戚有建 石青慧 (江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 225009)

很多高考題看似平常，實(shí)際上卻很不平常，意蘊(yùn)豐富，都是經(jīng)由命題專家精心思考編制出來的，有很大的教學(xué)價值和研究空間. 本文從2020年全國卷的一道高考解析幾何題出發(fā)，首先探究問題的解法，再對問題進(jìn)行推廣和類比研究，最后研究問題的深刻背景及應(yīng)用．

1 考題展示

圖1

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn)．

點(diǎn)評本題是2020年全國卷Ⅰ理科第20題，是試卷的壓軸題，也是選拔題，與2010年江蘇卷第18題相似度很高. 第(1)問對學(xué)生來說很容易上手，化簡向量關(guān)系式求出基本量a即可;第(2)問證明直線過定點(diǎn)，意在考查用方程來研究曲線的性質(zhì)，即用代數(shù)方法(坐標(biāo)法)來研究幾何問題(定點(diǎn)問題). 本題看起來很平凡，實(shí)際上卻是平而不凡，有一定難度和區(qū)分度，也有很大的研究價值，我們重點(diǎn)研究第(2)問.

2 解法研究

除了文[1]中劉小樹、陳琳兩位老師給出的五種解法外，我們再給出構(gòu)造曲線系的證法：

3 推廣研究

證明過程類似，從略．

4 類比研究

將結(jié)論1中的“橢圓”改為“雙曲線”，結(jié)論成立嗎？研究后發(fā)現(xiàn)仍然成立，即有下面的結(jié)論：

說明 將結(jié)論1中的“橢圓”改為“圓”，結(jié)論也成立，因為圓可以看作是橢圓的特殊情況.

5 背景研究

(1)如圖2，設(shè)P為不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P引兩條割線交圓錐曲線于點(diǎn)E,F,G,H，設(shè)EG與FH交于點(diǎn)M，EH與FG交于點(diǎn)N，則稱MN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線． 同理，稱PN為點(diǎn)M對應(yīng)的極線，PM為點(diǎn)N對應(yīng)的極線．

圖2

現(xiàn)在我們用極點(diǎn)極線知識來解釋這道高考題，過程如下：

6 背景應(yīng)用

筆者做了一些研究，發(fā)現(xiàn)很多高考解析幾何題(定點(diǎn)定值問題)都與極點(diǎn)極線有關(guān)，都是以極點(diǎn)極線作為命題背景． 例如：

試題1(2011年四川卷理科21題)如圖3，已知橢圓的兩個頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)，過焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．

圖3

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

試題2(2012年北京卷理科19題)已知曲線C：(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)．

(1)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,求m的范圍;

(2)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線MN與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線AN與直線BM交于點(diǎn)G，求證:A,G,N三點(diǎn)共線.

圖4