曲皓月，張 杰，王夢(mèng)茹

（遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029）

非線性規(guī)劃是帶有等式和不等式約束的約束優(yōu)化問(wèn)題，是最優(yōu)化理論中較常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)模型，在交通運(yùn)輸、物流管理、投資組合等諸多社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。對(duì)非線性規(guī)劃最優(yōu)性條件的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，可見(jiàn)于各種優(yōu)化方法的教材，如文獻(xiàn)[1-5]。但在這些教材中對(duì)非線性規(guī)劃二階最優(yōu)性條件的描述中，所涉及到的臨界錐有著多種不同的表達(dá)形式，初學(xué)者在接觸這部分知識(shí)時(shí)可能會(huì)感到困惑。因此歸納出不同教材中臨界錐的不同表達(dá)形式并對(duì)它們之間的聯(lián)系進(jìn)行研究是非常有意義的，這會(huì)讓初學(xué)者對(duì)臨界錐及二階最優(yōu)性條件有更深層次的理解，并使得二階最優(yōu)性條件有統(tǒng)一的表達(dá)式。本研究考慮如下形式的非線性規(guī)劃問(wèn)題：

其中，f,hi,i= 1,2,…,p,gj,j= 1,2,…,q是Rn到R 的映射且二次連續(xù)可微，總結(jié)了不同教材中臨界錐的六種表達(dá)形式，給出了這些集合之間的聯(lián)系，并給出這些集合相等的充分條件。文章安排如下：第一節(jié)給出預(yù)備知識(shí)，接下來(lái)在第二節(jié)中給出主要結(jié)果。首先給出一些預(yù)備知識(shí)。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出的預(yù)備知識(shí)主要來(lái)自于國(guó)內(nèi)外優(yōu)化方法的經(jīng)典教材和專(zhuān)著，見(jiàn)文獻(xiàn)[1-7]。點(diǎn)x∈Rn被稱為問(wèn)題（1）的可行點(diǎn)，如果x滿足（1）的約束條件。所有可行點(diǎn)所組成的集合稱為可行域，記（1）的可行域?yàn)閄，

則稱d是X在x*處的線性化可行方向，X在x*處的所有線性化可行方向的集合記為L(zhǎng)FD(x*,X)。

定義4 設(shè)x*∈X,d∈Rn，如果存在序列dk(k= 1,2,…)和δk＞0(k= 1,2,…)使得x*+δkdk∈X，?k且有dk→d和δk→0，則稱d是X在x*處的序列可行方向，X在x*處的所有序列可行方向的集合記為SFD(x*,X)。

注意到根據(jù)文獻(xiàn)[3]中的定義，LFD(x*,X)和SFD(x*,X)中不含有零方向，但在文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[6]的定義中，這兩個(gè)集合含有零方向。本研究采用了后者的定義，原因是此時(shí)的方向集合是閉集合，方便后續(xù)的研究，也與錐優(yōu)化中線性化切錐和切錐的定義相一致。

定義5 設(shè)Y是有限維Hilbert空間，Z是Y中的閉子集，x∈Z，則Z在x處的切錐定義為

2 臨界錐不同表達(dá)形式的相互關(guān)系

所以得到C(x*)?S(x*,μ*,λ*)，證畢。

如果線性無(wú)關(guān)約束規(guī)范不成立時(shí)，會(huì)存在d∈F(x*,μ*,λ*)但d?S(x*,μ*,λ*)的情況，本研究引用文獻(xiàn)[8]中用來(lái)研究Guignard約束規(guī)范的例子進(jìn)行說(shuō)明。

例1 考慮下述優(yōu)化問(wèn)題：

證明 由定理1 只需證明C(x*)?F(x*,μ*,λ*)，根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的定理8.2.7 可知在M-F 約束規(guī)范下，LFD(x*,X)= SFD(x*,X)=TX(x*)，所以根據(jù)定理1 中（vii）的后半部分證明直接得到C(x*)?F(x*,μ*,λ*)，證畢。

3 結(jié)論

本研究總結(jié)歸納了不同最優(yōu)化方法教材中的臨界錐的表達(dá)形式，給出了這些臨界錐的關(guān)系，并得到了保證這些臨界錐相等的充分條件。