摘 要：文章從創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)建模興趣;嘗試猜測(cè)探究，親歷模型構(gòu)建;精煉數(shù)學(xué)思想，完善建模過(guò)程;解決實(shí)際問題，拓展數(shù)學(xué)模型四方面闡述了如何在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透建模思想，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)建模也叫做創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，即利用合理的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與方法，將數(shù)學(xué)問題中所描述的復(fù)雜的已知條件，經(jīng)過(guò)剝繭抽絲，以簡(jiǎn)馭繁，提取出有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，保留問題的本質(zhì)屬性，把抽象問題具體化、形象化，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)或圖像并形成某種數(shù)學(xué)模型，最后再將這一數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到實(shí)際中去解決問題。由此可見，滲透、培養(yǎng)建模思想具有重大的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

一、 創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)建模興趣

每一個(gè)數(shù)學(xué)模型，都是建立在現(xiàn)實(shí)生活背景上的。教學(xué)中，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)新奇、有趣的問題情境，鏈接一些與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的實(shí)際生活案例，喚醒學(xué)生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的建模興趣，讓學(xué)生在嘗試解決問題的基礎(chǔ)上，體會(huì)并構(gòu)建潛藏于其中的數(shù)學(xué)模型。

如教學(xué)人教版四年級(jí)“平均數(shù)”一課時(shí)，教師從學(xué)生熟悉的、感興趣的運(yùn)動(dòng)會(huì)“一分鐘投籃”比賽入手，充分激發(fā)學(xué)生的探究精神，自主解決問題。

出示比賽視頻（運(yùn)動(dòng)會(huì)當(dāng)天一個(gè)男隊(duì)員生病請(qǐng)假），學(xué)生觀看視頻并填寫表格：

師：請(qǐng)同學(xué)們把兩隊(duì)的總成績(jī)算出來(lái)。

生：女隊(duì)一共投中34個(gè)，男隊(duì)一共投中28個(gè)。

師：現(xiàn)在根據(jù)他們的比賽總成績(jī)，老師宣布最后的勝利者是女隊(duì)，你們覺得公平嗎？

男生：不公平！女生人數(shù)多，根據(jù)總個(gè)數(shù)決定勝負(fù)不公平。

女生：我們女隊(duì)不僅總成績(jī)最高，而且個(gè)人最高成績(jī)也是我們女生，投中了9個(gè)，我們女生是當(dāng)之無(wú)愧的冠軍。

男生：團(tuán)體比賽怎么能光看一個(gè)人的成績(jī)決定輸贏？如果這樣，我們也可以說(shuō)最低分是女生，女生才是失敗者。

師：哦，那怎樣才能公平的判決比賽的勝負(fù)呢？

男生：女隊(duì)去掉一個(gè)隊(duì)員或者男隊(duì)增加一個(gè)隊(duì)員。

師：可是比賽已經(jīng)結(jié)束了，怎么加啊？

男生：那就女隊(duì)去掉一個(gè)人。

師：女隊(duì)去掉幾號(hào)選手？

男生：104（男生激動(dòng)地喊道）

女生：103（女生也不甘示弱）

師：大家意見出現(xiàn)了分歧，如果現(xiàn)在既不增加男隊(duì)人數(shù)也不減少女隊(duì)人數(shù)，怎樣才能使比賽公平？

……（全班沉默中）

可以分別求出兩隊(duì)的平均數(shù)（一個(gè)小小的聲音從角落中傳出）

師：你的意思是用平均數(shù)來(lái)比較兩隊(duì)的勝負(fù)嗎？

生：嗯。

師：平均數(shù)是什么意思?。磕隳芙o大家解釋一下嗎？

生：平均數(shù)就是使男隊(duì)每個(gè)隊(duì)員投中的個(gè)數(shù)變得一樣多，女隊(duì)每個(gè)隊(duì)員投中的個(gè)數(shù)也變得一樣多，這樣就能定輸贏。

師：他的意思同學(xué)們聽明白了嗎？（一陣熱烈的掌聲響起）

通過(guò)“一分鐘投籃”比賽這一情境的創(chuàng)設(shè)，學(xué)生提出了判斷比賽勝負(fù)的方法：比較男女隊(duì)員的總分、比較男女隊(duì)員的個(gè)人最高成績(jī)，但都被一一否定了，初步建模顯然失敗。這時(shí)學(xué)生的思維陷入了瓶頸，激發(fā)了他們的建模需求，在熱烈地討論中積極尋求一個(gè)新的解決問題的策略，在一次又一次的思維沖突中引出了“平均數(shù)”，由此構(gòu)建了“平均數(shù)”這一數(shù)學(xué)模型。

二、 嘗試猜測(cè)探究，親歷構(gòu)建模型

數(shù)學(xué)模型的建立需要通過(guò)共性事物的不斷積累，教師要選取多維度的數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型提供可能。教學(xué)中，教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生自主探究與合作交流相結(jié)合，勇于質(zhì)疑解疑、善于猜想驗(yàn)證，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并在實(shí)踐中不斷改進(jìn)、優(yōu)化。

如教學(xué)人教版四年級(jí)“雞兔同籠”一課時(shí)，當(dāng)學(xué)生利用“畫圖法”數(shù)形結(jié)合，深刻理解了雞兔同籠的數(shù)量關(guān)系后，教師趁機(jī)啟發(fā)學(xué)生嘗試用假設(shè)法來(lái)解決問題。

師：剛才的思考過(guò)程能否用算式表示出來(lái)呢？請(qǐng)獨(dú)立完成，并同桌交流想法。

生展示：11×2=22（條） 36-22=14（條） 14÷2=7（只） 11-7=4（只）

師：能說(shuō)說(shuō)你是怎么想的嗎？

生：先假設(shè)籠子里11只都是雞，就有11×2=22（條）腿，再用36-22求出少了14條腿，要補(bǔ)上少了的這14條腿，就要把7只雞換成7只兔子，求出兔子有7只，最后把11-7=4（只），求出雞的只數(shù)。

師：14÷2=7（只），這里的2是什么意思呢？

生：2是指把一只雞換成一只兔，腿就增加了2條。

師：對(duì)，在這里我們要先算出4-2=2（條）。（在作業(yè)單上補(bǔ)上4-2=2（條））

師：我們要補(bǔ)上少算的14條腿，就要把幾只雞換成幾只兔？

生：14÷2=7（只）。

師：求出的7只和4只分別是誰(shuí)的只數(shù)？

生：7是兔的只數(shù)，4是雞的只數(shù)。

師：怎樣區(qū)分雞、兔的只數(shù)？

生：假設(shè)全是雞，腿必定會(huì)少，就要用兔子去換雞，所以先求出兔的只數(shù)。

師：真棒！剛才我們假設(shè)籠子里都是雞，求出了答案?，F(xiàn)在轉(zhuǎn)換思考角度，假設(shè)籠子里都是兔，你能挑戰(zhàn)自己解答這個(gè)問題嗎？

生：能。

師：請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立完成，再與同桌交流，注意把自己的想法表達(dá)清楚。

學(xué)生反饋，理清解題思路。

師：我們通過(guò)假設(shè)籠子里都是雞或者都是兔的方法解決問題，發(fā)現(xiàn)破解此類問題的規(guī)律：假雞先得兔，假兔先得雞，從中求得答案，這在數(shù)學(xué)中叫做假設(shè)法。

這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷從多種角度思考，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，不斷調(diào)整解題策略，提取問題本質(zhì)，探索解題方案，積攢解題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在思考、分析、歸納過(guò)程中建立“假設(shè)法”這一數(shù)學(xué)模型。

三、 精煉數(shù)學(xué)思想，完善建模過(guò)程

思想方法是學(xué)生建模過(guò)程中不可缺少的思維工具，是數(shù)學(xué)模型的核心。在教師的指引下，學(xué)生主動(dòng)探尋數(shù)學(xué)奧秘、獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，并嘗試通過(guò)自我努力將其精煉、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。同時(shí)不斷完善數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，深化數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵。

如教學(xué)“圓的面積”一課，教師在建構(gòu)圓的面積公式這一數(shù)學(xué)模型時(shí)，要注重滲透“轉(zhuǎn)化”和“極限”兩種數(shù)學(xué)思想方法，加深對(duì)公式推導(dǎo)過(guò)程的理解，使學(xué)生知其然并知其所以然。

（一）滲透“轉(zhuǎn)化”思想，促進(jìn)知識(shí)遷移

1. 回顧猜想

師：在推導(dǎo)平面圖形的面積公式時(shí)，我們運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？

生：運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的方法。

師：猜猜，圓能轉(zhuǎn)化成哪些平面圖形？

學(xué)生大膽猜測(cè)，有的猜轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，有的猜轉(zhuǎn)化為平行四邊形。

2. 操作驗(yàn)證

師：拿出學(xué)具動(dòng)手剪一剪、拼一拼，驗(yàn)證大家的猜測(cè)是否正確？

（教師給學(xué)生提供剪刀、不同等分的各種圓等學(xué)具，學(xué)生分組動(dòng)手操作并完成學(xué)習(xí)單。）

3. 反饋交流

生1：我們小組把圓平均分成8份，剪開后，把這些小扇形拼起來(lái)，拼成一個(gè)平行四邊形。

生2：我們小組是把圓16等分，剪拼后的圖形近似于長(zhǎng)方形。

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)思考，如果把圓無(wú)限等分，能拼成什么圖形？

課件演示：圓的分割拼合過(guò)程（把圓32、64、128…等分）。

生：拼成圖形的邊越來(lái)越直，就變成了長(zhǎng)方形。

4. 歸納總結(jié)

思考：

（1）圓剪拼成長(zhǎng)方形什么變了？什么不變？

（2）嘗試推導(dǎo)圓的面積公式。

學(xué)生得出結(jié)論：

（1）圓剪拼成長(zhǎng)方形周長(zhǎng)變了，面積不變。

（二）滲透“極限”思想，開放思維空間

極限思想極其抽象，不易理解，必須依托于教材的學(xué)習(xí)進(jìn)行滲透。在推導(dǎo)“圓的面積”公式這一環(huán)節(jié)中，從“8、16等分”到“32、64、128…等分”，從“分的份數(shù)越來(lái)越多”到“一直不停地分下去”，讓學(xué)生在動(dòng)手操作和觀看課件演示中，觀察圖形剪拼的變化趨勢(shì)，學(xué)生在大腦中呈現(xiàn)圖形的分割從有限到極限的過(guò)程，從而得出最終結(jié)論，并相機(jī)滲透“極限”思想，感悟極限思想的價(jià)值。

有了這一知識(shí)的鋪墊，在今后學(xué)習(xí)“圓柱體積”時(shí)，學(xué)生自然而然就會(huì)想到把圓柱無(wú)限分割拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，從而推導(dǎo)出圓柱體積公式，實(shí)現(xiàn)了自主學(xué)習(xí)。

四、 解決實(shí)際問題，拓展數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題，不僅使構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型得以擴(kuò)展和延伸，大大提高學(xué)生的解題能力，還能使學(xué)生深刻領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)模型在生活中的意義及價(jià)值，強(qiáng)化學(xué)生建模的自發(fā)性與能動(dòng)性。

如教學(xué)人教版五年級(jí)“植樹問題”一課，教師借助于畫圖——提煉——應(yīng)用，讓學(xué)生明確植樹問題的本質(zhì)特征及解題模型，并將其應(yīng)用于解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。在教學(xué)例題后，教師可設(shè)計(jì)以下三題練習(xí)來(lái)拓展此類數(shù)學(xué)模型。

第一題：為慶祝元旦，湖州營(yíng)新社區(qū)在全長(zhǎng)1400米的江濱大道一側(cè)，從頭到尾每隔7米插一面彩旗，一共要準(zhǔn)備多少面彩旗？

第二題：長(zhǎng)樂南山公園林蔭小道上種植了35棵桂樹（兩端都栽），每?jī)煽霉饦渲g相隔6米，這條林蔭小道長(zhǎng)多少米？

第三題：筆直的跑道一旁擺了31盆花，每盆花的間隔是3米，現(xiàn)在只擺19盆花（兩端的花不動(dòng)），間隔應(yīng)改成多少米？

第一題直接應(yīng)用模型：兩端都栽的總棵數(shù)=間隔數(shù)+1，學(xué)生很容易就能列出算式：1400÷7+1=201（面）。第二題是模型的變式，學(xué)生通過(guò)自主探究，也能明白在兩端都栽的情況下，種了35棵桂樹，就意味著有34個(gè)間隔，從而延伸出新的數(shù)學(xué)模型：總長(zhǎng)度=間隔米數(shù)×間隔數(shù)，使問題迎刃而解：6×（35-1）=204（米）。第三題更是加大了難度，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致分析，理解題意，把原題分解為兩個(gè)部分，先根據(jù)跑道一旁擺了31盆花，每盆花的間隔是3米，應(yīng)用第二題的新模型，求出跑道的總長(zhǎng)度：（31-1）×3=90（米），再提示學(xué)生通過(guò)畫圖遷移，構(gòu)建出新模型：間隔米數(shù)=總長(zhǎng)度÷間隔數(shù)，順利地解答了此題：90÷（19-1）=5（米）。在構(gòu)建“植樹問題”的解題模型后，進(jìn)行從易到難的階梯練習(xí)，使學(xué)生主動(dòng)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)模型的變形和拓展，提升學(xué)生的應(yīng)用能力。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)建模過(guò)程是一個(gè)持續(xù)性、全面性的發(fā)展過(guò)程，極具現(xiàn)實(shí)意義。教學(xué)中，教師要深入理解和把握數(shù)學(xué)建模的著力點(diǎn)，注重因材施教，使學(xué)生體驗(yàn)建模樂趣，并將數(shù)學(xué)建模與實(shí)際問題相聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)的最終目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫海艷.小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的滲透策略[J].小學(xué)教學(xué)參考：數(shù)學(xué)版，2014（3）：1.

[2]姚秀清.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中“數(shù)學(xué)建?！苯虒W(xué)策略分析[J].教學(xué)管理與教學(xué)研究，2018（20）：75-76.

作者簡(jiǎn)介：高香琴，福建省福州市，長(zhǎng)樂區(qū)營(yíng)前中心小學(xué)。