張小英

[摘 要]建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)概括的過(guò)程。結(jié)合“乘法分配律”一課的教學(xué)，探討如何借助幾何直觀及變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生感知、抽象并內(nèi)化“乘法分配律”模型，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)模型;乘法分配律;建構(gòu)策略

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2021）35-0063-02

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，必然要經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象的過(guò)程，使其可以自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并完成解釋和應(yīng)用。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模必然是一個(gè)自主化的過(guò)程，但是當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐未對(duì)建模過(guò)程展開(kāi)深入探究，所以很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解普遍停留在表面，難以準(zhǔn)確把握其內(nèi)涵。

“乘法分配律”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)所在，在具體教學(xué)過(guò)程中，教師需要結(jié)合記憶以及反復(fù)的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，進(jìn)而體會(huì)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程。這一點(diǎn)非常關(guān)鍵，不僅有助于學(xué)生理解乘法的意義，還能夠讓學(xué)生對(duì)乘法分配律的成因展開(kāi)深度思考，幫助學(xué)生完成對(duì)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，高效且透徹地理解其內(nèi)涵。

一、借助幾何直觀，感知“乘法分配律”模型

雖然引入學(xué)生比較熟悉的生活問(wèn)題，可以拉近學(xué)生和乘法分配律之間的距離，但是想要實(shí)現(xiàn)成功的教學(xué)，不僅要揭示其現(xiàn)實(shí)意義，還要使學(xué)生透徹地理解其數(shù)學(xué)意義。而在教學(xué)過(guò)程中引入幾何直觀，可使學(xué)生對(duì)乘法分配律的數(shù)學(xué)模型形成更深刻的感知。

首先向?qū)W生呈現(xiàn)教材中的主題圖，然后設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題：在給廚房貼瓷磚的過(guò)程中，如果左面墻壁每排能夠貼5塊，總計(jì)貼4排，右面墻壁每排可以貼5塊，總計(jì)貼6排，請(qǐng)問(wèn)一共需要多少塊瓷磚？

在解答這一問(wèn)題之前，要求學(xué)生先畫(huà)圖，再列式。學(xué)生很快列出了兩道不同的算式：（6+4）×5=50（塊）;6×5+4×5=50（塊）。

師：大家先認(rèn)真觀察大屏幕所給出的圖形（如圖1），然后和同桌探討為什么這兩個(gè)算式是相等的。

生：因?yàn)榈忍?hào)左邊代表的是10個(gè)5相加，而右邊代表的是6個(gè)5相加和4個(gè)5相加，因此這兩個(gè)算式相等。

在理解這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，學(xué)生自主聯(lián)系了之前學(xué)習(xí)過(guò)的長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，可見(jiàn)，圖形能夠輔助學(xué)生理解算理。同時(shí)在學(xué)生進(jìn)行表達(dá)時(shí)，教師還要提高他們數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表述能力，為接下來(lái)乘法分配率的提煉奠定基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科探討的是空間形式和數(shù)量之間的關(guān)系，數(shù)形之間保持著極其緊密的關(guān)聯(lián)。因此，在組織教學(xué)時(shí)，不僅要強(qiáng)調(diào)乘法的意義，還要引入數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生建立豐富的表象認(rèn)知，體會(huì)數(shù)與形之間的密切關(guān)聯(lián)，然后理解其本質(zhì)含義。這樣才能夠?yàn)橄乱徊綌?shù)學(xué)模型的建構(gòu)奠定良好的基礎(chǔ)。

二、引導(dǎo)數(shù)學(xué)概括，抽象“乘法分配律”模型

當(dāng)學(xué)生對(duì)模型建立了初步的感知之后，可向其提供大量的類(lèi)似材料，幫助學(xué)生豐富表象、感悟模型，并留足夠的思考空間，使學(xué)生可以通過(guò)具體的例子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行描述，完成對(duì)模型的抽象和建構(gòu)。

1.引導(dǎo)數(shù)學(xué)觀察，探究算式規(guī)律

首先給出兩個(gè)算式（55+38）×2=55×2+38×2和（6+4）×3=6×3+4×3，要求學(xué)生觀察等式兩邊，找出規(guī)律，然后使用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)。學(xué)生基于現(xiàn)有的認(rèn)知水平，已經(jīng)能夠做出相對(duì)準(zhǔn)確的表述：等式左右兩邊相等，左邊是兩數(shù)之和與另一個(gè)數(shù)相乘，右邊是兩個(gè)加數(shù)分別與乘數(shù)相乘，然后再相加。

2.引導(dǎo)舉例驗(yàn)證，歸納算式規(guī)律

師：這個(gè)規(guī)律可以適用于任何地方嗎？是否可以舉出一些實(shí)例？

生1：例如（3+9）×22=3×22+9×22。

師：在這個(gè)例子中，等式的左右兩邊分別代表什么？

生1：左邊是12個(gè)22的和，右邊是3個(gè)22和9個(gè)22的和。

生2：又如（2+7）×3=2×3+7×3。

師：請(qǐng)你也解釋一下。

生2：左邊是9個(gè)3的和，右邊是2個(gè)3和7個(gè)3的和。

……

師：通過(guò)大家所舉的例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，能夠證明這個(gè)計(jì)算規(guī)律成立，這個(gè)規(guī)律叫作“乘法分配率”。如果讓你介紹這個(gè)規(guī)律，你會(huì)怎樣表達(dá)？

生3：兩數(shù)相加的和與另一個(gè)數(shù)相乘，所得的結(jié)果與這兩個(gè)數(shù)分別與乘數(shù)相乘之后再相加的結(jié)果相等。

之后組織學(xué)生思考，完成模型（▲+■）×●=？的建構(gòu)。學(xué)生得出：（▲+■）×●=▲×●+■×●。針對(duì)學(xué)生的回答，教師先表示肯定，然后再對(duì)具體的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)歸納。

3.引導(dǎo)交流總結(jié)，抽象數(shù)學(xué)模型

師：我們可以使用更簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)呈現(xiàn)這個(gè)規(guī)律：（a+b）×c=a×c+b×c。

所謂數(shù)學(xué)表象，就是根據(jù)所呈現(xiàn)的客觀事物，以及結(jié)構(gòu)或者形式，對(duì)其進(jìn)行概括或者描述，由此形成觀念性表象，如圖式。通過(guò)這一方式，可以幫助學(xué)生對(duì)計(jì)算規(guī)律形成初步感知，在經(jīng)過(guò)對(duì)比、觀察以及分析之后，總結(jié)規(guī)律，嘗試描述、表達(dá)，然后再對(duì)規(guī)律進(jìn)行抽象，形成數(shù)學(xué)模型。為了確保這一環(huán)節(jié)順利開(kāi)展，需要教師在建模時(shí)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察數(shù)學(xué)符號(hào)，進(jìn)而完成模型建構(gòu)以及相對(duì)規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá)。

三、借助變式練習(xí)，內(nèi)化“乘法分配律”模型

在應(yīng)用乘法分配律的過(guò)程中，很多學(xué)生出現(xiàn)了理解以及應(yīng)用困難，他們能夠理解 a×c+b×c=（a + b）×c，但是逆向運(yùn)用就出現(xiàn)了困難，既不能形成直觀的感知，也難以實(shí)現(xiàn)意識(shí)層面的深度理解。為此，需要運(yùn)用合理的方式引導(dǎo)學(xué)生逆向思考問(wèn)題。一方面要加強(qiáng)練習(xí)，使學(xué)生理解乘法的意義;另一方面，需要完成對(duì)模型結(jié)構(gòu)的內(nèi)化，幫助學(xué)生深化認(rèn)知，加強(qiáng)應(yīng)用。

1.借助對(duì)比練習(xí)，強(qiáng)化模型認(rèn)知

實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)用的情況，如所給出的算式并不需要應(yīng)用乘法分配律，卻被學(xué)生錯(cuò)誤地使用。特別是在一些簡(jiǎn)化運(yùn)算中，有些學(xué)生會(huì)忽視“因數(shù)相同”這樣一個(gè)非常關(guān)鍵的條件。針對(duì)學(xué)生的這一易錯(cuò)點(diǎn)，可給出兩道算式：（1）47×88+53×88;（2）47×88+53×89。

解題之前，先要求學(xué)生對(duì)比這兩個(gè)算式，然后展開(kāi)細(xì)致觀察，找出二者的異同，然后再和同桌展開(kāi)探討。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩道算式都是求兩個(gè)乘積之和，但是算式（1）中有一個(gè)因數(shù)相同，算式（2）沒(méi)有相同的因數(shù)。根據(jù)學(xué)生的這一發(fā)現(xiàn)，要求他們對(duì)照乘法分配律，了解只有算式（1）才適用這一法則。這樣的方式能夠幫助學(xué)生深化認(rèn)知，感受其中的關(guān)鍵性條件。

很多學(xué)生還會(huì)將乘法分配律與乘法結(jié)合律相混淆，所以需要在練習(xí)中增加對(duì)比環(huán)節(jié)：通過(guò)多個(gè)題組，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握不同的規(guī)律以及特點(diǎn)。例如，（40+4）×25和（40×4）×25、25×125×25×8和25×125+25×8。在練習(xí)之前，可以輔以引導(dǎo)式提問(wèn)：這幾組算式具有怎樣的特征？存在怎樣的區(qū)別？分別需要運(yùn)用哪個(gè)運(yùn)算規(guī)律？借助這一運(yùn)算規(guī)律，是否可以真正簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程？這么計(jì)算的原因是什么？讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比，清晰地把握不同法則各自的特征以及應(yīng)用條件，深化學(xué)生的理解，強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知和記憶。

2.借助逆向練習(xí)，內(nèi)化數(shù)學(xué)模型

在教學(xué)乘法分配律的過(guò)程中，需要教師給出豐富的感性材料，使學(xué)生展開(kāi)有目的、有順序的觀察，并通過(guò)合理的對(duì)比和逆向練習(xí)，內(nèi)化數(shù)學(xué)模型。為此，教師可提供兩組練習(xí)：（1）99×38+38;（2）46×38+54×39。

學(xué)生剛接觸這兩道題時(shí)，都認(rèn)為不能使用乘法分配律解題，但通過(guò)仔細(xì)觀察，就能夠發(fā)現(xiàn)這兩道題很有特點(diǎn)，可以對(duì)其進(jìn)行變式，之后再應(yīng)用對(duì)應(yīng)法則。例如算式（1），可以將38改寫(xiě)為38×1，這樣就能夠成功地利用之前所學(xué)習(xí)的舊知，即某個(gè)數(shù)與1相乘，這個(gè)數(shù)不變。在引入這一知識(shí)點(diǎn)之后，不僅有助于提高學(xué)生的解題能力，還能夠就此深化他們的認(rèn)知。對(duì)于算式（2），通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，其中有兩個(gè)乘數(shù)相加之后能夠得到100，對(duì)此學(xué)生就會(huì)思考：在不存在相同因數(shù)的情況下，究竟應(yīng)該怎樣變式才能使用乘法分配律對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化呢？教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注乘數(shù)39，對(duì)比前一組數(shù)字中的38，兩者相差1，將39改寫(xiě)為38+1，就可以解決這一問(wèn)題。在上述兩道題中都使用了乘法分配率，一次為順向、一次為逆向，通過(guò)這樣解題，有助于深化學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)知，有效訓(xùn)練其思維的靈活性，提高其解題能力，使其樹(shù)立解題自信，并從內(nèi)心生發(fā)濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。

總之，在學(xué)習(xí)乘法分配律的過(guò)程中，既要充分鏈接學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生可以完成對(duì)數(shù)學(xué)模型的提煉以及建構(gòu)，還要輔以數(shù)形結(jié)合，幫助其理解深化認(rèn)知，并為日后的深入學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

（責(zé)編 羅 艷）