廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 朱清波

近4年的全國I 卷解析幾何試題中,2017年、2018年、2020年這3年的考查方向均為橢圓中定點定值問題,所不同的是前兩年題干所給條件(或結(jié)論)是與“斜率之積”或“斜率之和”直接相關(guān),而2020年試題的方向是利用所給條件進(jìn)行驗證式證明.這類問題的常規(guī)解答思路一般為:設(shè)直線方程為y=kx+b,再將直線所滿足的條件最終轉(zhuǎn)化為參數(shù)k,b之間的線性關(guān)系,最終判斷該定點坐標(biāo)(當(dāng)然也需要考慮直線斜率是否存在的情況).在求解過程中韋達(dá)定理的正確形式和斜率之和或積為定值的合理轉(zhuǎn)化是能否順利解出答案的兩個最重要的因素,但該思路運(yùn)算量往往較大,大量考生往往出現(xiàn)會算但算不對或算不全的現(xiàn)象.如何另辟蹊徑找到減少計算量的方法或把它們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化到熟知的常規(guī)模型,是一個值得探究的問題.以下從3 道高考真題來開展一種相對特殊的解法探究,以期對這類問題有更高層次的認(rèn)知.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖4,將橢圓E:x2+9y2=9 和直線CD沿n=(-3,0)平移變換,得到曲線E2:(x+3)2+9y2=9,即x2+9y2+6x=0,設(shè)CD經(jīng)過變換后的直線l′:mx+ny=1,代入上述方程齊次化得x2+9y2+6x(mx+ny)=0,整理

圖5

圖6

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圖8

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圖10