侯代忠　周作雄

[摘要]HPM以其豐富的數(shù)學(xué)概念、思想、方法，深邃的人文底蘊(yùn)，成為課程資源開發(fā)的重要載體。立足HPM，對數(shù)系教學(xué)做出優(yōu)化和改進(jìn)，其目的在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、開闊視野，發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，建構(gòu)其正確的數(shù)學(xué)觀，同時提升教學(xué)質(zhì)量、彰顯數(shù)學(xué)文化。

[關(guān)鍵詞]HPM;數(shù)系教學(xué);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號]2095—3437（2021）01—0048—05

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》明確界定了核心素養(yǎng)，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的品格和關(guān)鍵能力。教育部頒發(fā)了新的課程標(biāo)準(zhǔn)，把發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作為貫穿課程標(biāo)準(zhǔn)的主線，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了6個核心素養(yǎng)。在課程實(shí)施中實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)，成為當(dāng)下教學(xué)研究一個高度關(guān)注的問題。

學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，是從以知識為中心的教學(xué)目標(biāo)向以能力為核心的教學(xué)目標(biāo)的轉(zhuǎn)型，因而教學(xué)也應(yīng)從單純的以知識教學(xué)為主導(dǎo)的教學(xué)，向以發(fā)展學(xué)生能力為主導(dǎo)的教學(xué)轉(zhuǎn)變，其中，文化元素起著十分重要的作用。在這個教育背景下，教學(xué)應(yīng)當(dāng)做到知識教學(xué)與文化教學(xué)的有機(jī)結(jié)合。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須考慮數(shù)學(xué)文化，因?yàn)樗缪葜粋€不可缺少的角色。2017年修訂版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱標(biāo)準(zhǔn)）頒布，其對數(shù)學(xué)文化的價值進(jìn)行了深入詮釋。標(biāo)準(zhǔn)中指出：“數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動。在教學(xué)活動中，教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程……提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！?/p>

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要表現(xiàn)之一，它對增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透，弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，開闊視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有著非常現(xiàn)實(shí)和深遠(yuǎn)的意義。HPM研究已經(jīng)成為一線數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識交互融合產(chǎn)生的新思考，在HPM教學(xué)實(shí)踐中不斷增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科的課程思政能力，是一個值得廣大教師深入探索回歸數(shù)學(xué)教育本質(zhì)的課題。

一、HPM：教學(xué)融入數(shù)學(xué)文化的載體

HPM是History and Pedagogy of Mathematics縮寫，中譯為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育。HPM有兩方面的含義：其一是指HPM國際研究團(tuán)隊(duì)在國際數(shù)學(xué)教育會議上專門討論數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育融合;其二是指這個團(tuán)隊(duì)的研究對象“如何更好地讓數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合在一起，共同促進(jìn)學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展”。HPM的功能有宏觀與微觀之分。宏觀上：一是要把握數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，貫通數(shù)學(xué)的發(fā)展史，加深對數(shù)學(xué)思想、概念、方法、應(yīng)用的理解;二是要理清數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系，有效整合數(shù)學(xué)學(xué)科，體會數(shù)學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)造過程;三是形成對文化的歷史認(rèn)同感，把數(shù)學(xué)從課內(nèi)導(dǎo)向課外，做到內(nèi)外有機(jī)結(jié)合;四是強(qiáng)化數(shù)學(xué)史的文化傳承，提升數(shù)學(xué)的人文價值。微觀上：一是增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)和主動性，二是幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)價值觀，三是時刻保持和促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。其中汪曉勤教授將其總結(jié)為：HPM可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，指導(dǎo)并豐富教師的課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)科學(xué)精神，啟發(fā)學(xué)生的人格成長，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和對數(shù)學(xué)價值的認(rèn)識，有效構(gòu)建數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁。

如何將數(shù)學(xué)文化元素融入教學(xué)中，喻平教授以為，教師在教學(xué)設(shè)計時要思索三個問題：①為什么要研究這個知識？②怎么研究這個知識？③這個知識有什么價值和意義？思考這三個問題，數(shù)學(xué)文化的味道就出來了。第一，為什么要研究這個問題？其必定與數(shù)學(xué)史關(guān)聯(lián)，要在數(shù)學(xué)史中追尋謎底。找找產(chǎn)生這個問題的原因，從是社會需求還是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展需求兩個方面來考量，從而顯現(xiàn)陳香的數(shù)學(xué)文化。第二，怎么研究這個知識？這當(dāng)然與數(shù)學(xué)思想方法密切相關(guān)。數(shù)學(xué)思想方法是文化的精華，通過揭示數(shù)學(xué)思想方法，弘揚(yáng)科學(xué)家的理性科學(xué)精神、求真實(shí)務(wù)實(shí)態(tài)度，從而彰顯深奧的數(shù)學(xué)文化。第三，這個知識有什么價值和意義？要回答這個問題，你就要思考這個知識有什么科學(xué)價值，有什么社會、經(jīng)濟(jì)建設(shè)應(yīng)用價值，有什么學(xué)科美學(xué)價值，有什么思維訓(xùn)練價值，等等，進(jìn)而激發(fā)出濃郁的數(shù)學(xué)文化。顯然，考慮前面兩個問題就與HPM產(chǎn)生必然聯(lián)系，因此，立足HPM教學(xué)是融入數(shù)學(xué)文化的一個重要載體。

二、數(shù)系發(fā)展：寫實(shí)記錄數(shù)學(xué)文化的跡印

在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，數(shù)的擴(kuò)充如圖1所示。這是一個簡單的圖示，其實(shí)是經(jīng)歷了一個漫長的歷史過程形成的，里面充滿了許多故事，留下了濃墨重彩的數(shù)學(xué)文化跡印。

負(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史。我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則，三國時期的學(xué)者劉徽（約225—295年）對《九章算術(shù)》作了詳細(xì)的注解，并最先給出了正負(fù)數(shù)的定義。東漢末年劉烘（206年）、宋代楊輝（1261年）也論及了正負(fù)數(shù)加減法則，元代朱世杰（1249—1314年）除了明確給出了正負(fù)數(shù)同號異號的加減法則外，還給出了正負(fù)數(shù)的乘除法則。然而，負(fù)數(shù)在國外得到認(rèn)識和被承認(rèn)比中國要晚得多。在歐洲14世紀(jì)最有成就的法國數(shù)學(xué)家丘凱（NieolasChuquet，1445—1500年）把負(fù)數(shù)說成是荒謬的數(shù)，直到17世紀(jì)荷蘭人日拉爾（1629年）才首先認(rèn)識和使用負(fù)數(shù)解決幾何問題。

無理數(shù)的故事。畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年—公元前500年）是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他證明許多重要的定理，包括后來以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）。他提出“萬物皆為數(shù)”的觀點(diǎn)。一群畢達(dá)哥拉斯的門徒在海上泛舟，其中一位名叫希帕索斯的學(xué)者，因?yàn)橛欣頂?shù)與無理數(shù)的爭辯被畢達(dá)哥拉斯先生的理論學(xué)派的追隨者扔進(jìn)了海里，溺水而死。一位很有才華的數(shù)學(xué)家就這樣被奴隸專制制度的學(xué)閥們撲滅了。實(shí)際上，希帕索斯（Hippasus，約公元前500年）發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實(shí)：“一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的”（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數(shù)），這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這次事件后，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員們確實(shí)發(fā)現(xiàn)不但等腰直角三角形的直角邊無法去量準(zhǔn)斜邊，而且圓的直徑也無法去量盡圓周，那個數(shù)字是3.14159265358979……更是永遠(yuǎn)也無法精確。慢慢地，他們感覺后悔了，后悔殺死希帕索斯的無理行動。他們認(rèn)識到除有理數(shù)之外，還有一些無限的不能循環(huán)的小數(shù)，這確實(shí)是一種新發(fā)現(xiàn)的數(shù)——應(yīng)該叫它“無理數(shù)”。1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831—1916年）從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代。

虛數(shù)的故事。虛數(shù)誕生于歐洲文藝復(fù)興時期的三次方程求解。我們知道，二次方程可由簡單變換，得到通解公式，當(dāng)判別式為負(fù)值時無解。到了14世紀(jì)，數(shù)學(xué)家開始探索三次方程的求解，這個過程耗費(fèi)了幾代數(shù)學(xué)家的心血，直到16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅（Scipione del Ferro，1465—1526年），首次得到了標(biāo)準(zhǔn)形式三次方程的通解，但費(fèi)羅并未把他的解法公布出來，而是帶進(jìn)了墳?zāi)?。另一位?shù)學(xué)家豐塔納（N.Fontana，1499—1557年），在1535年得到了同樣的通解公式，和他的前輩費(fèi)羅一樣，豐塔納也秘密保守他的發(fā)現(xiàn)。另外一位數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano，1501—1576年）聽說豐塔納知道三次方程的求解方法，于是去請求他告知三次方程的解法。在卡爾達(dá)諾的多次請求下，豐塔納告訴了他求解公式，但并未傳授他公式的推導(dǎo)過程。

然后虛數(shù)i，就隱藏在這個看似復(fù)雜的公式當(dāng)中，這個公式蘊(yùn)涵了一個新數(shù)學(xué)領(lǐng)域的誕生，它需要一位超級天才去發(fā)現(xiàn)。從卡爾達(dá)諾的《大衍術(shù)》開始，200多年時間中，人們不斷遇到負(fù)數(shù)的開方問題，但多采用不敢承認(rèn)和回避的態(tài)度，于是虛數(shù)一直披著神秘莫測的外衣。到了1797年，威賽爾給出了虛數(shù)的圖像表示，后來高斯在平面直角系中創(chuàng)立了點(diǎn)與復(fù)數(shù)之間的一一對應(yīng)，并提出用數(shù)偶（a，b）來表示a+bi，才確立了復(fù)數(shù)的合理地位。

這些故事展現(xiàn)了數(shù)學(xué)真理發(fā)現(xiàn)的艱辛歷程，反映了人類文明推進(jìn)的艱難，同時，更加彰顯了科學(xué)家不屈不撓探求真理的執(zhí)著和為科學(xué)獻(xiàn)身的精神。數(shù)系的發(fā)展史蘊(yùn)含著豐富的文化元素、厚重的文化積淀，如果不挖掘這種以內(nèi)隱形式潛藏于知識深層的課程資源，無疑是一種莫大的浪費(fèi)，是資源的流失。

三、文化融入：數(shù)系教學(xué)設(shè)計的不同形式

HPM融入教學(xué)的方法有許多，其中就包括：在新課中運(yùn)用數(shù)學(xué)史引入新概念，專門設(shè)計講授“數(shù)學(xué)史”的課，利用歷史上的數(shù)學(xué)教材設(shè)計課堂練習(xí)和作業(yè)，介紹歷史上數(shù)學(xué)家成才的故事，舉辦數(shù)學(xué)歷史主題的班會和討論會，借鑒數(shù)學(xué)發(fā)展歷史設(shè)計一個有關(guān)數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，探索過去的錯誤觀點(diǎn)、另類觀點(diǎn)以幫助今天的學(xué)習(xí)者理解并解決數(shù)學(xué)困難，等等。

（一）HPM融入負(fù)數(shù)的教學(xué)設(shè)計——根據(jù)歷史史實(shí)合理改編數(shù)學(xué)素材

1.情景設(shè)計

師：同學(xué)們能用以前學(xué)過的知識來解決下列問題嗎？

（1）小夢買練習(xí)冊一共花了4.5元錢，現(xiàn)在她有了5元錢，她還剩多少幾元？

（2）若小夢手上只有4元錢，她能買到想要的練習(xí)冊嗎？為什么？

生：用小夢手中的錢減去本子的價格得：5-4.5=0.5。

師：那么第二問該怎么解答？（引導(dǎo)學(xué)生第二個問題也用手中的錢數(shù)減去本子的價格）

生：老師，我只會列出式子，不能得出答案：4-4.5=？。

師：其他同學(xué)是不是也是這樣的答案，不夠減？

（設(shè)計意圖：構(gòu)造無法計算、不能減的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲。）

2.數(shù)學(xué)史介紹

師：大家不會做，其實(shí)是很正常的，因?yàn)闅v史上很多數(shù)學(xué)家也都曾經(jīng)被這個問題困擾過。如代數(shù)學(xué)鼻祖丟番圖（Diophantus，約246—330年），他在其著作《算術(shù)》中稱4x+20=4的方程是沒有意義的。同樣，斐波拉契（Fi-bonacci，1175—1250年）在《花朵》中稱方程x+36=33是沒有根據(jù)的。如何解決困惑呢？我國古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽給出了區(qū)分的方法。他用正算赤、負(fù)算黑來表示。所以我們也可以借用前人的方法，用紅黑顏色的數(shù)來加以區(qū)別。

我們不妨以較大的數(shù)減去較小的數(shù)的結(jié)果來表示運(yùn)算結(jié)果，只是為了區(qū)分，我們用黑色來表示，即把這個結(jié)果用黑色的數(shù)來表示區(qū)別。因此，4-4.5=0.5。

師：那么，以下的式子結(jié)果等于什么？0-2=？，0-4=？.0-6=？

生：我是模仿了上面的方法，得2，4，6。

師：我們知道，加法和減法互為逆運(yùn)算，那么下面運(yùn)算結(jié)果是多少？2+2=？，4+4=？，5+5=？

生：很快得出結(jié)果：0。

師：那么，以下式子結(jié)果等于什么呢？0-2=？，0-4=7.0-5=？

生：我的答案是：2，4，5。

師：完全正確。我們把這里的這種特殊的黑數(shù)稱為負(fù)數(shù)。而我們原來的數(shù)除了0以外的數(shù)，稱為正數(shù)。負(fù)數(shù)的表示是在相應(yīng)的正數(shù)前面加符號“-”，例如上面的2，4，6，我們可以表示為：-2，-4，-6。

（設(shè)計意圖：這種引入是建立在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，更能引起學(xué)生的興趣，對學(xué)生來說，問題解決思路受阻時穿插歷史介紹，能消除負(fù)數(shù)的神秘感，從而保護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。）

3.課后引入

老師可以將有關(guān)負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史史料提供給學(xué)生，讓學(xué)生對負(fù)數(shù)有更深的了解。

（設(shè)計意圖：將有關(guān)負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史作為史料提供給學(xué)生，進(jìn)一步破除他們對負(fù)數(shù)的困惑和恐懼感。）

4.教學(xué)反思

（1）數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的行為觀念，數(shù)學(xué)參與是數(shù)學(xué)文化滲透的重要途徑。本節(jié)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生借鑒歷史方法，重現(xiàn)歷史上數(shù)學(xué)大師丟番圖、斐波拉契遇到不夠減的困惑，我國數(shù)學(xué)家劉徽用正算赤、負(fù)算黑來表示引入負(fù)數(shù)，減法運(yùn)算毫不例外地可以進(jìn)行了。讓學(xué)生追隨古今中外數(shù)學(xué)家們的足跡尋找智慧閃光點(diǎn)引出負(fù)數(shù)，感悟與數(shù)學(xué)家們一起發(fā)現(xiàn)問題的認(rèn)知過程，困于問題的思維過程，解決問題的創(chuàng)造過程，仿佛數(shù)學(xué)家就在自己旁邊，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家們并不神秘和自己一樣也曾遭遇解不了的問題，喚醒學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自覺;數(shù)學(xué)家們頑強(qiáng)的探索精神，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生更多的認(rèn)同，當(dāng)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法解決實(shí)際問題時，他們就已經(jīng)觸摸到數(shù)學(xué)文化的脈搏了。

（2）在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中發(fā)展核心素養(yǎng)。多數(shù)學(xué)生對于數(shù)的抽象表達(dá)難以理解，對于“數(shù)不夠用了”出現(xiàn)一定的思維障礙。負(fù)數(shù)這部分知識在教學(xué)中又是一大難點(diǎn)，若教師只是簡單使用傳統(tǒng)的教學(xué)方法很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。本設(shè)計通過設(shè)置認(rèn)知沖突問題引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上構(gòu)建以學(xué)生為主體的探究方式，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)模型思想，適時融入歷史上數(shù)學(xué)家被“無法用來度量數(shù)的多少”這種情形所困擾，培養(yǎng)其邏輯推理素養(yǎng)，引入我國古代數(shù)學(xué)家劉徽給出方法探究負(fù)數(shù)，增強(qiáng)數(shù)感，培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理能力，學(xué)生對于跟自己國家有關(guān)系的研究方法興趣倍增，學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼睛看”，形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（二）HPM融入無理數(shù)的教學(xué)設(shè)計——講解數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家軼事與生平

1.軼事引入

觀看視頻：讓學(xué)生觀看《科學(xué)世界》中的視頻，通過視頻中人類如何尋找地球外的生命，以及發(fā)射“勾股定理圖”來作為與外星文化取得聯(lián)系的信號，來提出本節(jié)課需要探究的問題：為什么勾股定理圖可以作為與“外星人”聯(lián)系的信號？

（本環(huán)節(jié)設(shè)計意圖：巧妙地引入視頻，激發(fā)學(xué)生對勾股定理的興趣，以及思考勾股定理有何魅力，可作為外星文明溝通的橋梁。）

插入故事：師：同學(xué)們，現(xiàn)在老師給大家介紹一下畢達(dá)哥拉斯的故事。（插入前面的“無理數(shù)的故事”）

（本環(huán)節(jié)設(shè)計意圖：巧妙地借助無理數(shù)的故事，將學(xué)生帶入無理數(shù)的世界。通過數(shù)學(xué)史的再現(xiàn)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識發(fā)生的精彩動人歷程，以及體會數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)真知而奮斗甚至獻(xiàn)身的寶貴精神。）

2.動手實(shí)踐

師：請學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的紙張和剪子，動手剪一剪，拼一拼，設(shè)法獲得一個經(jīng)典的畢達(dá)哥拉斯的勾股圖（如圖2所示）。思考這樣一個問題：在直角三角形中，若兩條直角邊長為a，b，斜邊為c，則有a²+b²=c²。若a=1，b=2，則c²=1²+2²，即c²=5，則c是有理數(shù)嗎？

師：有理數(shù)包括什么？

生：整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：c²=5是整數(shù)？是分?jǐn)?shù)？

生：2²=4，3²=9，所以c應(yīng)該是在2和3之間，故c不是整數(shù)。

生：分?jǐn)?shù)不可能，兩個相同的分?jǐn)?shù)相乘都為分?jǐn)?shù)，所以c不可能是分?jǐn)?shù)。

師：回答得很好。我們把上述c²=5中，c既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù)的數(shù)稱之為無理數(shù)。

（本環(huán)節(jié)設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生動手實(shí)踐能力的同時，促進(jìn)其對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成就的深入了解，從而給學(xué)生普及更多的有人文味的數(shù)學(xué)。）

3.課后引入

選做題：以小組為單位，讓學(xué)生去查閱以及收集無理數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，作為數(shù)學(xué)知識分享會或者班級數(shù)學(xué)角的宣傳資料。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生在查閱無理數(shù)的數(shù)學(xué)史料的過程中，對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生熟悉印象和獲得相應(yīng)的認(rèn)知，擴(kuò)大他們在此方面的了解、增加他們的知識面，讓初中階段的學(xué)生了解到數(shù)學(xué)學(xué)科中的每一個知識都不是簡單地產(chǎn)生的，從而不斷激發(fā)初中階段的學(xué)生對數(shù)學(xué)未來領(lǐng)域的好奇心。）

4.教學(xué)反思

（1）數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)數(shù)學(xué)家的價值觀念，數(shù)學(xué)家故事是數(shù)學(xué)文化滲透的重要載體。M·克萊因曾指出，歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難正是課堂上學(xué)生所遇到的學(xué)習(xí)障礙。把握時機(jī)，有情感地講述“無理數(shù)”的悲壯故事，將靜態(tài)的數(shù)學(xué)文化轉(zhuǎn)化為動態(tài)的教學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)文化傳播過程，無形中使數(shù)學(xué)與學(xué)生的心靈距離拉近了，使學(xué)生在自己的大腦中建立起數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程，閃光的思想、歷史的脈搏深刻地影響學(xué)生，不僅使學(xué)生收獲知識，更收獲了隱藏在數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)過程中的思想、方法，濃郁的數(shù)學(xué)文化熏陶提升理性精神，數(shù)學(xué)故事性與科學(xué)性之間的橋梁架設(shè)起來，讓學(xué)生形成一種基本的科學(xué)和數(shù)學(xué)文化觀念，數(shù)學(xué)文化的價值在溯源中得到有效揭示。

（2）在數(shù)學(xué)知識教學(xué)中發(fā)展核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)中所涉及的真實(shí)歷史不應(yīng)當(dāng)只是簡單再現(xiàn)或灌輸式的說教介紹。教師應(yīng)有意識地對歷史進(jìn)行適當(dāng)重建或改造，引導(dǎo)學(xué)生通過自己的實(shí)踐還原歷史，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，知道知識發(fā)生的前因后果，增強(qiáng)推理能力，認(rèn)識到一些著名數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)的偉大成就時所經(jīng)歷的曲折過程。學(xué)生的好奇心由潛意識的狀態(tài)變?yōu)樽杂X追問的創(chuàng)新意識，達(dá)到培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的目的，從自主探究過程中體驗(yàn)到解決數(shù)學(xué)問題的成就感，學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的思維想”，形成邏輯推理素養(yǎng)，思維與表達(dá)的教學(xué)目標(biāo)在師生交流與反思中得到呈現(xiàn)。

（三）HPM融入復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計——將數(shù)學(xué)家的解題方法直接呈現(xiàn)

1.問題引入

師：意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano，1501—1576年）曾經(jīng)困惑于這樣一個問題：a+b=10，ab=40求a，b？同學(xué)們是否可以幫其求解？

師：兩位同學(xué)的回答都很棒，但都不是正確答案。那么此方程的答案究竟是怎樣呢？老師先保持一下它的神秘感。2t+4=0，∵△=b²-4ac=2²-4×1×4=-12<0，所以此方程無解。

師：回答得非常不錯，值得表揚(yáng)。但是很遺憾，沒有回答正確。此方程真的無解嗎？

（設(shè)計意圖：通過再引入萊布尼茨對x²+y²=2（x，y>0）的解題困惑，再次激起學(xué)生認(rèn)知沖突。同時讓學(xué)生感受到虛數(shù)和實(shí)數(shù)之間存在某種聯(lián)系，為學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)造動機(jī)。）

2.數(shù)學(xué)史引入

師：我們來看看虛數(shù)引入的歷史（插入前面的“虛數(shù)故事”）。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解虛數(shù)符號的來源，開闊其眼界，避免機(jī)械記憶，從而使其形象記憶獲得發(fā)展。）

3.課后引入

選做題：以四人一組的形式，讓學(xué)生去查閱復(fù)數(shù)相關(guān)的發(fā)展史料，下節(jié)課圍繞學(xué)生收集的內(nèi)容進(jìn)一步展開討論以及延伸，最后可收集優(yōu)秀學(xué)生的資料，指導(dǎo)其發(fā)表相關(guān)數(shù)學(xué)史論文。

（設(shè)計意圖：高中階段的學(xué)生已經(jīng)具備團(tuán)結(jié)、協(xié)助能力，讓他們討論、整理以及發(fā)表數(shù)學(xué)史小論文，不僅可以完善其對數(shù)系認(rèn)識的整體框架，還可以填補(bǔ)其數(shù)學(xué)文化歷程。這一做法有效地激發(fā)了學(xué)生對于數(shù)學(xué)文化的探究的熱情以及為數(shù)學(xué)發(fā)展奮斗終生的志向。）

4.教學(xué)反思

（1）數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)數(shù)學(xué)家的思想方法，內(nèi)化思想是數(shù)學(xué)文化滲透的重要體現(xiàn)。講故事查史料，小小虛數(shù)“i”及創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念的引入在數(shù)學(xué)史上是一個漫長又富有挑戰(zhàn)的過程，數(shù)系的擴(kuò)充可以看作是一個簡單的人類數(shù)學(xué)發(fā)展史。本節(jié)教學(xué)思路是通過抽象創(chuàng)造復(fù)數(shù)概念來滲透數(shù)學(xué)文化，主要的數(shù)學(xué)思想方法是類比。從自然數(shù)（N）→整數(shù)（Z）→有理數(shù)（Q）→實(shí)數(shù)（R）的擴(kuò)充過程，教師從數(shù)學(xué)知識自身發(fā)展需要和解決實(shí)際問題需要出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生提煉歸納數(shù)系擴(kuò)充的原則、方法，以此為本節(jié)知識的生長點(diǎn)，講述“虛數(shù)故事”，體會虛數(shù)引進(jìn)的歷史必然性，讓學(xué)生借助類比運(yùn)算，建立復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)集（C）概念，深刻感受類比方法在形成數(shù)學(xué)新概念和研究數(shù)學(xué)新問題中的重要作用。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思考中不知不覺地受到數(shù)學(xué)文化的浸潤。復(fù)數(shù)的概念學(xué)生在多年之后也許會逐漸忘記，但這種數(shù)學(xué)思想方法的浸潤與思維方式形成的習(xí)慣會深深刻在學(xué)生的頭腦中，隨時隨地發(fā)生作用，彰顯數(shù)學(xué)文化的力量。

（2）在問題解決教學(xué)中發(fā)展核心素養(yǎng)。創(chuàng)設(shè)情景將前面兩位著名數(shù)學(xué)家所遇到的困惑擺到學(xué)生面前，讓學(xué)生以問題驅(qū)動追尋知識本源，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)。通過問題比較發(fā)生“思維碰撞”，以“方程的解是否存在？”這個問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，持續(xù)追問，借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生追溯歷史深度閱讀史實(shí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng);以合作探究的方式經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)新知的過程，在借鑒歷史、感悟本源中了解數(shù)系擴(kuò)充的原則和方法，理解虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)等概念，回味冥思苦索后的豁然開朗，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。從特殊到一般、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，知識與技能目標(biāo)在數(shù)學(xué)史融入的土地中落地生根。學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的語言說”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

四、結(jié)語

立足HPM，以前人發(fā)展歷程來契合學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知的過程，通過歷史相似性，來增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)文化的提升以及數(shù)學(xué)觀的建立。數(shù)系的發(fā)展史蘊(yùn)含豐富的文化元素、厚重的文化積淀，充分挖掘其價值，有利于學(xué)生去觸摸數(shù)學(xué)知識豐贍的思想、文化和精神意蘊(yùn)，形成豐碩、曼妙的學(xué)研旅程，最終方能照亮學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成長道路，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)研究為教學(xué)設(shè)計提供了一個新的方向，以數(shù)系教學(xué)為例，就某一板塊具體內(nèi)容思考怎樣融入數(shù)學(xué)史的方法，特別是結(jié)合數(shù)學(xué)課程“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)”理解數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)教學(xué)滲透的意義，有利于重塑數(shù)學(xué)課程思政，為數(shù)學(xué)其他模塊體系化融入數(shù)學(xué)文化做探索。由于課堂時間有限，精選數(shù)學(xué)史料、突出思想方法、貼近教材學(xué)生、把握時機(jī)方式、方法多元多樣、貫通巧妙融入，都需要教師自身數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)文化觀念的積累。教師的史學(xué)形態(tài)、教育形態(tài)、教學(xué)形態(tài)的轉(zhuǎn)化與落實(shí)都要在課堂教學(xué)中檢驗(yàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效能應(yīng)當(dāng)持續(xù)關(guān)注。

[責(zé)任編輯：林志恒]