杜超雄 劉燦輝

【摘要】無(wú)窮和式極限是大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)較難理解的一個(gè)基本且重要的知識(shí)點(diǎn)，其形式復(fù)雜，解法多樣，學(xué)生不易掌握.本文結(jié)合實(shí)例給出了利用定積分求解無(wú)窮和式極限的常用方法并加以拓展.同時(shí)，考慮到教學(xué)課時(shí)數(shù)的限制，以“定積分概念求無(wú)窮和式極限”為例，本文還闡述了線(xiàn)上線(xiàn)下混合式教學(xué)內(nèi)容的適度構(gòu)建問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】定積分定義;無(wú)窮和式;線(xiàn)上線(xiàn)下教學(xué)內(nèi)容構(gòu)建

【基金項(xiàng)目】該研究受湖南省教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：湘教通〔2019〕291號(hào)1144）資助和湖南省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目（18A525）資助

大學(xué)本科理工類(lèi)學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，往往覺(jué)得學(xué)習(xí)難度較大.究其原因，一方面可能是由于高等數(shù)學(xué)類(lèi)課程的開(kāi)設(shè)課時(shí)不足，教師在授課時(shí)無(wú)法像中學(xué)一樣對(duì)教材上的概念和定理等深入講解，以至于自學(xué)能力較差且已經(jīng)對(duì)課堂教學(xué)形成一定依賴(lài)性的學(xué)生對(duì)部分知識(shí)的學(xué)習(xí)不深不透、一知半解;另一方面，可能由于部分大學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)于課堂教學(xué)外學(xué)法的過(guò)多引入，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的體系無(wú)法有效構(gòu)建，從而使學(xué)習(xí)興趣不斷衰退.陳寶生部長(zhǎng)在全國(guó)教育大會(huì)上提到“以本為本”，大學(xué)教師更應(yīng)以學(xué)生為中心，將教學(xué)時(shí)刻放在心上，以提高學(xué)生的水平和能力為己任.大學(xué)數(shù)學(xué)教師要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，第一，指導(dǎo)學(xué)生有效閱讀教材和做好課外習(xí)題.第二，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).第三，引導(dǎo)學(xué)生參閱好的課外參考資料以圖從中吸取養(yǎng)分來(lái)作為課堂教學(xué)的有益補(bǔ)充.當(dāng)下教育部門(mén)提倡教師開(kāi)展課堂教學(xué)改革，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)課程，開(kāi)展線(xiàn)上線(xiàn)下教學(xué)活動(dòng)，這將有利于學(xué)生對(duì)于知識(shí)更好地掌握和消化乃至拓展.對(duì)于線(xiàn)上線(xiàn)下混合式教學(xué)的討論，很多文獻(xiàn)進(jìn)行了論述.如王皓，林海燕認(rèn)為線(xiàn)上教學(xué)有效突破了時(shí)間和空間的限制，能實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果最大化.李建榮和章勁鷗分別對(duì)線(xiàn)上線(xiàn)下混合式教學(xué)和翻轉(zhuǎn)課堂進(jìn)行了探究.

如何有效構(gòu)建課堂教學(xué)外的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)知識(shí)體系是一個(gè)值得研究的問(wèn)題.從很多網(wǎng)絡(luò)課程所展示的內(nèi)容來(lái)看，大部分課程看起來(lái)似乎很完整，每章每節(jié)的內(nèi)容都全部展示出來(lái)，細(xì)細(xì)想來(lái)，這是課堂教學(xué)的重復(fù)還是代替學(xué)生做了一個(gè)完整的筆記？個(gè)人認(rèn)為，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的部分應(yīng)該以鞏固、提高、拓展知識(shí)、提高解決問(wèn)題的能力和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為目的.

下面以教材為例來(lái)說(shuō)明一下線(xiàn)上線(xiàn)下內(nèi)容的構(gòu)建，以供同行討論.

一、利用定積分概念求無(wú)窮和式的課堂教學(xué)內(nèi)容

在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)，課堂教學(xué)的內(nèi)容一般以教材為范本.對(duì)于《數(shù)學(xué)分析》教材中關(guān)于利用定積分的定義求無(wú)窮和式極限的課堂教學(xué)可以如下展開(kāi).

第一步，先展示定積分定義.“利用定積分的定義求無(wú)窮和式極限”應(yīng)該是在學(xué)習(xí)完定積分定義后講述的，因此先展示一下定積分定義可以起到復(fù)習(xí)和鞏固的作用，還可以為接下來(lái)的教學(xué)起到承前啟后的作用，對(duì)于定義可以使用PPT展示.

定積分的定義：設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的一個(gè)函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)插入n-1個(gè)點(diǎn)，依次為a=x0

第二步，結(jié)合定積分定義講解例題.教材上的例題如下：

例1 計(jì)算：limn→∞1n+1+1n+2+…+12n.

解 limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞1n11+1n+11+2n+…+11+nn，

接著考慮f（x）=11+x在[0，1]上的定積分，將[0，1]n等分為0<1n<2n<…

Δxi=in-i-1n=1n，λ=1n→0n→∞，取ξi=in∈[xi-1，xi]即i-1n，in，則

limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞1n11+1n+11+2n+…+11+nn

=∫1011+xdx=ln 2.

第三步，總結(jié)與反思.其一是總結(jié)一下如何構(gòu)造定積分，被積函數(shù)怎么找;其二是反思為什么要這么找.

這第三步往往是教學(xué)環(huán)節(jié)中最重要的，也是最吸引學(xué)生進(jìn)一步探究興趣的關(guān)鍵一環(huán)，但是課堂教學(xué)時(shí)間有限，很難很好地完成這一步.因此，不少教師在日常的教學(xué)中只是簡(jiǎn)單地總結(jié)與歸納，更不用說(shuō)進(jìn)一步拓展了.

二、利用定積分概念求無(wú)窮和式的線(xiàn)上（或拓展）教學(xué)內(nèi)容

線(xiàn)上線(xiàn)下混合式教學(xué)的關(guān)鍵在于線(xiàn)上線(xiàn)下混合式教學(xué)管理目標(biāo)是否可以達(dá)成，效果是否明顯.這對(duì)教師完善教學(xué)內(nèi)容、提高教學(xué)水平起著積極的導(dǎo)向作用.教師要界定哪些內(nèi)容適合線(xiàn)上的教學(xué)，哪些內(nèi)容適合線(xiàn)下的教學(xué).線(xiàn)上教學(xué)部分應(yīng)能增加學(xué)生課前自主預(yù)習(xí)的時(shí)間、增加學(xué)生對(duì)知識(shí)的好奇心、求知欲，能吸引學(xué)生課后進(jìn)一步對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行消化和鞏固.線(xiàn)下教學(xué)部分應(yīng)能通過(guò)師生面對(duì)面的形式在有限的課堂時(shí)間使學(xué)生充分掌握重難點(diǎn)知識(shí)，且對(duì)學(xué)生線(xiàn)上學(xué)習(xí)產(chǎn)生的疑問(wèn)面對(duì)面解答，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)更多的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，這從某種意義上講是對(duì)于線(xiàn)上內(nèi)容的構(gòu)建提出的一些要求.

就“利用定積分概念求無(wú)窮和式極限”而言，我們可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)內(nèi)容，線(xiàn)上教學(xué)內(nèi)容的講述可以錄制視頻.

1.展示定積分定義

為了很好地講述“利用定積分概念求無(wú)窮和式極限”，對(duì)定積分的定義的鞏固與復(fù)習(xí)是十分必要的.

2.利用定積分定義構(gòu)造無(wú)窮和式

利用定積分定義求無(wú)窮和式，不必先展示要求的習(xí)題，而是可以以某個(gè)函數(shù)的定積分入手構(gòu)造無(wú)窮和式的極限問(wèn)題，同時(shí)在此基礎(chǔ)上結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)對(duì)求無(wú)窮和式的極限問(wèn)題不斷拓展.下面我們以f（x）=11+x在[0，1]上的定積分為例來(lái)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造一系列的無(wú)窮和式問(wèn)題，以激發(fā)學(xué)生探究問(wèn)題的興趣.

例2 將[0，1]n等分，請(qǐng)寫(xiě)出∫1011+xdx的定義表達(dá)式.

解 將[0，1]n等分，則Δxi=in-i-1n=1n，λ=1n→0n→∞，任意取ξi∈i-1n，in，則 ∫1011+xdx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi=limn→∞1n∑ni=111+ξi.

以例2為基礎(chǔ)，從上面表達(dá)式的最右端入手可以讓學(xué)生根據(jù)ξi的任意性來(lái)構(gòu)造無(wú)窮和式，可以布置如下拓展性練習(xí).

練習(xí)1 根據(jù)ξi的任意性寫(xiě)出一些無(wú)窮和式.

該練習(xí)是一種發(fā)散式練習(xí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去完成，引導(dǎo)學(xué)生取i-1n，in的左端點(diǎn)、右端點(diǎn)和介于左右端點(diǎn)之間的某一點(diǎn).這樣就產(chǎn)生了一些無(wú)窮和式的極限問(wèn)題了，如：

練習(xí)1.1 limn→∞1n∑ni=111+i-1n=limn→∞1n+1n+1+…+12n-1.ξi取i-1n，in的左端點(diǎn)得到的極限式

練習(xí)1.2 limn→∞1n∑ni=111+in=limn→∞1n+1+1n+2+…+12n.ξi取i-1n，in的右端點(diǎn)得到的極限式

練習(xí)1.3 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+12n=limn→∞1n+12+1n+32+1n+52+…+1n+2n-12.ξi取i-1n，in的左右端點(diǎn)的中點(diǎn)得到的極限式

練習(xí)1.4 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+1n2=limn→∞1n+1n+1n+1+1n+1n+2+1n+…+12n-1+1n.ξi取i-1n+1n2∈i-1n，in得到的極限式

練習(xí)1.5 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+1ni+1=limn→∞1n+1n2+1n+1+1n3+1n+2+1n4+…+12n-1+1nn+1.ξi取i-1n+1ni+1∈i-1n，in得到的極限式

教師通過(guò)對(duì)定積分定義中ξi的任意性的系列練習(xí)的構(gòu)造，激發(fā)了學(xué)生探究的興趣.這類(lèi)教學(xué)需要課外時(shí)間方可完成，因此適合于網(wǎng)上展示或者以興趣小組輔導(dǎo)的形式展示.

練習(xí)2 證明：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有1n+1+1n+2+…+12n

可以提示學(xué)生認(rèn)識(shí)到左邊當(dāng)n趨向于無(wú)窮時(shí)為例1中的積分，其值為ln 2，而上式左邊僅為其中一部分，還可以進(jìn)一步利用上面的練習(xí)1.1-1.5構(gòu)造相似的不等式.

練習(xí)3 求極限limn→∞1nnn（n+1）（n+2）…（2n-1）.

分析該題為無(wú)窮乘積，教師要引導(dǎo)學(xué)生將無(wú)窮乘積轉(zhuǎn)化為無(wú)窮和式，即取對(duì)數(shù).

開(kāi)展高等數(shù)學(xué)線(xiàn)上線(xiàn)下混合式教學(xué)，學(xué)生的參與度與認(rèn)可度會(huì)有較大提高，但是切不可隨意構(gòu)造線(xiàn)上內(nèi)容，不可簡(jiǎn)單重復(fù)課堂教學(xué)內(nèi)容.教師要有效構(gòu)建網(wǎng)上學(xué)習(xí)和討論的內(nèi)容，并進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)監(jiān)測(cè)與學(xué)習(xí)考察，大多數(shù)學(xué)生都能配合教師較好地完成線(xiàn)上的任務(wù)，這樣不僅能提高課堂的學(xué)習(xí)效果，也能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī).

【參考文獻(xiàn)】

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