干紅平 張濤 花燚 舒君 何立軍

1) (西北工業(yè)大學(xué)軟件學(xué)院,西安 710072)

2) (清華大學(xué)電子工程系,北京 100084)

3) (西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

4) (四川大學(xué)電子信息學(xué)院,成都 610065)

感知矩陣的構(gòu)造是壓縮感知從理論走向工程應(yīng)用的關(guān)鍵技術(shù)之一.由于托普利茲感知矩陣能夠支持快速算法且與離散卷積運(yùn)算相對應(yīng),因此具有重要的研究意義.然而常用的隨機(jī)托普利茲感知矩陣因其元素的不確定性,使得它在實(shí)際應(yīng)用中受到了諸多約束,例如內(nèi)存消耗較高和不易于硬件加載.基于此,本文結(jié)合雙極性混沌序列的內(nèi)在確定性和托普利茲矩陣的優(yōu)點(diǎn),提出了基于雙極性混沌序列的托普利茲塊狀感知矩陣.具體地,首先介紹了雙極性混沌序列的產(chǎn)生并分析了它的統(tǒng)計(jì)特性.其次,構(gòu)造了雙極性托普利茲塊狀混沌感知矩陣,從相關(guān)性方面證明了新建的感知矩陣具有近乎最優(yōu)的理論保證,并同時證實(shí)了它滿足約束等距條件.最后,研究了該感知矩陣針對一維信號和圖像的壓縮測量效果,并與典型感知矩陣進(jìn)行了對比.結(jié)果表明,提出的感知矩陣對這些測試信號具有更好的測量效果,而且它在內(nèi)存開銷、計(jì)算復(fù)雜度和硬件實(shí)現(xiàn)等方面均具有明顯的優(yōu)勢.特別地,該感知矩陣非常適用于多輸入-單輸出線性時不變系統(tǒng)的壓縮感知測量問題.

1 引 言

近年來,Candès 等[1]提出的壓縮感知(compressed sensing,CS)理論為數(shù)據(jù)獲取與重建提供了一種全新的策略.該理論創(chuàng)造性地將待采樣信號的頻域帶寬特性擴(kuò)展到更為廣泛的變換域稀疏特性,以此利用滿足一定特性的感知矩陣對信號進(jìn)行不相關(guān)測量,從而突破了香農(nóng)-奈奎斯特采樣理論的極限.換句話說,壓縮感知打破了從信號到信息域的壁壘,實(shí)現(xiàn)了對信息直接感知和處理.因此,它一經(jīng)提出便成為當(dāng)今世界最為熱門的課題之一,并被廣泛地應(yīng)用到眾多研究領(lǐng)域,如壓縮成像[2]、計(jì)算機(jī)科學(xué)[3]和數(shù)據(jù)安全[4]等.

為準(zhǔn)確描述CS 的數(shù)學(xué)模型,令x={xi}ni ∈Rn(i=1,2,··· ,n)表示待測量的目標(biāo)信號,并假定該信號滿足以下兩個條件之一: 1)x是稀疏度為s(s

2)x可以等價表示為Ψη且η是稀疏度為s的稀疏信號,也就是說,x=Ψη,其中Ψ代表某個變換域或稀疏域.那么可以通過特殊的信息感知算子A:Rn →Rm實(shí)現(xiàn)對該信號降維信息感知與重構(gòu).數(shù)學(xué)上,CS 的線性測量過程可表示為

式中y ∈Rm表示測量樣本數(shù)據(jù),A∈Rm×n又被稱為感知矩陣.記?=m/n(m ?n) 為采樣率.由于存在數(shù)據(jù)降維過程 Rn →Rm,因此從y中恢復(fù)信號x似乎是不可能的.但是,只要A能夠保證在低維空間 Rm中有且只有一個y與信號x建立起y=Ax的關(guān)系,那么便可借助一定的恢復(fù)算法將x精確重構(gòu)出來.

直觀上,重建信號x?0最簡單的方法就是優(yōu)化范數(shù)問題:

但遺憾的是,?0(·) 是一個極其特殊的函數(shù),導(dǎo)致直接求解(1)式是一個NP-hard 問題.為解決該問題,CS 研究者提出了不同的近似策略來平滑?0函數(shù),如高斯-牛頓平滑?0算法[5].除此之外,貪婪算法也常被用來稀疏逼近?0問題的最優(yōu)解從而得到重構(gòu)信號x? ,如正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)[6].值得注意的是,當(dāng)A能夠做到降維信息保真時,那么可以將?0問題轉(zhuǎn)化為?1范數(shù)稀疏求解問題,

顯然,上述優(yōu)化問題的優(yōu)化目標(biāo)?1范數(shù)是一個凸函數(shù).因此,可通過已有的優(yōu)化算法對其進(jìn)行高效求解,例如基追蹤(basis pursuit,BP)[7].

從上述分析可知,亟需解決以下重要問題: 如何設(shè)計(jì)A才能做到降維信息保真,即A滿足何種性質(zhì)時才能保證信號x從高維空間 Rn降維到Rm時使y=Ax建立起唯一的對應(yīng)關(guān)系.Candès[8]證明了當(dāng)感知矩陣滿足約束等距性(restricted isometry property,RIP)時,A就能夠保證所有稀疏度為s的信號x∈Σs降維后的唯一性[8],其中,Σs表示稀疏度為s的信號的集合.

定義1[8]若矩陣A能夠使

成立,則稱A(s,δs)滿足 -RIP.

滿足(3)式的最小常數(shù)δs被稱為A的s階約束等距常數(shù)(restricted isometry constant,RIC).當(dāng)RIC 越小時,那么矩陣的約束等距性越好.實(shí)際上,(s,δs) -RIP 能夠確保A的所有大小為m×s的子矩陣均類似于正交矩陣,從而使得x的“長度”得以保持,以此實(shí)現(xiàn)信息的保真,即∥Ax∥22=∥x∥22.RIP 為信號的降維信息保真提供了優(yōu)雅的幾何解釋.然而,驗(yàn)證A是否滿足RIP 是一個NP-hard 問題,即必須檢驗(yàn)A中的所有子矩陣都滿足(3)式.因此,有必要去尋求更易于計(jì)算且能夠保證唯一性的其他標(biāo)準(zhǔn).其中,矩陣的相關(guān)性(coherence)就是這樣的一個標(biāo)準(zhǔn).

定義2[9]給定一個矩陣A,它的自相關(guān)系數(shù)μ(A)等于A中兩兩不相等列的最大內(nèi)積:

其中ai,ak分別表示矩陣A 的第i,k列.

引理1假定矩陣A具有單位?2范數(shù)的列向量,其自相關(guān)系數(shù)μ=μ(A) ,那么A滿足 (s,δs) -RIP 且其約束等距常數(shù)為δs≤(s ?1)μ.

在CS 理論誕生之初,由于隨機(jī)矩陣(例: 高斯或伯努利隨機(jī)矩陣)易滿足RIP 且具有普適性,因此常被用作感知矩陣.但隨機(jī)感知矩陣不僅需要巨量的內(nèi)存空間、高復(fù)雜度的運(yùn)算,而且也難以加載到硬件電路中,這潛在地束縛了它們的應(yīng)用.為克服這些缺點(diǎn),CS 研究人員朝著下述三大方向做了嘗試.第一,通過優(yōu)化策略降低感知矩陣對硬件電路實(shí)現(xiàn)的要求,其中最常用的方式是將矩陣元素二元化,例如,基于二分圖(周長大于4)的雙極性感知矩陣[10].但應(yīng)當(dāng)指出的是,當(dāng)信號的維數(shù)n增長時,這類矩陣的相關(guān)性可能會隨之增加,進(jìn)而影響到它們的感知效率.第二,設(shè)計(jì)存儲要求低且對硬件友好的確定性感知矩陣,例如,Ansari 正則單位感知矩陣[11].應(yīng)當(dāng)注意的是,盡管確定性感知矩陣能夠在特定的場合良好工作,但它們通常不具有對感知場景的普適性,這大大制約了它們的實(shí)際應(yīng)用.第三,構(gòu)建與實(shí)際系統(tǒng)的測量機(jī)制相對應(yīng)的感知矩陣.這當(dāng)中最吸引人的是托普利茲(Toeplitz)和循環(huán)(Circulant)感知矩陣,例如托普利茲隨機(jī)感知矩陣[12].該類矩陣被廣泛應(yīng)用于解決線性時不變(linear time invariant,LTI)系統(tǒng)的辨識問題,如稀疏信道估計(jì)問題.但令人遺憾的是,托普利茲隨機(jī)感知矩陣依舊沒有擺脫隨機(jī)元素,這會限制它們的推廣和拓展.

顯然,為推動CS 從理論走向更多實(shí)際應(yīng)用場景,有必要融合以上3 個方向的優(yōu)勢,并規(guī)避它們的弊端.一方面,從數(shù)據(jù)獲取的角度來說,人們希望構(gòu)建出低內(nèi)存消耗、低計(jì)算復(fù)雜度,具有普適性且測量效率優(yōu)良的感知矩陣.另一方面,從硬件實(shí)現(xiàn)的角度來看,構(gòu)造的感知矩陣應(yīng)當(dāng)對應(yīng)于可行的確定性硬件架構(gòu),如LTI 系統(tǒng).基于這兩方面的考慮,可探索一些新的機(jī)制來生成確定性感知矩陣,以便減輕在數(shù)據(jù)感知和硬件實(shí)現(xiàn)等方面的負(fù)擔(dān).實(shí)際上,用混沌系統(tǒng)生成的混沌序列來構(gòu)建感知矩陣可以很好地解決上述兩個維度的問題.作為最早的啟發(fā)性工作,Yu 等[13]提出利用Logistic 混沌序列來構(gòu)造感知矩陣,并通過一個簡單的組合問題證明了該混沌算子滿足RIP,這也從根本上保證了它的采樣效率.隨后,Gan 等[14]設(shè)計(jì)了Chebysehv 混沌感知矩陣,并通過Johnson-Lindenstrauss 引理證明了該混沌感知算子具有與隨機(jī)矩陣類似的感知性能.特別地,郭靜波等結(jié)合混沌序列和循環(huán)矩陣的優(yōu)點(diǎn),開發(fā)了Cat 混沌循環(huán)感知矩陣[15],并將其用于二進(jìn)制信號的信息感知與重構(gòu)[16].構(gòu)造這些感知矩陣的一個關(guān)鍵操作是利用抽樣操作將實(shí)值混沌序列變成獨(dú)立同分布序列,以保證這些實(shí)值混沌序列的獨(dú)立性,進(jìn)而使其構(gòu)造的混沌感知矩陣具有良好的感知效率.然而,抽樣操作需要較為復(fù)雜的運(yùn)算,這在一定程度上限制了它們的實(shí)際應(yīng)用.

本文將結(jié)合雙極性混沌序列(元素僅有–1 和1)的內(nèi)在確定性和托普利茲矩陣的優(yōu)點(diǎn),提出基于雙極性混沌序列的托普利茲塊狀感知矩陣.它不僅直接保留了托普利茲塊狀感知矩陣的優(yōu)勢,而且可以繼承雙極性混沌序列的天然優(yōu)點(diǎn).特別地,本文提出的構(gòu)造方法只需要生成雙極性混沌序列,毋須對實(shí)值混沌序列進(jìn)行抽樣操作.另外,使用托普利茲塊狀感知矩陣測量數(shù)據(jù)實(shí)際上是對LTI 系統(tǒng)的多輸入信號做離散卷積,能夠解決眾多與卷積運(yùn)算相關(guān)的理論與應(yīng)用問題,而且可以支持快速算法.因此,新建的托普利茲塊狀感知矩陣特別適用于多輸入-單輸出LTI 系統(tǒng)的壓縮感知測量問題,例如,多輸入-單輸出有限脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)與時滯估計(jì)問題[17].換句話說,它具有易于數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)的潛在優(yōu)勢.本文的主要貢獻(xiàn)有:

1) 提出了一種基于對稱閾值的雙極性混沌序列的生成方法,并分析了該雙極性混沌序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì);

2) 利用雙極性混沌序列構(gòu)建了雙極性托普利茲塊狀感知矩陣,并通過相關(guān)性和約束等距條件證明了構(gòu)造的感知矩陣具有優(yōu)良的感知效率;

3) 提出的構(gòu)建框架可推廣至不同混沌系統(tǒng)(如Logistic 或Cat 混沌系統(tǒng)),而且也可以派生出Hankel 塊、循環(huán)塊以及堆積塊矩陣,進(jìn)而推動將壓縮感知應(yīng)用到更多LTI 系統(tǒng)的壓縮測量問題中.

此外,通過對一維稀疏信號和圖像進(jìn)行數(shù)值仿真測試,驗(yàn)證了新建的托普利茲塊狀混沌感知矩陣與經(jīng)典的感知矩陣相比在采樣效率和恢復(fù)效果等方面具有更好的性能.

本文的內(nèi)容安排如下: 第2 節(jié)給出雙極性混沌序列的生成方法,并分析其統(tǒng)計(jì)特性; 隨后,在第3 節(jié)中介紹雙極性托普利茲塊狀混沌感知矩陣的構(gòu)造和性能分析; 第4 節(jié)通過實(shí)驗(yàn)仿真與其他傳統(tǒng)感知矩陣進(jìn)行比較; 在第5 節(jié)得出相關(guān)結(jié)論.

2 雙極性混沌序列及其統(tǒng)計(jì)特性

2.1 雙極性混沌序列的產(chǎn)生

回顧一個簡單α階一維映射函數(shù),其定義為

式 中zj=τj(z0)∈I=[?1,1] ,z0表示初始值.當(dāng)1<α ∈N+且?1 ≤z0≤1 時,(5)式就是著名的切比雪夫(Chebyshev)混沌系統(tǒng),其連續(xù)不變測度為.通過對(5)式反復(fù)迭代,就可以產(chǎn)生一組切比雪夫?qū)嵵祷煦缧蛄屑?隨后,為該混沌實(shí)值序列引入切比雪夫?qū)ΨQ混沌閾值函數(shù),即

其中T(z) 的互補(bǔ)函數(shù)為

結(jié)合(5)式和(6)式,便可得到一組雙極性切比雪夫混沌序列{T(τj(z0))}∞j=0,也就是{T(zj)}∞j=0.在實(shí)際應(yīng)用中,通過一個比較器和一些簡單的移位寄存器就可以很容易地硬件生成雙極性混沌序列[18].值得注意的是,雙極性混沌序列的統(tǒng)計(jì)均值可通過下式求得:

代入雙極性切比雪夫混沌系統(tǒng)的連續(xù)不變測度可得〈T〉τ=1/2 .

2.2 雙極性混沌序列的統(tǒng)計(jì)特性

引 理2[19]Perron-Frobenius 算 子Pτ作 用 于關(guān)于τ(z) 的有界變差函數(shù)H(z) 時滿足

其中g(shù)i(z)=τi?1(z) .

值得注意的是,連續(xù)不變測度ρ?(z)dz滿足等式Pτρ?(z)=ρ?(z) ,該式又被稱為Perron-Frobenius 等式.結(jié)合(6)式的混沌閾值函數(shù)T(z) 和引理2,可以很容易得到

其 中,li≥0(1 ≤i≤k ?1) .因 此,對 于 一 組,它的高階相關(guān)系數(shù)可以定義為

引理3對于一組切比雪夫混沌閾值函數(shù),當(dāng)lj?1≥1 時,可以得到

證明1根據(jù)引理2,將Pτ算子作用于每一個切比雪夫混沌閾值函數(shù)Tj(·) 的高階相關(guān)系數(shù),并結(jié)合(7)式得到重復(fù)以上步驟,得證引理3.

設(shè)Wk=W0W1···Wk?1代表一個由k位雙極性變量組成的任意數(shù)字串,其中Wj ∈{1,?1}(j=0,1,··· ,k ?1) .顯然,Wk有2k種可能性.令表示第h個數(shù)字串,其中.對于切比雪夫混沌閾值函數(shù),可以引進(jìn)一個二元變量

定理1對于一組切比雪夫混沌閾值函數(shù),其生成的雙極性混沌序列滿足

證明2根據(jù)引理3 可知

式中β代表中元素1 的總個數(shù).將〈T〉τ=1/2 代入(9)式中,可以得到

3 雙極性托普利茲塊狀混沌感知矩陣

3.1 Bi-TpCM 的構(gòu)造

A(i)(i=2,··· ,b) 的定義與(10)式類似,即A(i)的元素為雙極性混沌序列確定.這里將A(i)的元素簡記為.顯然,只需要長度為b(m+d ?1) 的雙極性切比雪夫混沌序列便可完全確定Bi-TpCM.(10)式中標(biāo)量用于歸一化A的列,以保證降維過程 Rn →Rm中原信號x與測量樣本數(shù)據(jù)y的能量保持一致.

值得注意的是,通過形如(10)式的構(gòu)造方式不僅可以構(gòu)造出托普利茲塊狀矩陣,還能派生出Hankel 塊、循環(huán)塊以及堆積塊矩陣,進(jìn)而推動將壓縮感知應(yīng)用到更多LTI 系統(tǒng)的壓縮測量問題中.由于分析這些矩陣性能的方法與托普利茲塊狀矩陣類似且后者對應(yīng)于多輸入-單輸出LTI 系統(tǒng)的壓縮感知測量問題,故本文僅分析托普利茲塊狀感知矩陣.

3.2 Bi-TpCM 的性能分析

定理2當(dāng)b≥2 時,大小為m×n(n=bd) 的雙極性托普利茲塊狀混沌感知矩陣A的自相關(guān)系數(shù)μ(A) 將以超過 ( 1?4/n) 的概率滿足

證明3由定義2 可知,Bi-TpCM 的自相關(guān)系數(shù)是由其托普利茲子塊矩陣決定的,也就是說

式中μ(A(i)) 表示A(i)的自相關(guān)系數(shù),∥·∥max代表矩陣的最大范數(shù).根據(jù)文獻(xiàn)[12]的定理4,可以推出雙極性托普利茲子塊矩陣A(i)滿足

式中ξ ∈(0,1).因此可以推出

結(jié) 合Qi,k有d2個 不 同 的 元 素,且存在個組合方式,故有

根據(jù)(13)式和(15)式且b≥2 ,可知

當(dāng)b=1 時,Bi-TpCM 將完全退化為一個雙極性托普利茲感知矩陣,文獻(xiàn)[12]已分析了這類感知矩陣的性能,這里不再贅述.從定理2 可知,Bi-TpCM 的自相關(guān)系數(shù)μ(A) 的上限為這與感知矩陣自相關(guān)系數(shù)的Welch 界只差一個標(biāo)量 l ogn.定理2 也證實(shí)了Bi-TpCM 在自相關(guān)性方面接近于最優(yōu)理論保證.結(jié)合引理1 和定理2,可以推出Bi-TpCM 滿足約束等距條件,其約束等距常數(shù)δs不超過.除此之外,由于雙極性托普利茲塊狀混沌感知矩陣本質(zhì)上是一個Rademacher 矩陣,因此它必然滿足度量集中(concentration of measure)不等式.結(jié)合Richard 等[21]關(guān)于RIP 的工作,可以有以下推論.

推論1對于一個大小為m×n的雙極性托普利茲塊狀混沌感知矩陣A,當(dāng)m≥c0slog(n/s) 時,它將以超過 1?2 exp?c1m的概率滿足RIP,其中c0和c1為兩個常數(shù).

推論1 證實(shí)了提出的Bi-TpCM 在約束等距條件下均具有良好的理論保證.為節(jié)約篇幅,這里省略了推論1 的詳細(xì)證明過程.讀者可以根據(jù)文獻(xiàn)[21]的工作,推出相應(yīng)的證明步驟.在此基礎(chǔ)上,可以將以上結(jié)論推廣至所有混沌系統(tǒng).

推論2任意能夠產(chǎn)生混沌Rademacher 序列的混沌系統(tǒng)均能夠構(gòu)造出Bi-TpCM,并且構(gòu)建的Bi-TpCM 的自相關(guān)系數(shù)為,且它能夠以接近于 1 的概率滿足約束等距條件.

根據(jù)以上分析可知,本文提出的構(gòu)造框架不僅適用于切比雪夫混沌系統(tǒng),還可以推廣至不同的混沌系統(tǒng),如Logistic 或Cat 混沌系統(tǒng),并且它們對應(yīng)的Bi-TpCM 的采樣效率能夠接近于最優(yōu).實(shí)際上,將Ger?hgorin 圓盤定理應(yīng)用于Bi-TpCM 的格拉姆(Gram)矩陣,可以得出以下推論.

推論3對于一個大小為m×n的Bi-TpCM,令G=ATA,其 中AT表 示A的 轉(zhuǎn) 置,即G為A的格拉姆矩陣.若存在兩個正常數(shù)δd和δo,δd+δo=δs ∈(0,1) ,使 得G的 每 一 個 對 角 元 素Gi,i滿足|Gi,i ?1|<δd,且非負(fù)對角元素滿足Gi,k(i ′=k)滿足|Gi,k|<δo/s,那么該矩陣滿足 (s,δs) -RIP.

推論3 表明了可以通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證構(gòu)造的Bi-TpCM 是否滿足約束等距條件.在仿真分析的小節(jié)中,會證實(shí)Bi-TpCM 的確具有RIP.

3.3 Bi-TpCM vs.傳統(tǒng)感知矩陣

為了更好地評估Bi-TpCM 性能,表1 將Bi-TpCM 和其他常用感知矩陣做了一個全面比較.傳統(tǒng)的常用感知矩陣包括Den-RgM,Den-Bol,Den-CbM,Top-Rad 和Cir-CaM.其中,Den-RgM和Den-Bol 分別代表高斯和伯努利感知矩陣;Den-CbM 是Gan 等[14]利用Chebyshev 實(shí)值混沌序列直接構(gòu)造出的混沌感知矩陣; Top-Rad 代表隨機(jī)雙極性序列構(gòu)建的雙極性托普利茲隨機(jī)感知矩陣[12]; Cir-CaM 是Guo 等[15]開發(fā)的Cat 混沌循環(huán)感知矩陣.

由表1 可知,Bi-TpCM 不僅具有隨機(jī)感知矩陣的信息感知能力和普適性,而且也繼承了托普利茲矩陣支持快速計(jì)算和對硬件友好的優(yōu)勢,同時還引入了雙極性混沌序列易于存儲、計(jì)算復(fù)雜度低等天然優(yōu)點(diǎn).特別地,相比于已存在的混沌感知矩陣,本文提出的構(gòu)造方法只需要利用生成的雙極性混沌序列直接構(gòu)造Bi-TpCM,毋須對實(shí)值混沌序列進(jìn)行抽樣操作.除此之外,構(gòu)造的托普利茲塊狀感知矩陣特別適用于多輸入-單輸出LTI 系統(tǒng)的壓縮感知測量問題.

表1 不同感知矩陣的性能比較Table 1.Performance comparisons of different sensing matrices.

4 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)將通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證Bi-TpCM 的性能.首先采用數(shù)值實(shí)驗(yàn)來觀察Bi-TpCM 的約束等距現(xiàn)象.隨后,通過對一維稀疏信號和圖像分別進(jìn)行壓縮采樣,來驗(yàn)證Bi-TpCM 的采樣性能.為了對比分析,傳統(tǒng)的感知矩陣也被加入了同樣的稀疏感知場合,涉及的矩陣包括Den-RgM,Den-Bol,Den-CbM,Top-Rad 和Cir-CaM.其中,Den-CbM是由α=6 ,初始值z0=0.17 和抽樣步長為10 的實(shí)值Chebyshev 混沌序列構(gòu)造而成.Cir-CaM 則是由初始值z0=0.09 和抽樣步長為200 的實(shí)值Cat 混沌序列派生而成.Bi-TpCM 是由本文介紹的雙極性Chebyshev 混沌序列構(gòu)造而成.本節(jié)的所有實(shí)驗(yàn)均在臺式電腦,英特爾至強(qiáng)銀4110 CPU@2×2.10 GHz (雙處理器),64 GB 內(nèi)存下的Matlab-R2018b 的環(huán)境下進(jìn)行.

4.1 約束等距現(xiàn)象

首先,根據(jù)3.1 節(jié)構(gòu)造出一個Bi-TpCM∈R100×256,構(gòu) 造 參 數(shù) 為α=6 ,z0=0.17 ,b=4 及d=64 .忽略標(biāo)量,圖1(a)給出了構(gòu)造的Bi-TpCM 的元素分布.可以看出,雙極性托普利茲塊狀混沌感知矩陣的元素–1 與+1 的數(shù)量基本相同,這也從側(cè)面驗(yàn)證了用于構(gòu)造該感知矩陣的雙極性混沌序列是Rademacher 序列.

圖1(b)和圖1(c)分別給出了Bi-TpCM 對應(yīng)的格拉姆矩陣.可以看出,Bi-TpCM 的Gram 矩陣的對角元素Gi,i均收斂于1,而非對角元素均在0附近浮動.根據(jù)推論3 可知,Bi-TpCM 的確具有約束等距性,正如標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)感知矩陣一樣.

4.2 一維稀疏信號

先生成一個稀疏度為s的一維信號x∈R256作為待采樣信號,其非零元素服從高斯分布N(0,1/2) .為恢復(fù)信號和評估重建質(zhì)量,欠定重構(gòu)算法將使用文獻(xiàn)[7]提出的基追蹤算法; 重構(gòu)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)則使用信噪比(signal-to-noise ratio,SNR),其定義為

圖1 忽 略 標(biāo) 量 的Bi-TpCM及其對應(yīng)的Gram 矩陣展示圖 (a) Bi-TpCM; (b) Gram 矩陣的三維渲染圖; (c) Gram 矩陣的等高圖Fig.1.Bi-TpCM without the factor 1 / and its Gram matrix: (a) Bi-TpCM; (b) three dimensional rendering of its Gram matrix; (c) contour map of its Gram matrix.

式中表示重構(gòu)信號.特別地,對于一個時域稀疏信號x,若重構(gòu)時 S NR(x)≥100 dB ,那么稱該信號被完美重構(gòu)(perfect recovery).

在這些參數(shù)設(shè)置下,圖2 給出了利用Bi-TpCM∈R100×256分別對稀疏度為20 和30 的一維稀疏信號x∈R256進(jìn)行壓縮測量的具體表現(xiàn).具體地,圖2 第一列對應(yīng)的恢復(fù)誤差(定義為)和重構(gòu)SNR 分別是3.58×10–13和124.45 dB,第二列的恢復(fù)誤差和重構(gòu)SNR 分別是1.26×10–12和118.99 dB.由圖2 可知,一維稀疏信號x能夠以極小的誤差(恢復(fù)誤差的數(shù)量級是10–12)被重構(gòu)出來,這也說明了本文新建的Bi-TpCM 具有優(yōu)良的測量效率.

圖2 Bi-TpCM 壓縮測量一維信號的重構(gòu) (a) s = 20,條形圖; (b) s = 20,細(xì)節(jié)圖; (c) s = 30,條形圖; (d) s = 30,細(xì)節(jié)圖Fig.2.Reconstructions of one-dimensional signal using Bi-TpCM: (a) s = 20,stem rendering; (b) s = 20,detailed drawing; (c) s =30,stem rendering; (d) s = 30,detailed drawing.

接下來,利用Den-RgM,Den-Bol,Den-CbM,Top-Rad,Cir-CaM 和Bi-TpCM (均∈R100×256)分別去采樣稀疏度s變化的一維稀疏信號x∈R256.隨后,使用BP 算法去重構(gòu)原信號以得到,并且針對每一個稀疏度s的x重復(fù)實(shí)驗(yàn)100 次.最后,通過求平均的方法便可獲得這些感知矩陣的平均恢復(fù)結(jié)果.圖3(a)—(c)分別比較了這些感知矩陣的恢復(fù)誤差、重構(gòu)SNR 和完美重構(gòu)概率.由圖3可知,采用的典型感知矩陣(包括Den-RgM,Den-Bol,Den-CbM,Top-Rad 和Cir-CaM)整體呈現(xiàn)出了近乎一致的稀疏感知能力.但在細(xì)節(jié)上,實(shí)值混沌感知矩陣(Den-CbM)要略優(yōu)于隨機(jī)感知矩陣(Den-RgM 和Den-Bol,值得強(qiáng)調(diào)的是,人們普遍認(rèn)為Den-RgM 具有良好的稀疏感知效率),而它們都優(yōu)于結(jié)構(gòu)性感知矩陣(Top-Rad 和Cir-CaM).

特別地,圖3 清晰地展示出了Bi-TpCM 的性能要明顯優(yōu)于這些傳統(tǒng)的常用感知矩陣,這也從側(cè)面說明了Bi-TpCM 比這些感知矩陣更具有接近于理論最優(yōu)的采樣效率.Bi-TpCM 強(qiáng)大的稀疏感知能力為它在CS 中的實(shí)際應(yīng)用提供了根本性保障.

4.3 圖像信號

本部分將比較不同感知矩陣對圖像信號進(jìn)行壓縮采樣時的性能,使用的感知矩陣包括Den-RgM,Den-Bol,Den-CbM,Top-Rad,Cir-CaM和Bi-TpCM.這里選取了兩張自然圖像作為測試信號x∈R256×256,即“Lena”和“Lin”.這兩張圖像分別展示在圖4(a)和圖4(e)中,它們在離散小波變換域中均是可壓縮的.本文將采用經(jīng)典的OMP算法作為圖像重建算法,并使用峰值信噪比(peaksignal-to-noise ratio,PSNR)作為重建圖像的質(zhì)量評價指標(biāo),其定義為

式中代表重構(gòu)后的圖像.應(yīng)當(dāng)指出的是,這里在圖像的壓縮測量過程中引入了高斯噪聲來模擬實(shí)際應(yīng)用場景中的加性噪聲和乘性噪聲.

圖3 分別使用不同的感知矩陣對稀疏度變化的x 進(jìn)行壓縮測量時的重建性能比較 (a) 重建誤差; (b) 信噪比 (dB); (c) 完美重建的概率Fig.3.Performance comparisons for recovering x with different sparsity using various sensing matrices,respectively: (a) Recovery error; (b) SNR (dB); (c) perfect recovery probability.

圖4 原始圖像和Bi-TpCM 在不同采樣率下的恢復(fù)圖像,其中第一行是(a) 原 始“Lena”,(b) ? =0.3 ,(c) ? =0.6 ,(d) ? =0.8 ; 第二行是(e) 原始“Lin”,(f) ? =0.3 ,(g) ? =0.6 ,? =0.8Fig.4.Original and reconstructed images using Bi-TpCM at different sampling rates.The first row: (a) Original “ Lena” ;(b) ? =0.3 ; (c) ? =0.6 ; (d) ? =0.8 .The second row: (e) Original “Lin”; (f) ? =0.3 ; (g) ? =0.6 ; (h) ? =0.8 .

首先,圖像“Lena”和“Lin”分別被Den-RgM,Den-Bol,Den-CbM,Top-Rad,Cir-CaM 和 Bi-TpCM 在不同的采樣率下壓縮測量和重建,即采樣率隨著測量樣本數(shù)據(jù)的維度增加而增加.在重構(gòu)算法OMP 的作用下,可以獲得這些感知矩陣對應(yīng)的重構(gòu)圖像和重建PSNR.值得注意的是,為增加隨機(jī)感知矩陣(即Den-RgM,Den-Bol 和Top-Rad)性能的穩(wěn)定性,這里讓它們重復(fù)執(zhí)行該實(shí)驗(yàn)100 次,后取其平均結(jié)果.由于Den-CbM,Cir-CaM 和Bi-TpCM 是確定性感知矩陣,因此它們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是穩(wěn)定的,不需要重復(fù)測試.為了更好地視覺展示,圖4 給出了使用提出的Bi-TpCM 在采樣率分別為 0 .3 ,0 .6 和 0 .8 時的恢復(fù)圖像,其中圖像“Lena”對應(yīng)的重建PSNR 分別是22.52,29.19和32.36 dB; “Lin”的恢復(fù)PSNR 分別是23.69,30.22 和33.59 dB.由圖4 可知,隨著采樣率(測量樣本數(shù)據(jù))的增加,重建的圖像也越來越清晰.并且當(dāng)≥0.5 時,便可得到一幅較為清晰的恢復(fù)圖像.為節(jié)約篇幅,這里省略了其他感知矩陣的恢復(fù)圖像.

圖5 比較了在不同采樣率下,Bi-TpCM 和傳統(tǒng)感知矩陣(包括Den-RgM,Den-Bol,Den-CbM,Top-Rad 和Cir-CaM)重建圖像“Lena”和“Lin”時的PSNR 值.從圖5 可知,在低采樣率(≤ 0 .35 )下,提出的Bi-TpCM 的性能要明顯優(yōu)于其他感知矩陣,而在較高的采樣率(?≥0.4 )時,這些感知矩陣的采樣性能相差不大.但整體上,新建的Bi-TpCM 要比傳統(tǒng)的感知矩陣做得更好.

圖5 在不同采樣率下利用不同的感知矩陣對圖像進(jìn)行壓縮測量時的重建PSNR 比較 (a) “Lena”; (b) “Lin”Fig.5.Reconstructed PSNR comparisons for image compressed sensing using different sensing matrices at various sampling rates,respectively: (a) “Lena”; (b) “Lin”.

以上對一維信號和圖像的測試表明,本文的Bi-TpCM 與經(jīng)典感知矩陣相比在采樣效率和恢復(fù)效果等方面具有明顯的優(yōu)勢.結(jié)合Bi-TpCM 的確定性托普利茲塊狀結(jié)構(gòu),同時具有雙極性混沌序列的天然優(yōu)點(diǎn),因此,Bi-TpCM 具有更好的應(yīng)用潛力.

5 結(jié) 論

本文結(jié)合雙極性混沌序列的內(nèi)在確定性和托普利茲矩陣的優(yōu)點(diǎn),構(gòu)造了基于雙極性混沌序列的托普利茲塊狀感知矩陣.與其他混沌感知矩陣生成方法不同的是,構(gòu)造Bi-TpCM 只需要雙極性混沌序列,無須對實(shí)值混沌序列進(jìn)行抽樣操作.Bi-TpCM 不僅直接繼承了托普利茲塊狀感知矩陣的優(yōu)勢,而且還引入了雙極性混沌序列的天然優(yōu)點(diǎn).理論分析表明,構(gòu)造的Bi-TpCM 具有約束等距性,且在自相關(guān)性方面接近于最優(yōu)的采樣保證,此外,它在內(nèi)存開銷、計(jì)算復(fù)雜度和硬件實(shí)現(xiàn)等方面具有明顯優(yōu)勢.通過對一維信號和圖像進(jìn)行壓縮采樣,驗(yàn)證了本文構(gòu)造的Bi-TpCM 相比于其他典型感知矩陣具有更好的性能.

一方面,本文提出的構(gòu)建Bi-TpCM 框架可推廣至不同的混沌系統(tǒng),如Logistic 和Cat 混沌系統(tǒng),這樣就可以建造出一大族托普利茲塊狀感知矩陣.另一方面,Bi-TpCM 的構(gòu)造方式還能派生出Hankel 塊、循環(huán)塊以及堆積塊感知矩陣等.讀者可以利用類似本文的方法來分析這些混沌感知矩陣的性能.除此之外,可以將Bi-TpCM 和其衍生出的感知矩陣應(yīng)用于各種各樣的多輸入-單輸出LTI系統(tǒng)的壓縮感知測量問題,這也是該方向未來工作的重點(diǎn).

附錄A

定理3 (Ger?hgorin 圓盤定理)[22]設(shè)矩陣G∈Rn×n,其元素記為Gi,k,1 ≤i,k≤n,那么矩陣G的特征值存在于n個 圓 盤di=di(ci,uk),1 ≤i≤n的 結(jié) 合 處,其 中ci=Gi,i表示di的中心,為di的半徑.