呂浩然,趙印明,王敏寧,黎永前

(1.航空工業(yè)北京長城計量測試技術(shù)研究所,北京 100095；2.西北工業(yè)大學(xué)空天微納系統(tǒng)教育部重點實驗室,陜西 西安 710072）

0 引言

目前,應(yīng)用于工程的傳感器主要有電阻應(yīng)變式傳感器、壓電式力傳感器和壓阻式力傳感器。電阻應(yīng)變式傳感器之中的四柱式電阻應(yīng)變式力傳感器因測量原理的不同,相較其它力學(xué)傳感器具有優(yōu)越的靜態(tài)性能,但動態(tài)性能較差。研究與提升四柱式電阻應(yīng)變式力傳感器的動態(tài)性能成為其發(fā)展與應(yīng)用中的關(guān)鍵技術(shù)問題。

國外對于力傳感器動態(tài)特性的研究多集中于慣性補(bǔ)償和濾波消噪方面[1-8],國內(nèi)則集中在動態(tài)測試中的噪聲處理、傳感器的動態(tài)補(bǔ)償和解耦方面[9-14],力傳感器自身結(jié)構(gòu)對固有頻率的影響以及改進(jìn)方法還未形成系統(tǒng)性的研究,四柱式傳感器作為一種新式結(jié)構(gòu)的力傳感器,相關(guān)研究則更少。傳感器最重要的動態(tài)特性指標(biāo)是固有頻率,它是研究與優(yōu)化其他動態(tài)性能參數(shù)的基礎(chǔ)。本文對四柱式傳感器固有頻率進(jìn)行研究與優(yōu)化,開展四柱式傳感器的固有頻率與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系分析與研究,提升應(yīng)變式傳感器固有頻率,進(jìn)而提升傳感器的動態(tài)性能。

1 固有頻率理論研究

1.1 固有頻率理論

固有頻率理論包含兩點重要結(jié)論[15-17],這兩點結(jié)論與傳感器剛度分布和質(zhì)量分布結(jié)合,是固有頻率模型建立的重要理論依據(jù)。

1)固有頻率是物體的固有屬性,由物體自身的性質(zhì)(如質(zhì)量、材質(zhì)等)決定,與外界條件(如受力狀態(tài)、約束狀態(tài)以及空間狀態(tài)等)無關(guān)。

2)固有頻率僅與物體的剛度分布與質(zhì)量分布有關(guān),用公式表示為

式中:ω為物體的固有頻率,rad/s;kp為剛度分布,N/m;mp為質(zhì)量分布,kg。

1.2 傳感器建模分析

四柱式傳感器的結(jié)構(gòu)外形如圖1所示,四根立柱與上下端面為一體化結(jié)構(gòu),下端面作為固定端受到約束,上端面作為自由端受力。從形式上,每根立柱都可以簡化為一個一端簡支、一端自由的梁,可將其視為一個獨(dú)立的測量單位[1]。

圖1 四柱式傳感器外形示意圖Fig.1 Outline diagram of four-column sensor

研究傳感器的測量原理可知,外部載荷傳遞到彈性體上的最終結(jié)構(gòu)為貼片的四根立柱,四柱式彈性體的動態(tài)性能主要與四根立柱的動態(tài)性能有關(guān)。

分析圖2所示的傳感器的模態(tài)仿真結(jié)果可知,彈性體下端面不參與頻率響應(yīng)過程,上端面模態(tài)頻率響應(yīng)復(fù)雜且不穩(wěn)定,均無法作為彈性體固有頻率模型建立的主要對象;而四根立柱模態(tài)分析結(jié)果顯示其固有頻率響應(yīng)集中且穩(wěn)定,對頻率響應(yīng)分析起主導(dǎo)地位,可作為四柱式傳感器固有頻率模型建立的主要對象。

圖2 四柱式傳感器模態(tài)頻率分析圖Fig.2 Modal frequency analysis diagram of four-column sensor

綜合上述分析可知,傳感器固有頻率模型建立的主要對象為其四根立柱,最重要的建模步驟為將等效梁模型與傳感器的質(zhì)量分布與剛度分布分析相結(jié)合,得到四柱式傳感器固有頻率模型。

分析四柱式傳感器的質(zhì)量分布與剛度分布,建立起傳感器整體固有頻率與單立柱等效梁模型的固有頻率的關(guān)系。四柱式傳感器的立柱與上下端面為一體化連接,四根立柱相當(dāng)于彼此“并聯(lián)”,增加了其整體剛度。該結(jié)構(gòu)并聯(lián)形式為胡克定律中的彈簧串并聯(lián)問題的外延范疇[18-20],整體并聯(lián)系統(tǒng)的剛度為各子系統(tǒng)的剛度之和[18-20],故可知:彈性體的剛度分布約為每根立柱剛度分布的4倍。由圖2所示的仿真圖像可知,該結(jié)論正確。

可將四柱式傳感器的每根立柱視為一個“獨(dú)立的傳感器”[1],該形式同樣屬于胡克定律中的并聯(lián)系統(tǒng)運(yùn)動問題外延范疇[18-20],結(jié)合傳感器立柱貼片測量的方式,忽略維間微小耦合,假設(shè)工作時每根立柱自由振動不受其他立柱的狀態(tài)影響,則傳感器整體的質(zhì)量為每根立柱自身的質(zhì)量分布。圖2所示的仿真圖像表明,四柱式傳感器的結(jié)構(gòu)形式符合上述理論。

綜合上述剛度分布與質(zhì)量分布的分析,由固有頻率定義式可知,彈性體整體的固有頻率ωn與每根立柱的固有頻率ω0的關(guān)系為

式中:k0為立柱剛度分布,N/m;m0為立柱質(zhì)量分布,kg,mp=m0。

由式(2)可得傳感器整體的固有頻率約為每根立柱的2倍。

如圖3所示,將沿徑向方向的立柱橫截面邊長參數(shù)定義為長度參數(shù)l,沿周向方向的邊長參數(shù)定義為寬度參數(shù)w,垂直于上下端面方向的柱體高度參數(shù)定義為高度參數(shù)h。

圖3 四柱式傳感器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure diagram of four-column sensor

建立等效梁模型的固有頻率模型時,參照了胡海昌[21]的變分法研究過程,并應(yīng)用在四柱式傳感器固有頻率模型的研究中。

線性彈性體在沒有外力作用的情況下作固有振動,設(shè)應(yīng)力分量的振幅為σx,σy與σz,位移分量的振幅為u,v和w,圓周頻率為ω,運(yùn)動方程為

進(jìn)行變分法求解可得線性彈性體的各階固有頻率計算式為

式(4)的最小極值與一階固有頻率唯一對應(yīng),其極值從小到大依次排列即為物體的各階固有頻率。

在得到了一般線性彈性體的固有頻率公式后,可再對其引入一般線性均勻直梁的約束條件,進(jìn)而獲得一般線性均勻直梁的固有頻率公式。再通過對其加入相應(yīng)的等效梁模型的約束條件,最終獲得等效梁模型的固有頻率公式為

由前述結(jié)論,彈性體整體的固有頻率約為每根立柱的2倍,將角頻率公式轉(zhuǎn)化為圓頻率公式,并將截面慣性矩式展開,得到彈性體的固有頻率模型為

式中:f為四柱式傳感器固有頻率,Hz;l為四立柱長度參數(shù),m;w為寬度參數(shù),m;h為高度參數(shù),m;E為材料彈性模量,Pa;ρ為密度,kg/m3。

由式(6)可知,提高四柱式傳感器固有頻率的方法有兩類:改進(jìn)四柱式傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)和改進(jìn)制成傳感器材料參數(shù),其中第一類方法為本研究的重要內(nèi)容,第二類方法屬于其他學(xué)科范疇,不作為本文研究內(nèi)容。

2 仿真研究

為驗證理論研究結(jié)論的正確性即(增大四立柱長度參數(shù)l,增大四立柱寬度參數(shù)w,減小四立柱高度參數(shù)h可使四柱式傳感器固有頻率提升,反之亦然),通過Solidworks有限元仿真軟件對四柱式傳感器固有頻率與其結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行分析,整個仿真工作對下端面進(jìn)行固定約束,各結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時,不會出現(xiàn)柱體相交接觸等問題。

2.1 仿真研究對象

以某型四柱式傳感器的四柱式彈性體為仿真研究對象,其初始結(jié)構(gòu)尺寸(四立柱的長×寬×高)為15×15×20 mm,上端面尺寸為直徑105 mm,厚度H=20 mm。四立柱間距d=65 mm。

四柱式彈性體的材料為合金材料40GrNiMoA,該材料具有低滯彈性與低蠕變特性。其彈性模量E為2.09×1011Pa,密度ρ為7830 kg/m3。

2.2 初始結(jié)構(gòu)仿真

對初始結(jié)構(gòu)的四柱式傳感器固有頻率進(jìn)行有限元仿真計算,以該仿真結(jié)果作為后續(xù)仿真研究的對比對象與評價傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)改進(jìn)后固有頻率提升效果的基準(zhǔn)。四柱式彈性體固有頻率的仿真結(jié)果與其實驗經(jīng)驗結(jié)果相近,如表1所示,并且理論結(jié)果與仿真結(jié)果間的相對誤差較小,理論模型的研究結(jié)論可作為仿真研究的指導(dǎo)。

表1 四柱式彈性體各階響應(yīng)頻率Tab.1 Response frequency of four-column elastomer at each order

2.3 長度參數(shù)變化仿真

四柱式彈性體的立柱外形較為簡單,忽略導(dǎo)角類結(jié)構(gòu),可將其簡化為一根長方形柱體。研究四立柱結(jié)構(gòu)參數(shù)改變時其固有頻率變化,應(yīng)考慮四立柱對稱,對其進(jìn)行相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)變化。

對四立柱長度進(jìn)行變化的方法主要包括內(nèi)擴(kuò)和外擴(kuò)兩類,如圖4所示,保持四立柱內(nèi)側(cè)面位置不變,沿上下端面半徑方向向外增大l,稱為外擴(kuò);保持四立柱外側(cè)面位置不變,沿上下端面半徑方向向內(nèi)增大l,稱為內(nèi)擴(kuò)。

圖4 立柱長度參數(shù)變化示意圖Fig.4 Schematic diagram of column length parameter change

為研究外擴(kuò)及內(nèi)擴(kuò)條件下傳感器固有頻率的變化,分別外擴(kuò)5 mm與10 mm,內(nèi)擴(kuò)5,10,15 mm,并在Solidworks仿真軟件中畫出相應(yīng)結(jié)構(gòu)的四柱式傳感器模型,并對其進(jìn)行有限元仿真,分析其各階固有頻率。外擴(kuò)仿真結(jié)果見表2。

表2 外擴(kuò)后的各階響應(yīng)頻率Tab.2 Response frequency of expanded at each order

由仿真結(jié)果可知,外擴(kuò)后的四柱式傳感器與原結(jié)構(gòu)的傳感器相比,固有頻率得到了提高。且外擴(kuò)10 mm條件下,四柱式傳感器的各階固有頻率提高更多。圖5所示的固有頻率隨外擴(kuò)參數(shù)變化示意圖也顯示,四柱式傳感器的固有頻率隨外擴(kuò)參數(shù)的增加而增加。

圖5 固有頻率隨外擴(kuò)參數(shù)變化示意圖Fig.5 Schematic diagram of natural frequency variation with external expansion parameters

表3為內(nèi)擴(kuò)5,10,15 mm后三款四柱式傳感器的各階固有頻率。

表3 內(nèi)擴(kuò)后的各階響應(yīng)頻率Tab.3 Response frequency of internal at each order

仿真結(jié)果表明,分別內(nèi)擴(kuò)5,10,15 mm后的四柱式傳感器,與原結(jié)構(gòu)的四柱式傳感器相比,其各階固有頻率均得到了提高,并且,圖6所示的固有頻率隨內(nèi)擴(kuò)參數(shù)變化示意圖也表明,四柱式傳感器的內(nèi)擴(kuò)尺寸越大,其固有頻率越高。

圖6 固有頻率隨內(nèi)擴(kuò)參數(shù)變化示意圖Fig.6 Schematic diagram of natural frequency variation with internal expansion parameters

綜上所述,無論內(nèi)擴(kuò)還是外擴(kuò),只要傳感器立柱長度參數(shù)l增大,傳感器的固有頻率就會提高,并且傳感器的固有頻率隨立柱長度參數(shù)l增大而增加,這與理論研究的結(jié)論相同。

2.4 寬度參數(shù)變化仿真

對四立柱進(jìn)行寬度參數(shù)w變化的仿真研究,以驗證其對固有頻率的影響。將w分別增大15 mm和25 mm,仿真分析各階固有頻率,結(jié)果如表4所示。

表4 w增大后的各階響應(yīng)頻率Tab.4 Response frequency of increase w at each order

仿真結(jié)果與圖7所示的固有頻率隨寬度參數(shù)變化示意圖表明,傳感器固有頻率隨著立柱寬度參數(shù)w增大而提高。該仿真研究的結(jié)論與理論研究結(jié)論一致。

圖7 固有頻率隨寬度參數(shù)變化示意圖Fig.7 Schematic diagram of variation of natural frequency with width parameters

2.5 高度參數(shù)變化仿真

通過改變四立柱的高度進(jìn)行相應(yīng)結(jié)構(gòu)參數(shù)下的固有頻率仿真,驗證立柱高度參數(shù)變化對各階固有頻率的影響。對立柱高度參數(shù)h分別抬高與降低10 mm后的四柱式傳感器進(jìn)行有限元仿真分析,各階仿真固有頻率結(jié)果如表5所示。

表5 h變化后的各階響應(yīng)頻率Tab.5 Response frequency of h column at each order

由表5所示的仿真結(jié)果與圖8所示的固有頻率隨立柱高度參數(shù)變化的示意圖可知,傳感器固有頻率隨著立柱高度參數(shù)h減小而提高。該結(jié)論與理論研究結(jié)論一致。

圖8 固有頻率隨高度參數(shù)變化示意圖Fig.8 Schematic diagram of variation of natural frequency with height parameters

3 實驗驗證

基于理論與仿真研究結(jié)論,對現(xiàn)有四柱式彈性體進(jìn)行了改進(jìn)研制,設(shè)計上增大了其四立柱橫截面邊長(即長度參數(shù)l與寬度參數(shù)w),減小了四立柱高度參數(shù)h,改進(jìn)前后各結(jié)構(gòu)參數(shù)如表6所示。

表6 改進(jìn)前后結(jié)構(gòu)參數(shù)對比Tab.6 Comparison of structural parameters before and after improvement

對改進(jìn)前后的四柱式傳感器進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)錘擊法實驗,標(biāo)準(zhǔn)錘擊法的原理為通過力錘敲擊獲取脈沖激勵信號,來對傳感器進(jìn)行激勵與測量。實驗測試了對傳感器動態(tài)性能影響最大的Z軸振蕩固有頻率(第六階固有頻率),改進(jìn)后的四柱式傳感器實驗響應(yīng)波形曲線如圖9所示。測試得到的四柱式傳感器改進(jìn)前后的固有頻率與理論固有頻率的相對誤差分析如表7所示。

表7 初始結(jié)構(gòu)與改進(jìn)結(jié)構(gòu)固有頻率對比與分析Tab.7 Comparison and analysis of natural frequencies between initial structure and improved structure

圖9 實驗響應(yīng)波形圖Fig.9 Experimental response waveform

該實驗結(jié)果驗證了理論與仿真研究結(jié)論的正確性,在保證不犧牲傳感器大量靜態(tài)性能的前提下,將四柱式傳感器的固有頻率由9749.8 Hz提升至15537.5 Hz,即提升了近50%的固有頻率,進(jìn)而使動態(tài)測試的工作頻率范圍與動態(tài)力值變化的跟隨性能得到了提升。

4 結(jié)論

本文通過改進(jìn)四柱式力傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)來提升傳感器固有頻率,結(jié)合理論分析、仿真研究與實驗研究,提出了通過改變四柱式力傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)的方法來提升固有頻率,為今后改進(jìn)、設(shè)計高動態(tài)性能四柱式傳感器奠定了基礎(chǔ)。由于目前應(yīng)用的四柱式力傳感器材料的性能符合靜態(tài)力學(xué)指標(biāo),故不能通過更換材料的方法來提升傳感器動態(tài)性能,且材料改進(jìn)研究也不屬于本學(xué)科研究內(nèi)容,故改進(jìn)材料參數(shù)的研究結(jié)論可作為輔助手段與進(jìn)一步優(yōu)化應(yīng)用的方向。