◇ 山東 劉士臣

導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容,是解決相關(guān)問題的重要工具,在歷年高考中,導(dǎo)數(shù)常與方程、函數(shù)及不等式等知識點交會進(jìn)行考查,往往一個高考題涉及多個方面的知識．下面我們通過分析高考題來分析導(dǎo)數(shù)的具體應(yīng)用．

例1已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋2．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)0＜a＜3時,記f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為M,最小值為m,求M－m的取值范圍．

解析

本題考查了學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力以及分類討論思想的應(yīng)用．

(1)易知f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．令f′(x)＝0,得x＝0或,若a＞0,則當(dāng)x∈時,f′(x)＞0；當(dāng)時,f′(x)＜0,故f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．若a＝0,f(x)在(－∞,＋∞)上單調(diào)遞增．若a＜0,則當(dāng)＋∞)時,f′(x)＞0；當(dāng)時,f′(x)＜0,故f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．

(2)當(dāng)0＜a＜3時,由(1)知,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故f(x)在[0,1]的最小值為,最大值為f(0)＝2或f(1)＝4－a．于是所以

當(dāng)0＜a＜2時,可知單調(diào)遞減,所以M－m的取值范圍是．當(dāng)2≤a＜3時,y＝單調(diào)遞增,所以M－m的取值范圍是

綜上,M－m的取值范圍是

點評

含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論,關(guān)鍵在于確定參數(shù)的分界值．解題時易犯以下兩個錯誤：①對參數(shù)a未討論或?qū)分類不全面,易忽略a＝0的情形而導(dǎo)致失分；②當(dāng)a＞0時,f(x)在(－∞,0),單調(diào)遞增,中間應(yīng)該用“,”或“和”連接,寫成就會導(dǎo)致失分．

例2已知函數(shù)f(x)＝2 sinx－xcosx－x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．

(1)證明：f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點；

(2)若x∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍．

解析

本題考查了學(xué)生的推理論證、運算求解能力以及靈活運用數(shù)形結(jié)合思想去分析和解決問題的能力．

(1)設(shè)g(x)＝f′(x),則

g(x)＝cosx＋xsinx－1,g′(x)＝xcosx．

(2)由題設(shè)知f(π)≥aπ,f(π)＝0,故可得a≤0．由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一個零點,設(shè)為x0,且當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)＞0；當(dāng)x∈(x0,π)時,f′(x)＜0,所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,π)上單調(diào)遞減．

又因為f(0)＝0,f(π)＝0,故當(dāng)x∈[0,π]時,f(x)≥0．當(dāng)a≤0,x∈[0,π]時,ax≤0,故f(π)≥aπ．因此,a的取值范圍是(－∞,0]．

點評

本題第(2)問充分利用了第(1)問的結(jié)論,使問題大大簡化了．