葉新和 (江蘇省泰州市高港區(qū)教育局 225301)

1 期望與現(xiàn)實(shí)間的落差

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下稱《課標(biāo)》)總目標(biāo)中新增要求：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力[1]8． 據(jù)此可以猜測(cè)，從2011年開始對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力的培養(yǎng)會(huì)成為數(shù)學(xué)教育界的研究熱點(diǎn)，會(huì)產(chǎn)生大量研究成果． 然而實(shí)際情況似乎并非如此．

中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心編輯出版的《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2020年第4期“問(wèn)題提出專題研究”專題的“編者按”中指出：“修訂后的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)課程的‘四能’：從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力． 通過(guò)各類測(cè)評(píng)和調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力相對(duì)薄弱，而且很多教師對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度提出問(wèn)題也缺乏有效的策略． 本期專題對(duì)國(guó)內(nèi)外的相關(guān)研究進(jìn)行了梳理，并對(duì)學(xué)生問(wèn)題提出能力的水平進(jìn)行調(diào)查研究，進(jìn)而分享了一些有益的教學(xué)探索，希望能對(duì)老師們有所啟發(fā)”[2]． 對(duì)此，筆者感到困惑的是：“編者按”中提到“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”，然而為何不對(duì)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”進(jìn)行研究，而是對(duì)“提出問(wèn)題”進(jìn)行研究？

2020年8月29日，筆者在“維普期刊”以“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”為關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索，得到2 029條記錄，增加關(guān)鍵詞“核心期刊”再次搜索，得到207條記錄，再增加時(shí)間“2011—2020”進(jìn)行搜索得到19條記錄，這19條記錄中沒(méi)有一條是涉及數(shù)學(xué)的． 再在中國(guó)知網(wǎng)以“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”“核心期刊”為關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索，結(jié)果得到245條記錄，其中與數(shù)學(xué)有關(guān)的15條，增加“期刊時(shí)間‘從2011年至不限’”進(jìn)行搜索，只剩下7條，其中只有1條與數(shù)學(xué)有關(guān)． 由此可見，2011年以后，相關(guān)研究不僅沒(méi)有得到加強(qiáng)，卻反而明顯有所弱化，在數(shù)學(xué)學(xué)科方面的成果更是很少． 從“問(wèn)題提出”的研究來(lái)看，似乎也可以作為佐證：由文[3]中的數(shù)據(jù)得到表1，可以看出，以2011年為分界線，2011年以后研究成果低于2011年之前． 為何《課標(biāo)》頒布之后研究成果反而變少了？

表1 2002—2017年有關(guān)問(wèn)題提出研究統(tǒng)計(jì)

對(duì)于一線教師而言，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)解讀》)權(quán)威性比較高． 然而其中關(guān)于“問(wèn)題”的描述以及對(duì)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”的界定，細(xì)細(xì)推敲，讀來(lái)令人不解． 關(guān)于“問(wèn)題”，書中如此描述：?jiǎn)栴}可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的發(fā)現(xiàn)，等等[4]116． 此處“發(fā)現(xiàn)”為名詞，因?yàn)闆](méi)有進(jìn)行限定，如果改為動(dòng)詞，需要自行補(bǔ)充內(nèi)容，是否可以任意補(bǔ)充內(nèi)容呢？比如說(shuō)只要是“發(fā)現(xiàn)”便就是“問(wèn)題”，那么自己發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系、空間關(guān)系等結(jié)論對(duì)自己來(lái)說(shuō)也是“問(wèn)題”？關(guān)于“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”，書中如此界定[5]124：所謂“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”，是經(jīng)過(guò)多方面、多角度的數(shù)學(xué)思維，從表面上看來(lái)沒(méi)有關(guān)系的一些現(xiàn)象中找到數(shù)量或者空間方面的某些聯(lián)系，或者找到數(shù)量或者空間方面的某些矛盾，并把這些聯(lián)系或者矛盾提煉出來(lái)． 困惑之處在于“將找到的聯(lián)系提煉出來(lái)”被認(rèn)為是“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”． “找到聯(lián)系”一般認(rèn)為是“發(fā)現(xiàn)結(jié)論”，如果“找到聯(lián)系”是“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”，那么“發(fā)現(xiàn)結(jié)論”成了“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”？此兩處的說(shuō)法難以令人信服，用于指導(dǎo)實(shí)踐說(shuō)服力不強(qiáng)．

在進(jìn)行培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力的探索中，筆者和課題組成員感覺研究不易深入，注意到數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，擬通過(guò)對(duì)生活中問(wèn)題發(fā)現(xiàn)的實(shí)例進(jìn)行剖析，來(lái)為培養(yǎng)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力提供啟迪．

2 生活中的問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

筆者生活自理能力比較差，在日常生活中經(jīng)?！鞍l(fā)現(xiàn)”問(wèn)題． 下面為筆者身上發(fā)生的真實(shí)案例．

案例一天上午上班前我偶然發(fā)現(xiàn)支付寶不能登錄，原因是以前設(shè)置的指紋登錄方式取消了. (后來(lái)回憶，幾天前進(jìn)村走訪指導(dǎo)居民登錄手機(jī)APP時(shí)，需要用自己的手機(jī)來(lái)示范． 手機(jī)設(shè)置了指紋解鎖登錄． 由于當(dāng)時(shí)戴的橡膠手套，如戴著手套便無(wú)法解鎖，而不戴手套，既不衛(wèi)生又不安全，便取消了手機(jī)指紋登錄的設(shè)置． 沒(méi)想到，支付寶指紋支付的方式不好用了． )

提示信息顯示可以通過(guò)短信驗(yàn)證碼的方式來(lái)登錄，然而試驗(yàn)幾次不得要領(lǐng)，還是無(wú)法登錄． 提示信息顯示還可用刷臉的方式登錄． 試著刷臉，彈出提醒要增加臉部的光亮，我便試著通過(guò)調(diào)整臉部跟手機(jī)攝像頭的位置來(lái)增加光亮，試驗(yàn)幾次無(wú)效． 兒子看后，說(shuō)是前置攝像頭模糊． 后來(lái)我便趕去上班． 當(dāng)日午間在辦公室登錄電腦，搜索“OPPO手機(jī)的前置攝像頭在哪里”，沒(méi)有找到相關(guān)帖子． 根據(jù)感覺將正面上方的圓孔、小橢圓孔用棉簽擦了一下再試，問(wèn)題好像沒(méi)有解決． 重新搜索“OPPO R9s”，在搜索結(jié)果中查找到有關(guān)OPPO R9s手機(jī)前置攝像頭的圖片，終于能夠確定手機(jī)正面上方的小圓孔處就是前置攝像頭的所在． 重新用棉簽仔細(xì)擦拭后再用刷臉?lè)绞降卿?，終于成功了．

分析這個(gè)案例可以發(fā)現(xiàn)，登錄支付寶之所以出現(xiàn)問(wèn)題，系期望情形(指紋能登陸)與實(shí)際情形(指紋登陸取消)之間出現(xiàn)了差距． 恢復(fù)指紋登錄、通過(guò)驗(yàn)證碼登錄、利用刷臉登錄，都因?yàn)楣P者欠缺相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，難以解決問(wèn)題． 其中在用刷臉?lè)绞絹?lái)解決時(shí)，不知是前置攝像頭模糊的原因，導(dǎo)致需要增加臉部光亮然而沒(méi)有辦法，問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為如何判斷前置攝像頭位置． 仍然因?yàn)榍啡毕嚓P(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，需要通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索相關(guān)知識(shí)來(lái)解決．

據(jù)此，我們或許可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)“問(wèn)題”：當(dāng)期望情形與實(shí)際情形之間出現(xiàn)差距，導(dǎo)致現(xiàn)有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)不能解決時(shí)，便形成了問(wèn)題． 相應(yīng)地，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是指意識(shí)到實(shí)際情形與期望情形之間存在差距，或者意識(shí)到現(xiàn)有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)不能解決出現(xiàn)的情況．

對(duì)前置攝像頭模糊的問(wèn)題，實(shí)際解決經(jīng)歷了“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題”的過(guò)程． 其解決過(guò)程體現(xiàn)了準(zhǔn)確描述問(wèn)題很重要，同時(shí)也說(shuō)明了：要準(zhǔn)確描述問(wèn)題，必須要具有相關(guān)的背景知識(shí)． 如果百度搜索時(shí)問(wèn)題描述不正確，那么問(wèn)題便得不到解決，自然最初的支付寶登錄問(wèn)題仍然無(wú)法解決． 撰寫本文時(shí)，筆者又以“OPPO R9s 前置攝像頭 位置”為關(guān)鍵詞進(jìn)行搜索，其中有一條名稱為“OPPO R9s位置信息設(shè)置在哪里”的帖子，感覺問(wèn)題的描述跟筆者當(dāng)時(shí)的情形差不多，點(diǎn)開一看，帖子前段內(nèi)容為：“OPPO R9s位置信息設(shè)置就是OPPO R9s 的GPS開關(guān)，打開GPS 設(shè)置就能獲取定位信息. ”看來(lái)這是如何在OPPO R9s手機(jī)上進(jìn)行定位設(shè)置的，與筆者期望解決的問(wèn)題不是一回事． 這再次驗(yàn)證與強(qiáng)化了相關(guān)認(rèn)識(shí)．

3 改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的探索

來(lái)自生活中問(wèn)題發(fā)現(xiàn)及解決的有關(guān)認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力是否具有啟迪價(jià)值？如果有，又如何應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)？

生活中不少問(wèn)題往往由于條件或者情況發(fā)生了變化，期望情形與實(shí)際情形之間就產(chǎn)生了差距． 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何看待“期望情形與實(shí)際情形之間的差距”？數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)[1]1． 對(duì)于一個(gè)具體的情境，數(shù)學(xué)學(xué)科僅僅關(guān)注其中的數(shù)量關(guān)系或者空間形式． 如果將理解或者解決該數(shù)量關(guān)系或者空間形式最少所需要的數(shù)學(xué)“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))視為期望情形或者理想情形，并將學(xué)生進(jìn)行理解或者解決時(shí)已經(jīng)具備的數(shù)學(xué)“四基”視為實(shí)際情形，那么兩者之間存在差距時(shí)會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題． 然而，對(duì)于具體的實(shí)際情境，需要尋找指定的數(shù)量關(guān)系或者空間形式時(shí)，學(xué)生往往不知道需要新學(xué)何種內(nèi)容才能夠解決，因此“期望情形與實(shí)際情形之間的差距”是從教師角度來(lái)看待的．

從學(xué)生角度看，意識(shí)到現(xiàn)有“四基”不能解決，此時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生困難、焦慮、挫敗等心理體驗(yàn)． 從心理體驗(yàn)的角度進(jìn)行描述，可能正是《課標(biāo)解讀》中將問(wèn)題解讀為“可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的發(fā)現(xiàn)，等等”的原因． 不過(guò)，對(duì)于同一種情境不同的人會(huì)有不同的心理感受，并且心理感受的類型多種多樣，列舉難以窮盡．

我們注意到，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科方面的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)可以用數(shù)學(xué)“四基”來(lái)概括． “四基”是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的提法，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)． 這樣看來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”可能用“對(duì)于某個(gè)情境，學(xué)生意識(shí)到自己的現(xiàn)有數(shù)學(xué)‘四基’難以解決，或者感覺與自己現(xiàn)有數(shù)學(xué)‘四基’不一致”來(lái)刻畫相對(duì)簡(jiǎn)便一些．

數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力應(yīng)從哪個(gè)環(huán)節(jié)開始？這一點(diǎn)頗費(fèi)思量． 針對(duì)具體情境，很多時(shí)候老師跟學(xué)生說(shuō)“你能夠發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題嗎？”會(huì)顯得牽強(qiáng)附會(huì)． 注意到案例中“提出問(wèn)題”是在意識(shí)到問(wèn)題的基礎(chǔ)上運(yùn)用有關(guān)術(shù)語(yǔ)來(lái)進(jìn)行表述，這表明提出問(wèn)題往往也意味著已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，不妨從“提出問(wèn)題”環(huán)節(jié)來(lái)進(jìn)行發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力培養(yǎng)．

《課標(biāo)解讀》中對(duì)“提出問(wèn)題”的界定為：所謂“提出問(wèn)題”，是指在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，把找到的聯(lián)系或者矛盾用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)集中地以“問(wèn)題”的形態(tài)表述出來(lái)． ”[4]124分析該界定，可以得到兩點(diǎn)結(jié)論：一是“提出問(wèn)題”是建立在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)上的． 能夠提出問(wèn)題，說(shuō)明已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題；二是提出問(wèn)題往往需要相應(yīng)的背景知識(shí)． 在數(shù)學(xué)學(xué)科中提出問(wèn)題，需要應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)(數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào))來(lái)進(jìn)行表述． 這兩點(diǎn)與剖析案例得到的認(rèn)識(shí)完全一致． 數(shù)學(xué)教學(xué)中從“提出問(wèn)題”環(huán)節(jié)開始來(lái)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力容易設(shè)計(jì)與實(shí)施．

案例中問(wèn)題比較復(fù)雜，仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)在問(wèn)題解決的過(guò)程中問(wèn)題是在不斷變化的，原有的復(fù)雜問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化為相對(duì)容易解決的問(wèn)題． 可見，數(shù)學(xué)教學(xué)中不必糾纏于從“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題”開始還是從“提出問(wèn)題”開始，只要在問(wèn)題解決中不斷生成新的問(wèn)題，總能有效培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力．

基于這樣認(rèn)識(shí)，筆者結(jié)合“平方根”內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力方面進(jìn)行了一些探索：[5]

問(wèn)題1 有的計(jì)算器顯示為“Error”． “Error”表示什么意思？選擇的整數(shù)具備什么共同點(diǎn)？你有何猜想？換幾個(gè)整數(shù)試試，驗(yàn)證你的猜想．

問(wèn)題2 觀察選擇的數(shù)字以及顯示的結(jié)果，你有何想法或者會(huì)提出什么問(wèn)題？

問(wèn)題4 對(duì)于算術(shù)平方根及其符號(hào)表示，你能提出什么問(wèn)題來(lái)考考同學(xué)嗎？

學(xué)生如果知道“Error”的含義，也會(huì)因?yàn)橐苫髲亩吧L(zhǎng)出”一系列問(wèn)題(或者由不知道含義到知道含義后會(huì)再次產(chǎn)生疑惑)：為什么有的顯示為“Error”，而有的顯示為數(shù)字？進(jìn)而會(huì)猜想：出現(xiàn)這樣的情況，或許是跟所選數(shù)字有關(guān);如果有關(guān)，那么這些數(shù)字具備什么共同點(diǎn)？換幾個(gè)具備這樣特征的數(shù)來(lái)試一試，是不是還有這樣的結(jié)論？

觀察結(jié)果顯示為具體數(shù)字的，感覺雜亂無(wú)章、眼花繚亂，有的學(xué)生可能會(huì)有一些想法：這里面是否具有一定規(guī)律？選擇結(jié)果比較簡(jiǎn)單的情形進(jìn)行觀察、分析，試一試，能否有所發(fā)現(xiàn)？如果有所發(fā)現(xiàn)，對(duì)于結(jié)果比較復(fù)雜的情形(小數(shù)位數(shù)比較多的)，是否還有這樣的結(jié)論(特征)？“你有何想法或者會(huì)提出什么問(wèn)題？”這一問(wèn)句能有效地鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出自己的疑惑、困難，或者以問(wèn)題形式來(lái)考考同伴在數(shù)量關(guān)系方面的認(rèn)識(shí)(數(shù)量關(guān)系既可能是提出問(wèn)題者已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)而期望了解同伴是否也發(fā)現(xiàn)了，也可能是提出問(wèn)題者沒(méi)有意識(shí)到期望同伴能夠發(fā)現(xiàn)并且告知自己的)．

問(wèn)題1至問(wèn)題5這些來(lái)自學(xué)生的系列問(wèn)題不斷驅(qū)動(dòng)著他們的思維向縱深展開，不斷引領(lǐng)著他們主動(dòng)探索與發(fā)現(xiàn)，有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新能力，而這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》中新增“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題能力”的初衷[4]123． 也因此在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)筆者考慮較多的是如何設(shè)問(wèn)更加自然、簡(jiǎn)潔并且直指數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)．

從上面的分析與探索可以得到兩點(diǎn)結(jié)論：一是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力雖然有難度，但是值得去做，也是能有所作為的；二是剖析生活中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題及其解決的實(shí)例，以指導(dǎo)在數(shù)學(xué)學(xué)科中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，不失為一種新的研究視角，是一種行之有效的方法，值得繼續(xù)探索與研究． 同時(shí)，也需要注意到兩者畢竟有所區(qū)別，不要機(jī)械遷移到數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中．