趙永生

排列組合問題有很多種，如相鄰問題、不相鄰問題、相同元素問題、定序問題等，每一種題目的解法也各不相同.本文主要介紹三種排列組合問題：定位問題、“至少”問題、選排問題的解法，以供大家參考.

一、定位問題

定位問題是要求某一個或者某幾個元素必須要在某一個固定位置的問題.解答這類問題一般用優(yōu)先法，即優(yōu)先考慮要求固定位置或者在固定位置上的元素.在解答定位問題時，首先要明確被固定了位置的元素和未被固定位置的元素，以及有特殊要求的位置和沒有特殊要求的位置，然后安排有特殊要求的元素或者位置，再分析沒有要求的元素或者位置的排列情況.

例1.某幼兒園小班有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G 7個小朋友，現(xiàn)在要讓這7個小朋友站成一排做游戲，如果A，B兩個小朋友不能站在中間，也不能站在兩邊，那么這7個小朋友一共可以有多少種不同的站法.

分析：本題中的A、B兩個元素的位置有特殊要求，所以本題是一個定位問題，可采用優(yōu)先法進(jìn)行求解.未固定位置元素的有C，D，E，F(xiàn)，G 5個小朋友，需優(yōu)先排列中間和兩邊的位置，再排其他的位置.

二、“至少”問題

“至少”問題是指在某些題目中含有“至少”字眼的排列組合問題.解答這類問題常采用間接法，這種方法只適用于求解反面情況容易分析、計算的題目.在解答“至少”問題時，要先結(jié)合題目信息求出題目中所有元素在沒有任何要求下的總排列組合數(shù)，再分析問題的反面情況，即不滿足題目要求的排列情況，根據(jù)分類計數(shù)原理和分步計數(shù)元素求得反面情況的排列數(shù)，最后將總的排列組合數(shù)減去反面情況的排列數(shù)即可.

例2 .某跳水隊要選拔新人，要求從來自A地區(qū)的4人中和來自B地區(qū)的5人中任意選取3個人組成一個隊伍，并且隊伍中至少各有一名來自兩個不同地區(qū)的人，那么不同的組隊方式有多少種？

分析：本題中出現(xiàn)了“至少”的字眼，可采用間接法求解.先求出沒有任何要求的總的組隊方式數(shù)，然后求出“隊伍中的人只來自一個地區(qū)”組隊方式數(shù)，再將二者相減.

三、選排問題

選排問題是指要求在某幾個元素里面選出滿足題目要求的幾個元素，并且將這幾個元素指定到某些固定的位置上.解答這類問題一般使用先選后排的方法.在解答選排問題時，首先要結(jié)合題目要求找出滿足題目條件的幾個元素，再將找出的這幾個元素需要安排的位置，逐一進(jìn)行排列，最后根據(jù)分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理進(jìn)行求解.

例3.已知某檢驗人員檢測了一批含有10個產(chǎn)品的零件，檢測人員檢測出其中含有6個合格品與4個不合格品，但是檢驗人員不小心忘記了將不合格品篩選出來，因此需要重新逐個檢驗，直到找出所有的不合格產(chǎn)品為止.假如所有的不合格產(chǎn)品剛好在第5次檢驗時被全部檢驗出來，那么符合題目要求的檢驗方法有多少種？

分析：本題是一個選排問題，需運(yùn)用先選后排的方法進(jìn)行解答.首先，我們需明確10個產(chǎn)品里面有4個不合格品，并且所有不合格品都在前5次檢驗中被找到，這也就是說，前4次檢測找出了3個不合格品，第5次檢測的是不合格品.

定位問題、“至少”問題、選排問題的特點(diǎn)、解法各不相同.在解題時，同學(xué)們要注意結(jié)合題意進(jìn)行辨別，清楚題目屬于哪一種題型，然后再“對癥下藥”，選擇最合適的方法進(jìn)行求解，避免繞彎路，浪費(fèi)解題時間.

（作者單位：江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)淮安市新淮高級中學(xué)）