申家旭，陳 雋，丁 國(guó)

(1. 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092；2. 華東建筑設(shè)計(jì)研究總院，上海 200002)

歷史地震資料表明，一次大地震發(fā)生后，存在再發(fā)生多次地震的可能性，后續(xù)發(fā)生的這一系列地震被稱為余震，主震與余震共同組成序列型地震動(dòng)，在其作用下，已損傷結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生二次損傷，甚至造成倒塌。最典型的是2010 年的新西蘭基督城地震，7.0 級(jí)的主震使城市中的小部分建筑遭受了嚴(yán)重破壞，而數(shù)月之后的6.3 級(jí)的強(qiáng)余震使已損傷的建筑進(jìn)一步受損，導(dǎo)致了大量建筑破壞和倒塌，造成了比主震嚴(yán)重的多的經(jīng)濟(jì)損失和人員傷亡[1]。在我國(guó)1999 年集集地震以及2008 年汶川地震中，序列型地震動(dòng)不僅造成了大量的結(jié)構(gòu)破壞，而且加大了災(zāi)后救援的難度，使人民的生命財(cái)產(chǎn)受到了嚴(yán)重?fù)p失。研究序列型地震動(dòng)的特性和生成模型，成為工程結(jié)構(gòu)抗震研究中一個(gè)重要的現(xiàn)實(shí)問題。

地震動(dòng)的合理數(shù)學(xué)模型是工程結(jié)構(gòu)抗震分析的基礎(chǔ)。1947 年，Housner[2]指出工程結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)主要受兩個(gè)因素的影響：一是結(jié)構(gòu)自身的動(dòng)力特性；二是地震動(dòng)的特性。根據(jù)當(dāng)時(shí)為數(shù)不多的地震動(dòng)記錄，Housner[2]認(rèn)為實(shí)際地震動(dòng)具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，并提出了最早的隨機(jī)地震動(dòng)模型——隨機(jī)獨(dú)立脈沖模型。近幾十年來，世界各國(guó)陸續(xù)建立了覆蓋面廣的強(qiáng)震觀測(cè)臺(tái)網(wǎng)，極大地豐富了序列型地震動(dòng)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，為人們認(rèn)識(shí)和研究地震動(dòng)提供了良好的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。基于大量的觀測(cè)記錄，不同的地震動(dòng)模型相繼提出，其中具有代表性的有Kanai-Tajimi 模型[3?4]、譜表現(xiàn)方法[5?6]、演變功率譜模型[7]等。這些模型從不同角度表現(xiàn)了地震動(dòng)的特性，并得到了廣泛的應(yīng)用。對(duì)于序列型地震動(dòng)的模擬，早期的研究主要以重復(fù)主震或隨機(jī)組合主余震記錄[8?10]等方式來實(shí)現(xiàn)。然而，多位研究者已指出此類方法會(huì)過高地估計(jì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)[11?13]?，F(xiàn)行方法則主要集中在建立主震與余震地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)[14?18](如震級(jí)、PGA等)之間的統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)系，通過隨機(jī)地震動(dòng)模型(如Kanai-Tajimi 譜模型等)分別生成主震和余震，或通過地震動(dòng)衰減關(guān)系挑選主震和余震。此類方法實(shí)質(zhì)上是主震隨機(jī)模型，伴隨的余震是由主余震之間的確定性關(guān)系而唯一確定的。此外，很多主震隨機(jī)模型本身基于平穩(wěn)性假定，與地震動(dòng)實(shí)際非平穩(wěn)特性不符。事實(shí)上，主震和余震在地震強(qiáng)度、頻譜和持時(shí)等方面均密切相關(guān)，僅通過單一的地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)來反映二者的關(guān)系，顯然不能準(zhǔn)確全面地刻畫出余震的特征。此外，考慮地震動(dòng)發(fā)生機(jī)理的多因素特征，余震同樣具有相當(dāng)?shù)碾S機(jī)性。因此，對(duì)主震和余震間相關(guān)性的研究，以及對(duì)地震動(dòng)隨機(jī)性和非平穩(wěn)性的合理表征，是建立序列型地震動(dòng)模型的關(guān)鍵難題。

聚焦于城市中某一區(qū)域(100km2～101km2)的抗震分析，覆蓋面再?gòu)V的觀測(cè)臺(tái)網(wǎng)中也僅會(huì)有少量的臺(tái)站可以記錄到由震源傳遞至此區(qū)域的地震動(dòng)。而受到地震波傳播過程中的行波效應(yīng)、場(chǎng)地效應(yīng)等因素的影響，區(qū)域中任一點(diǎn)的地震動(dòng)均存在顯著的空間變異性[19]，僅靠臺(tái)站得到的數(shù)條單點(diǎn)地震動(dòng)難以準(zhǔn)確表達(dá)此區(qū)域中每棟建筑所承受的地震動(dòng)。因此，對(duì)于城市區(qū)域建筑群的抗震研究，建立合適的序列型地震動(dòng)場(chǎng)模型以反映城市區(qū)域中每一點(diǎn)處的地震動(dòng)也是亟待解決的關(guān)鍵問題。

在一場(chǎng)大地震中，余震往往會(huì)發(fā)生非常多次，然而，多數(shù)余震震級(jí)較小，對(duì)結(jié)構(gòu)安全影響較小。在結(jié)構(gòu)抗震分析中，學(xué)者們普遍關(guān)注主震與最大余震的組合，即“主震+最大余震”型序列型地震動(dòng)。本文的研究對(duì)象即為“主震+最大余震”型序列型地震動(dòng)。

綜上，本文從地震動(dòng)產(chǎn)生的物理機(jī)制出發(fā)，在已有的工程場(chǎng)地地震動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，考慮主震與余震在產(chǎn)生、傳播機(jī)制上的相關(guān)性，利用Copula 理論研究主震和余震各參數(shù)相關(guān)性，進(jìn)而考慮局部場(chǎng)地上不同點(diǎn)的空間相關(guān)性，形成序列型地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)模型。

1 Copula 理論

Copula 理論最早由Sklar[20]提出，即任意一個(gè)多元聯(lián)合分布都可以分解為相應(yīng)的多個(gè)邊緣分布和一個(gè)Copula 函數(shù)，該Copula 函數(shù)唯一地確定了變量間的相關(guān)性。后經(jīng)眾多研究者的不斷發(fā)展，Copula 理論已經(jīng)成為了解決高維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布問題的有效手段。Copula 理論的優(yōu)勢(shì)在于將變量邊緣分布函數(shù)的估計(jì)與Copula 函數(shù)的選擇分開獨(dú)立進(jìn)行，并引入描述變量間非線性關(guān)系的秩相關(guān)系數(shù)，能夠更加準(zhǔn)確地描述變量的相關(guān)性。Copula 理論最早應(yīng)用于金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域，隨后在水文學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。相對(duì)來說，其在地震工程中的應(yīng)用還處于起步階段。僅有少量研究者將Copula 理論引入地震動(dòng)與結(jié)構(gòu)抗震的研究中。Goda 和Salami[21]基于Copula 函數(shù)建立了地震作用時(shí)結(jié)構(gòu)最大變形和殘余殘余變形之間的關(guān)系；朱瑞廣和呂大剛[22]利用Copula 函數(shù)分析了主震和余震34 個(gè)地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)的相關(guān)性，并基于Copula 理論提出了余震的條件均值譜模型[17]。

Copula 理論為確定兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量間的聯(lián)合概率分布函數(shù)提供了一條有效且便捷的途徑。前已述及，Copula 理論中引入了描述變量相關(guān)性的相關(guān)系數(shù)，其中應(yīng)用較為廣泛的為Pearson線性相關(guān)系數(shù)，Kendall 秩相關(guān)系數(shù)以及Spearman秩相關(guān)系數(shù)。本文選取能夠反映變量間非線性關(guān)系的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)作為變量間相關(guān)性的度量。由Kendall 秩相關(guān)系數(shù)及參數(shù)的邊緣分布，即可根據(jù)Copula 函數(shù)建立變量間的聯(lián)合概率分布函數(shù)。以二維隨機(jī)變量為例，其聯(lián)合概率分布可表示為：

式中：F1(x1)、F2(x2)為變量x1和x2的邊緣累積分布函數(shù)；u1=F1(x1)，u2=F2(x2)，均為[0,1]間的均勻分布；C(u1,u2)為Copula 分布函數(shù)，其變量區(qū)間為[0,1]；θ 為與Copula 分布函數(shù)對(duì)應(yīng)的相關(guān)參數(shù)，可由對(duì)應(yīng)的Copula 分布函數(shù)及Kendall 秩相關(guān)系數(shù)求出。

為確定序列型地震動(dòng)中主震與余震的相關(guān)性，本文采用Copula 理論定量分析并確定了主余震物理參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系，并給出其顯式表達(dá)。

2 序列型地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)物理模型

主震與余震地震動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系一直是地震學(xué)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。在地震動(dòng)研究的早期，描述主震與余震關(guān)系的地震學(xué)三大定律[23?25]相繼提出。隨后的數(shù)十年里，大量的研究者們對(duì)其進(jìn)行了修正和改進(jìn)，力求真實(shí)地反映主余震的關(guān)系。而在地震工程學(xué)領(lǐng)域，研究者們更多地關(guān)注影響結(jié)構(gòu)安全性的參數(shù)(如PGA、PGV、Sa 等)，著眼于將地震動(dòng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)時(shí)程分析或譜分析相結(jié)合，研究主余震之間卓越周期、譜加速度等參數(shù)的相關(guān)性，以指導(dǎo)工程實(shí)踐。如前所述，現(xiàn)有方法一般通過主余震地震動(dòng)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系來建立序列型地震動(dòng)模型。由于統(tǒng)計(jì)關(guān)系本身的經(jīng)驗(yàn)性特征，不能準(zhǔn)確地體現(xiàn)主余震相關(guān)性的物理機(jī)制，且其本質(zhì)是主震與余震一一對(duì)應(yīng)的確定性模型，這與主震過后往往出現(xiàn)大量隨機(jī)性余震的事實(shí)不符。更為關(guān)鍵的是，大量的地震事件表明：主震與余震在震源及傳播途徑上并不完全相同，主震斷層的二次破裂及臨近斷層的破裂均會(huì)產(chǎn)生余震，因此，將主震與余震視為完全相關(guān)并不能準(zhǔn)確表達(dá)出余震的自身特性。

2.1 序列型地震動(dòng)物理隨機(jī)函數(shù)模型

為克服描述單次地震的現(xiàn)象學(xué)隨機(jī)地震動(dòng)模型(如Kanai-Tajimi 譜模型，演變功率譜模型等)的經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的局限性，Wang 和Li[26]從地震動(dòng)“震源-傳播途徑-局部場(chǎng)地”的物理機(jī)制出發(fā)，在隨機(jī)Fourier 譜和隨機(jī)函數(shù)模型的基礎(chǔ)上分別對(duì)震源、傳播途徑、局部場(chǎng)地進(jìn)行建模，給出了隨機(jī)地震動(dòng)的Fourier 幅值譜和相位譜模型。模型中影響地震動(dòng)隨機(jī)性的關(guān)鍵物理因素被抽象為隨機(jī)變量，由此得到了地表一點(diǎn)處的地震動(dòng)模型。宋萌[27]在此基礎(chǔ)上優(yōu)化了Fourier 相位譜模型，并將其中的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)改為了隨機(jī)參數(shù)。基于上述兩項(xiàng)工作，場(chǎng)地一點(diǎn)處的地震動(dòng)在時(shí)域范圍內(nèi)可以表示為：

限于篇幅，此模型更詳細(xì)的理論推導(dǎo)可參考文獻(xiàn) [26 ? 27]。

從地震動(dòng)的物理機(jī)制出發(fā)可以發(fā)現(xiàn)，盡管主震與余震在地震動(dòng)參數(shù)以及反應(yīng)譜中表現(xiàn)出一定的相關(guān)性和差異性，但其均遵循“震源-傳播途徑-局部場(chǎng)地”的物理過程。而在這一物理過程中，其物理要素(即式(2)中的基本物理參數(shù))具有不可完全觀測(cè)和不可完全控制性，因而伴隨主震而記錄到的余震必然表現(xiàn)出顯著的隨機(jī)性。主震與余震各物理要素在空間上的相關(guān)性決定了主震與余震時(shí)程的相關(guān)性。因此，研究主震與余震各物理要素之間的相關(guān)性即可反映出主震與余震時(shí)程的相關(guān)性，這也是序列型地震動(dòng)建模的關(guān)鍵。

考察式(2)，其中的λ 為含有八個(gè)物理參數(shù)的隨機(jī)向量，可以看到，地表一點(diǎn)處的地震動(dòng)加速度時(shí)程由λ 所決定。在地震動(dòng)產(chǎn)生、傳播的過程中，震源空間位置的相關(guān)性導(dǎo)致了描述震源、傳播途徑的物理參數(shù)是存在相關(guān)性的。地震動(dòng)在局部場(chǎng)地的傳播過程較為復(fù)雜，本文將局部場(chǎng)地的變化假定為線性，暫不考慮其非線性變化。因此，描述局部場(chǎng)地動(dòng)力特性的物理參數(shù)ξg和ωg在主震和余震中可視為是并未發(fā)生改變的，而主震與余震的空間相關(guān)性寓于描述震源和傳播途徑的六個(gè)物理參數(shù)中。基于上述觀點(diǎn)，地表一點(diǎn)處的序列型地震動(dòng)加速度時(shí)程可表示為：

2.2 序列型地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)物理模型

為描述地震動(dòng)在局部場(chǎng)地上的空間相關(guān)性，Wang 和Li[28]基于地震動(dòng)隨機(jī)函數(shù)模型(即地表一點(diǎn)處地震動(dòng)模型)，考慮地震動(dòng)場(chǎng)雙尺度建模，建立了工程場(chǎng)地地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的物理模型?？娀萑屠罱躘29]在此基礎(chǔ)上提出了工程場(chǎng)地地震動(dòng)的相干函數(shù)模型，并與經(jīng)典的Hao 模型、Harichandran-Vanmarcke 模型進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了其合理性。場(chǎng)模型可表述為：

式中：rl為場(chǎng)地任意一點(diǎn)沿波的傳播方向上到場(chǎng)地中心的距離；α0為場(chǎng)地地震波衰減參數(shù)；cg為場(chǎng)地等效波速；a(rl, t)為場(chǎng)地內(nèi)任意一點(diǎn)的加速度。

限于篇幅，隨機(jī)場(chǎng)模型更詳細(xì)的理論推導(dǎo)可參考文獻(xiàn) [28 ? 29]。

該模型考慮了地震動(dòng)的行波效應(yīng)和場(chǎng)地效應(yīng)，準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔地反映了地震動(dòng)產(chǎn)生、傳播過程中震源、傳播途徑和局部場(chǎng)地物理機(jī)制的作用。模型已應(yīng)用于高層建筑[30]、超高層建筑[31]、大型冷卻塔[32]等單體建筑的抗震可靠度分析和倒塌模擬，以及地下管網(wǎng)系統(tǒng)[33]等區(qū)域性生命線工程的抗震可靠性分析，有良好的工程應(yīng)用基礎(chǔ)。

第2.1 節(jié)，本文提出了地表一點(diǎn)處的序列型地震動(dòng)模型。模型將同一地震事件中主震與余震視為兩個(gè)隨機(jī)過程，并進(jìn)一步地考慮了兩個(gè)隨機(jī)過程中的隨機(jī)變量在震源、傳播途徑中的相關(guān)性。在考慮使用隨機(jī)場(chǎng)描述場(chǎng)地內(nèi)各點(diǎn)序列型地震動(dòng)的空間相關(guān)性時(shí)，由于余震震源位置存在不確定性，本文將地震動(dòng)?xùn)|-西分量與南-北分量視為相互獨(dú)立的地震動(dòng)時(shí)程記錄，使用此方法處理，可將地表一點(diǎn)處主震與余震分量以相同方向表示。而由于本隨機(jī)場(chǎng)刻畫的是局部場(chǎng)地范圍內(nèi)地震動(dòng)的行波效應(yīng)和場(chǎng)地效應(yīng)，因此，隨機(jī)場(chǎng)的兩個(gè)物理參數(shù)α0和cg在主震和余震中視為相同的物理量?；诖?，在工程場(chǎng)地范圍內(nèi)，序列型地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)物理模型可表示為：

3 序列型地震動(dòng)的參數(shù)識(shí)別和統(tǒng)計(jì)

為確定式(9)中各物理參數(shù)的概率分布及主余震參數(shù)的聯(lián)合概率分布，本節(jié)收集并篩選了不同場(chǎng)地類型的實(shí)測(cè)序列型地震動(dòng)，并進(jìn)行重采樣及歸一化處理；隨后對(duì)主震和余震各物理參數(shù)分別統(tǒng)計(jì)，識(shí)別出各參數(shù)的邊緣概率分布；最后根據(jù)各參數(shù)的相關(guān)系數(shù)及邊緣概率分布，識(shí)別出最優(yōu)Copula 函數(shù)，給出式(9)中各二維參數(shù)的聯(lián)合概率分布。

3.1 實(shí)測(cè)序列型地震動(dòng)的收集和處理

本文從太平洋地震工程研究中心[34](Pacific Earthquake Engineering Research Center, PEER)和KiK-net & K-NET 中收集得到了大量的序列型地震動(dòng)記錄。通過如下準(zhǔn)則對(duì)其進(jìn)行篩選：

1) 選取一次地震動(dòng)事件中主震和伴隨其發(fā)生的一系列余震中震級(jí)最大的一次余震；

2) 選取同一臺(tái)站記錄的主震和余震并組合；

3) 為避免土-結(jié)構(gòu)的耦合作用，臺(tái)站位于自由場(chǎng)地或較小建筑物的地面層；

4) 主震和余震的震級(jí)分別不小于5 級(jí)，排除不太可能對(duì)結(jié)構(gòu)造成影響的地震；

5) 為了研究場(chǎng)地類別對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)及損傷狀態(tài)的影響，將序列型地震動(dòng)按場(chǎng)地類別進(jìn)行分類，場(chǎng)地類別依據(jù)中國(guó)抗震規(guī)范劃分為四類場(chǎng)地，按照20 m 土層厚等效剪切波速VS20和30 m 厚等效剪切波速VS30劃分，劃分標(biāo)準(zhǔn)如表1。由于KiKnet & K-NET 按照分層土記錄土層信息，為便于分類，統(tǒng)一按照中國(guó)規(guī)范計(jì)算其VS20，計(jì)算依據(jù)參考郭鋒[35]提出的VS20與VS30轉(zhuǎn)換關(guān)系式。

表 1 場(chǎng)地劃分標(biāo)準(zhǔn)及序列型地震動(dòng)數(shù)量Table 1 Site classification standard and number of sequential ground motions

共篩選得到1038 組符合條件的序列型地震動(dòng)，另外，選取了SMART1 臺(tái)陣測(cè)得的五組地震動(dòng)場(chǎng)記錄以作地震動(dòng)場(chǎng)參數(shù)的識(shí)別，其基本信息如表2 所示。本文主要研究地震動(dòng)水平分量，故選擇各臺(tái)站記錄中的E-W 分量和N-S 分量，將其視為相互獨(dú)立的地震動(dòng)處理。

表 2 篩選得到的實(shí)測(cè)序列型地震動(dòng)Table 2 Selection of measured sequential ground motions

各臺(tái)站測(cè)得的地震動(dòng)時(shí)程采樣頻率存在差異，為便于分析，統(tǒng)一將地震動(dòng)以0.02 s 的時(shí)間間隔進(jìn)行重采樣，頻率限為25 Hz。重采樣結(jié)果與原始地震動(dòng)時(shí)程在時(shí)域和頻域的差異均極其微小，對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響可以忽略。另外，地震動(dòng)的峰值統(tǒng)一調(diào)幅至0.1 g，作幅值歸一化處理。

3.2 物理隨機(jī)參數(shù)的識(shí)別與統(tǒng)計(jì)

利用實(shí)測(cè)序列型地震記錄，針對(duì)第2.1 節(jié)和第2.2 節(jié)的模型參數(shù)的識(shí)別過程如圖1 所示。

圖 1 參數(shù)識(shí)別流程圖Fig. 1 Flowchart of parameter identification

1) 對(duì)地震動(dòng)時(shí)程作Fourier 變換，得到其Fourier幅值譜和Fourier 相位譜；

2) 由式(2)的幅值譜模型，采用最小二乘準(zhǔn)則擬合，識(shí)別主震幅值譜模型中的物理參數(shù)A0M、τM、 ξgM和 ωgM；

3) 將 2)中的局部場(chǎng)地參數(shù) ξgM和 ωgM代入余震幅值譜模型中，識(shí)別余震模型中的參數(shù)A0A和 τA；

4) 利用真實(shí)地震動(dòng)的相位譜，求得其相位差譜分布；

5) 將2)和3)中的震源系數(shù)τM和τA代入式(3)的相位譜模型中，采用最小二乘準(zhǔn)則將模型的相位差譜與真實(shí)相位差譜分布擬合，利用遺傳算法識(shí)別分別得到主震和余震相位譜模型中的參數(shù)aM、bM、cM、dM和 aA、bA、cA、dA。

6) 對(duì)地震動(dòng)場(chǎng)參數(shù)作識(shí)別，得到α0和cg。

在各參數(shù)中，幅值譜對(duì)應(yīng)的A0M、τM、ξgM和ωgM以使模型逼近真實(shí)地震動(dòng)幅值譜為原則，識(shí)別方法采用最小二乘法，可表述為：

遺傳算法的參數(shù)設(shè)置，如表3 所示。

表 3 遺傳算法參數(shù)設(shè)置Table 3 Settings of Genetic Algorithm

對(duì)于α0和cg的識(shí)別，首先識(shí)別出場(chǎng)地中心點(diǎn) C00 的各物理參數(shù) A0、τ、ξg、ωg、a、b、c、d，由最小二乘法確定幅值譜中的參數(shù)α0。對(duì)于場(chǎng)地等效波速cg，可通過下式識(shí)別：

式中：Δrl為兩樣本點(diǎn)在平面波場(chǎng)中的坐標(biāo)差；Δt 為兩樣本的時(shí)間延遲，可采用Boissières 和Vanmarcke[36]提出的方法確定。

根據(jù)上述過程，對(duì)各組序列型地震動(dòng)逐一識(shí)別，得到描述主震和余震的各物理參數(shù)在四類不同場(chǎng)地類型下的分布規(guī)律?？疾炱浣y(tǒng)計(jì)分布，采用貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion，BIC) 準(zhǔn)則[37]求得最優(yōu)概率模型，獲得主震和余震各參數(shù)的概率密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)值如表4 和表5 所示。表中參數(shù)P1、參數(shù)P2的含義：當(dāng)概率密度函數(shù)為Normal 時(shí)，分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差；概率密度函數(shù)為L(zhǎng)ognormal 時(shí)，為對(duì)數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；概率密度函數(shù)為Weibull 時(shí)，為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。需要指出的是，在對(duì)α0和cg進(jìn)行識(shí)別前，應(yīng)按照?qǐng)龅貤l件對(duì)地震動(dòng)記錄進(jìn)行分組以滿足工程需要。然而，用于觀測(cè)局部場(chǎng)地的地震動(dòng)臺(tái)陣較少，易于獲取的地震動(dòng)場(chǎng)記錄均來自于SMART1 臺(tái)陣，其對(duì)應(yīng)的場(chǎng)地為Ⅱ類場(chǎng)地。因此，本文給出的α0和cg的統(tǒng)計(jì)結(jié)果嚴(yán)格來說僅適用于Ⅱ類場(chǎng)地。

表 4 概率密度函數(shù)及其對(duì)應(yīng)參數(shù)Table 4 Probability density functions and parameters

表 5 概率密度函數(shù)及其對(duì)應(yīng)參數(shù)Table 5 Probability density functions and parameters

以參數(shù)A0為例，圖2 給出了主震A0M和余震A0A的統(tǒng)計(jì)分布及其概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)曲線。其中BIC 定義為：

式中：f (xi; p, q, r)為概率分布函數(shù)的密度函數(shù)，xi(i=1, 2,···, N)為樣本點(diǎn)數(shù)目，p, q, r 為分布參數(shù)；k1為分布參數(shù)的數(shù)目。

3.3 主余震的相關(guān)性分析

以參數(shù)A0為例，圖3 給出了各類場(chǎng)地下主震A0M與余震A0A的關(guān)系，其中IV 類場(chǎng)地下收集到的地震動(dòng)數(shù)量較少。分別計(jì)算各參數(shù)的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)，A0、τ、a、b、c、d 的相關(guān)系數(shù)分別為：0.589、0.508、0.277、0.395、0.195、0.172?？芍?，主震與余震的參數(shù)間存在一定的相關(guān)性，本文通過引入Copula 理論對(duì)其進(jìn)行描述，并給出主余震參數(shù)的聯(lián)合概率分布，實(shí)現(xiàn)對(duì)主余震參數(shù)相關(guān)性的顯式表達(dá)。

為此，根據(jù)第3.2 節(jié)中得到的各參數(shù)的邊緣分布函數(shù)，利用二維Copula 函數(shù)建立主震和余震參數(shù)之間的聯(lián)合分布。共選取了七種常用的Copula函數(shù)：Independent、Gaussian、t、Gumbel、Plackett、Frank、和Clayton 函數(shù)，其中，考慮到參數(shù)c 和d 的相關(guān)性較弱的情況，在備選Copula 中加入了Independent Copula 函數(shù)，代表了參數(shù)相互獨(dú)立的情況。其余六種函數(shù)分別從不同角度描述了參數(shù)間的相關(guān)性。

圖4 給出了確定兩參數(shù)間聯(lián)合概率分布函數(shù)的步驟：

1) 計(jì)算主震與余震參數(shù)的Kendall 秩相關(guān)系數(shù)τ；

2) 由主震和余震參數(shù)的邊緣概率分布f1、f2和秩相關(guān)系數(shù)τ，求出備選Copula 函數(shù)的相關(guān)參數(shù)θ；

3) 利用BIC 作判別，遍歷七種常用Copula 函數(shù)，求得最優(yōu)Copula 函數(shù)；

圖 2 A0M 和A0A 的邊緣概率密度函數(shù)Fig. 2 Marginal PDFs of A0M and A0A

4) 由最優(yōu)Copula 函數(shù)求得主余震參數(shù)的聯(lián)合概率分布函數(shù)。

識(shí)別得到的各參數(shù)最優(yōu)Copula 函數(shù)及相關(guān)參數(shù)，如表6 所示。

通過參數(shù)間的聯(lián)合PDF，本文根據(jù)等概率變換原則模擬出了符合對(duì)應(yīng)聯(lián)合PDF 的散點(diǎn)圖。同樣以A0為例，圖5 給出了4 類不同場(chǎng)地條件下，參數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。可見，模擬數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)的分布保持著較高的吻合度。因此，可以認(rèn)為，本文利用Copula 函數(shù)得到的參數(shù)間的聯(lián)合PDF 能夠準(zhǔn)確描述序列型地震動(dòng)模型中各二維隨機(jī)變量的取值和分布，即能夠較好地描述主震和余震參數(shù)的相關(guān)性。

圖 3 A0M 和 A0A 的散點(diǎn)圖Fig. 3 Scatters of A0M and A0A

圖 4 識(shí)別最優(yōu)Copula 函數(shù)的流程圖Fig. 4 Flowchart for identifying optimal Copula function

表 6 最優(yōu)Copula 函數(shù)及相關(guān)參數(shù)Table 6 Optimal Copula functions and relevant parameters

圖 5 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)對(duì)比Fig. 5 Comparisons of real data and simulation

4 序列型地震動(dòng)的驗(yàn)證

為驗(yàn)證序列型地震動(dòng)模型的有效性，對(duì)實(shí)測(cè)的主余震地震動(dòng)加速度時(shí)程進(jìn)行模擬重構(gòu)，并與實(shí)測(cè)地震動(dòng)的均值反應(yīng)譜進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。另外，選取了2018 年阿拉斯加地震記錄到的地震動(dòng)時(shí)程，對(duì)其進(jìn)行模擬重構(gòu)，進(jìn)一步驗(yàn)證本文模型的合理性。

首先，對(duì)每條實(shí)測(cè)的地震動(dòng)時(shí)程樣本，通過式(5)識(shí)別出模型的各參數(shù)，再進(jìn)行重構(gòu)，最后得出模擬地震動(dòng)。圖6 對(duì)比了各類場(chǎng)地條件下主震和余震的均值加速度反應(yīng)譜，阻尼比ξ=0.05。模型與實(shí)測(cè)地震動(dòng)的均值加速度反應(yīng)譜基本吻合，可見式(5)模型與表4～表6 的統(tǒng)計(jì)結(jié)果具有較高的可信度。

圖 6 實(shí)測(cè)地震動(dòng)與模擬地震動(dòng)的均值反應(yīng)譜對(duì)比Fig. 6 Comparisons of mean spectra of measured and simulated records

2018 年阿拉斯加地震發(fā)生于 2018 年 11 月30 日，其中，主震震級(jí)為Mw 7.0，余震震級(jí)為Mw 5.7。本文選取了AKK217 和AKK220 測(cè)站測(cè)得的序列型地震動(dòng)，分別識(shí)別出主震和余震參數(shù)，依據(jù)式(5)進(jìn)行重構(gòu)，結(jié)果如圖7 所示。對(duì)比可見，序列型地震動(dòng)模型從樣本時(shí)程的角度能和實(shí)測(cè)時(shí)程保持較高的一致性，可以較好地重構(gòu)地震動(dòng)時(shí)程。需要指出，模擬時(shí)程并不能很好地描述地震動(dòng)的衰減階段，衰減段持續(xù)時(shí)間較短，這是模型需要改進(jìn)之處。

圖 7 實(shí)測(cè)單點(diǎn)時(shí)程與模擬時(shí)程的對(duì)比Fig. 7 Comparisons of measured and simulated records

此外，本文通過對(duì)SMART-1 臺(tái)陣的實(shí)測(cè)時(shí)程作模擬，驗(yàn)證地震動(dòng)場(chǎng)模型的合理性，選取了Event 5 地震動(dòng)事件中C00 測(cè)站和I06 測(cè)站的實(shí)測(cè)加速度時(shí)程，記錄的加速度時(shí)程如圖8(a)所示。地震動(dòng)在局部場(chǎng)地傳播過程中，地震波傳播速度是有限的，因此不同測(cè)站記錄到的地震動(dòng)存在著相位差，在時(shí)程上表現(xiàn)為時(shí)間延遲現(xiàn)象。

本文首先通過式(9)識(shí)別得到Event 5 地震的物理參數(shù)，并模擬出SMART-1 局部場(chǎng)地原點(diǎn)即C00 的地震動(dòng)時(shí)程。進(jìn)而利用識(shí)別得到的物理參數(shù)，以及表5 中的α0和cg，模擬出沿傳播方向與C00 的Δrl為190 m 的I06 測(cè)站時(shí)程。需要說明，模擬時(shí)程中，除α0和cg外，其余物理參數(shù)都相同。模擬結(jié)果如圖8(b)所示。對(duì)比模擬得到的時(shí)程可見，其呈現(xiàn)出與實(shí)測(cè)時(shí)程相似的時(shí)間延遲現(xiàn)象。

圖 8 實(shí)測(cè)臺(tái)陣時(shí)程與場(chǎng)模型模擬時(shí)程對(duì)比Fig. 8 Comparisons of measured and simulated records

5 結(jié)論

通過考慮主震和余震的空間相關(guān)性，建立了序列型地震動(dòng)隨機(jī)單點(diǎn)模型，為反映地震動(dòng)在局部場(chǎng)地的變異性，進(jìn)一步地提出了序列型地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)模型。利用1038 組序列型地震動(dòng)的數(shù)據(jù)，識(shí)別得到了模型中各物理參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布。運(yùn)用Copula 理論給出了主震和余震空間相關(guān)性的顯式表達(dá)。通過將模擬地震動(dòng)與實(shí)測(cè)單點(diǎn)地震動(dòng)、地震動(dòng)場(chǎng)作對(duì)比，驗(yàn)證了本文提出的模型的可行性。

模型將主震和余震的關(guān)系以概率分布的形式給出，并且在已知主震的情況下可以根據(jù)Copula理論得到余震參數(shù)的條件概率分布，保留了余震自身的隨機(jī)性。

在實(shí)際應(yīng)用中，確定工程場(chǎng)地條件后，從表4～表6 中確定各參數(shù)的邊緣概率分布和Copula 函數(shù)確定參數(shù)的聯(lián)合概率分布，據(jù)此生成各參數(shù)的隨機(jī)樣本，代入式(5)或式(9)中，即可模擬出序列型地震動(dòng)，應(yīng)用于單體建筑或區(qū)域性建筑群的抗震分析。

地震動(dòng)的產(chǎn)生與傳播過程極其復(fù)雜，如何準(zhǔn)確描述地震的震源及傳播途徑一直是地震動(dòng)建模的重點(diǎn)和難點(diǎn)。地震產(chǎn)生的機(jī)理復(fù)雜，傳播途徑中的影響地震動(dòng)傳播的因素較多，本文提出的模型在描述地震震源及傳播途徑方面做了較多簡(jiǎn)化；模型模擬出的時(shí)程在衰減段與實(shí)測(cè)時(shí)程有一定差異；另外，地震動(dòng)在局部場(chǎng)地上的傳播仍有其他影響因素，本文在此也作了一定簡(jiǎn)化，僅考慮了其行波效應(yīng)。這些不足之處仍有待進(jìn)一步研究。