(wú)限小兩種特殊情況進(jìn)行分析，檢驗(yàn)建立的控制方程能否回歸到經(jīng)典理論。

當(dāng)梁的截面積無(wú)限大時(shí)，可知結(jié)頭橫向位移w=0，對(duì)于各波形的質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)，取n=1且x1=t=0進(jìn)行分析，由式(1)可知

-(u0-u1)sinα-v1cosα=0

(10)

對(duì)于梁-索夾角α=π/2時(shí)，由此可知

u0=u1→B0=B1

(11)

式(11)中：B0、B1分別為入射波u0和反射波u1的幅度。吊索端部反射波與入射波疊加后的軸力為

(12)

由式(12)可知，反射波與入射波疊加后產(chǎn)生的軸力是入射波軸力N0的兩倍。

吊索端部反射波u1的質(zhì)點(diǎn)速度為v1，入射波u0的質(zhì)點(diǎn)速度為v0，疊加后的質(zhì)點(diǎn)速度為

v=v0-v1=(B0-B1)iω

(13)

所以，吊索端部反射波與入射波疊加后的質(zhì)點(diǎn)速度為0。這符合縱波在固定邊界條件下的反射規(guī)律，即質(zhì)點(diǎn)速度為0，內(nèi)力加倍。

假設(shè)梁的截面積趨近與0，由式(12)可知，反射波與入射波疊加后的軸力N合為0，那么可以得到

B1=-B0

(14)

那么，反射波與入射波疊加后的質(zhì)點(diǎn)位移為

u0-u1=2u0

(15)

反射波與入射波疊加后的質(zhì)點(diǎn)速度v為

v=v0-v1=2v0

(16)

這種規(guī)律與應(yīng)力波在自由端邊界條件下的反射規(guī)律相同，即質(zhì)點(diǎn)速度加倍，內(nèi)力為0。

由以上的分析可知，對(duì)吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波傳播規(guī)律所建立的控制方程，在梁截面積無(wú)限大和無(wú)限小的兩種特殊情況下，可以回歸到經(jīng)典理論，從側(cè)面驗(yàn)證了所建立控制方程的正確性。

2.2 梁截面尺寸對(duì)結(jié)頭處應(yīng)力波傳播規(guī)律的影響

采用有限元軟件ABAQUS建立模型，如圖4所示。上部結(jié)構(gòu)采用梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，吊索采用桁架單元進(jìn)行模擬。梁截面為正方形，邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度為10 m，兩端采用固結(jié)邊界條件。索長(zhǎng)度為5 m，與梁中點(diǎn)相連接。梁的材料參數(shù)為：楊氏模量E1=2.078×105N/mm2，泊松比=0.3，密度=7.85 t/m3；索的材料參數(shù)為：E2=1.95×105N/mm2；泊松比=0.3，密度=7.85 t/m3。重物采用半徑為0.05 m的圓球，初始沖擊速度為5 m/s。

圖4 有限元模型

圖5 吊索中點(diǎn)位置處軸力N1時(shí)程曲線

(17)

式(17)中：k表示時(shí)域中初始波信號(hào)的離散點(diǎn)的總數(shù)，取值為0～N/2，ReX[k]及ImX[k]為快速傅里葉轉(zhuǎn)換(FFT)后的實(shí)部及虛部。通過(guò)式(17)計(jì)算得到每個(gè)正弦波及余弦波的振幅及頻率后，可根據(jù)合成等式計(jì)算出初始波形，即

(18)

圖6 初始波形與擬合波形

式(18)可寫(xiě)為

(19)

式(19)中：c0表示吊索中縱波的傳播速度。

為研究吊索上部結(jié)構(gòu)截面尺寸對(duì)吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波傳播規(guī)律的影響，選取a為1、3、5、8、10 mm這5個(gè)參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析。吊索上端的軸力時(shí)程曲線如圖7所示。

圖7 梁截面尺寸a對(duì)吊索上端位置軸力N1影響

圖7給出了梁截面尺寸a對(duì)吊索上端軸力N1影響的理論計(jì)算結(jié)果及有限元模擬結(jié)果。由圖7可以看出，梁截面尺寸分別為10、8、5、3、1 mm時(shí)，理論計(jì)算N1的最大值分別為139.8、131.9、101.4、54.1、4.9 N。而有限元模擬計(jì)算結(jié)果中，N1的最大值分別為113.3、108.8、83.1、37.3、10.4 N。從圖6中可以看出，初始入射波N0的最大值為75.6 N，通過(guò)理論計(jì)算與有限元模擬計(jì)算結(jié)果及初始入射波的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律。

(1)理論計(jì)算結(jié)果中，各種梁截面尺寸參數(shù)下，吊索上端軸力時(shí)程曲線與初始入射波形相似，本小節(jié)中，在反射波和透射波的合成過(guò)程中，忽略了各余弦波及正弦波的相位變化，而采用與入射波相同的相位，即可得到與入射波相似的波形，驗(yàn)證了上一小節(jié)中關(guān)于反射波和透射波與入射波之間相位差需要被忽略的正確性。

(2)理論計(jì)算結(jié)果與有限元模擬結(jié)果有相同的規(guī)律，隨著梁截面尺寸a的增加，吊索上端軸力N1不斷增大。在理論計(jì)算結(jié)果中，當(dāng)梁截面尺寸a=3 mm，結(jié)頭處的反射波對(duì)入射波起卸載的作用，而當(dāng)梁截面尺寸a=5 mm時(shí)，結(jié)頭處的反射波對(duì)入射波起加載的作用，當(dāng)梁截面尺寸a=10 mm時(shí)，軸力N1則近似于入射波處軸力N0的兩倍。當(dāng)梁的抗彎剛度逐漸增大時(shí)，軸力N1逐漸增大，而質(zhì)點(diǎn)速度逐漸減小。

(3)有限元模擬結(jié)果略小于理論計(jì)算結(jié)果，但是兩種方法的計(jì)算結(jié)果有相同的變化規(guī)律，也驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性。

3 結(jié)論

針對(duì)吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波的傳播規(guī)律，依據(jù)內(nèi)力平衡性和位移協(xié)調(diào)性建立了控制方程，假設(shè)各反射波及透射波的波形方程，并將波形方程代入控制方程中，可求解出各反射波及透射波的波形，同時(shí)建立了吊索-梁結(jié)構(gòu)受小球沖擊的有限元模型，提取了吊索中點(diǎn)的軸力時(shí)程曲線，并以其中第一個(gè)波峰作為理論計(jì)算的入射波。由于該入射波是一組離散數(shù)據(jù)，不能直接代入控制方程計(jì)算，所以采用快速傅里葉轉(zhuǎn)換及合成等式相結(jié)合的方法，將這組離散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成25個(gè)余弦波和25個(gè)正弦波線性疊加而的連續(xù)函數(shù)。對(duì)梁截面無(wú)限大和無(wú)限小兩種特殊情況，將控制方程回歸到經(jīng)典理論。最后，對(duì)梁截面尺寸進(jìn)行了參數(shù)分析，討論了這些參數(shù)影響下吊索-梁結(jié)頭處應(yīng)力波傳播的規(guī)律。通過(guò)研究可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

(1)當(dāng)梁截面尺寸無(wú)限大和無(wú)限小時(shí)，所建立的控制方程均能回歸到經(jīng)典理論。

(2)有限元及理論數(shù)值分析結(jié)果對(duì)比可知，理論方法的數(shù)值分析結(jié)果與有限元分析結(jié)果的變化規(guī)律比較吻合，驗(yàn)證了理論方法是可行的。

(3)具有典型意義的是隨著梁截面尺寸a的不斷增大，索上端的軸力N1也是不斷增大，所以梁的抗彎剛度對(duì)吊索的受力有比較大的影響。