鄭 藝, 王明洲

一種滑動(dòng)后向遞推的EKF純方位目標(biāo)跟蹤方法

鄭 藝, 王明洲

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第705研究所, 陜西 西安, 710077)

由于只有一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)且只能獲取目標(biāo)方位信息, 被動(dòng)的單站純方位水下目標(biāo)跟蹤是定位跟蹤領(lǐng)域的難點(diǎn)之一。在工程應(yīng)用中有時(shí)存在觀測(cè)時(shí)間短、數(shù)據(jù)量小的情況, 進(jìn)一步加大了定位跟蹤的難度?；诖? 文中研究了常規(guī)擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)原理, 分析了其在單站純方位目標(biāo)跟蹤中狀態(tài)估計(jì)變化的特點(diǎn), 并通過公式推導(dǎo)進(jìn)行了證明。針對(duì)短時(shí)觀測(cè)、小數(shù)據(jù)量的特殊背景, 提出了一種滑動(dòng)后向遞推的EKF方法, 通過后向遞推與正向遞推的結(jié)合, 增加對(duì)數(shù)據(jù)的反復(fù)利用, 降低了估計(jì)誤差。仿真試驗(yàn)結(jié)果證明, 在不同觀測(cè)噪聲、不同噪聲協(xié)方差估計(jì)的情況下, 對(duì)于短時(shí)觀測(cè)小數(shù)據(jù)量下的單站純方位目標(biāo)跟蹤, 文中方法比常規(guī)EKF方法具有更低的誤差。

水下目標(biāo)跟蹤; 后向遞推; 擴(kuò)展卡爾曼濾波; 純方位; 短時(shí)觀測(cè)

0 引言

水下單站純方位的被動(dòng)目標(biāo)跟蹤僅利用單個(gè)觀測(cè)站在隱蔽的狀態(tài)下對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位跟蹤, 從而實(shí)現(xiàn)秘密的行動(dòng)策劃與目標(biāo)打擊, 是水下無源定位跟蹤領(lǐng)域熱點(diǎn)方法之一[1]。但由于只有一個(gè)觀測(cè)站且只能獲取目標(biāo)方位信息, 水下單站純方位目標(biāo)跟蹤也是最具挑戰(zhàn)性的方法之一[2]。在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中, 有時(shí)會(huì)存在目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度快、觀測(cè)時(shí)間短、觀測(cè)數(shù)據(jù)量少的情況, 因此如何在較短的觀測(cè)時(shí)間中實(shí)現(xiàn)快速收斂并降低估計(jì)誤差, 是單站無源定位跟蹤領(lǐng)域亟待解決的難點(diǎn)之一。

水下單觀測(cè)站的純方位目標(biāo)定位利用測(cè)向交叉定位原理, 反映了一種非線性濾波問題[3]。針對(duì)這一類問題, 下列基于貝葉斯原理的遞推類濾波方法得到廣泛運(yùn)用: 擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)[4]通過對(duì)非線性方程進(jìn)行1階泰勒級(jí)數(shù)展開, 從而逼近真實(shí)的狀態(tài)分布; 無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)[5]根據(jù)確定性采樣方法, 通過無跡變換來獲取目標(biāo)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差分布; 容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter, CKF)[6]通過三自由度球面-徑向容積規(guī)則構(gòu)建, 將非線性濾波看作非線性函數(shù)與高斯概率密度乘積的積分求解問題; 粒子濾波(particle filter, PF)[7]在每個(gè)時(shí)刻通過加權(quán)粒子集來估計(jì)目標(biāo)的均值和標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差, 其缺點(diǎn)在于運(yùn)算量大。近年來, 由這類算法衍生的一些算法也得到了學(xué)者們的關(guān)注, 例如: 通過一些特定的規(guī)則加入調(diào)整系數(shù)對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)的方法[8]; 基于QR分解的平方根類濾波算法[9-10]; 結(jié)合自適應(yīng)算法對(duì)噪聲統(tǒng)計(jì)進(jìn)行估計(jì)的改進(jìn)方法[11-12]; 基于粒子群優(yōu)化方法的改進(jìn)算法[13-14]。這些算法存在一個(gè)共同問題[15], 就是由于后續(xù)估計(jì)是通過前值遞推所得, 前值的誤差會(huì)對(duì)后續(xù)濾波結(jié)果造成持續(xù)影響。在短時(shí)觀測(cè)、小數(shù)據(jù)量的情形下, 引入的誤差難以快速消除, 狀態(tài)估計(jì)前值對(duì)后值的影響效應(yīng)更為明顯。

文中根據(jù)分析EKF濾波中狀態(tài)估計(jì)的變化特點(diǎn), 提出一種基于滑動(dòng)后向遞推的EKF(sliding backward recursive-EKF, SBR-EKF)初值優(yōu)化方法, 在不需要增加新的觀測(cè)量的前提下, 利用現(xiàn)有的觀測(cè)數(shù)據(jù)后向?yàn)V波, 通過前后雙向的遞推對(duì)目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。仿真結(jié)果表明, 該方法可以加快算法收斂速度, 降低估計(jì)誤差, 得到更精確的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)值。

1 基于EKF的單站純方位目標(biāo)跟蹤

1.1 觀測(cè)模型

對(duì)于純方位目標(biāo)跟蹤, 觀測(cè)量是方位角, 觀測(cè)方程為

1.2 EKF步驟

線性化后的觀測(cè)方程為

用狀態(tài)方程(1)和線性化后觀測(cè)方程(4)進(jìn)行卡爾曼濾波, 可得到EKF的遞推方程, 步驟和線性卡爾曼濾波相似, 為了減少線性化誤差, 在計(jì)算狀態(tài)預(yù)測(cè)和觀測(cè)預(yù)測(cè)時(shí), 仍然使用非線性函數(shù)。EKF具體步驟如下[4]。

1) 求解狀態(tài)預(yù)測(cè)值

2) 求解狀態(tài)協(xié)方差預(yù)測(cè)值

3) 求解卡爾曼增益矩陣

4) 狀態(tài)更新

5) 協(xié)方差更新

通過式(5)~式(9), 可完成EKF一個(gè)計(jì)算周期, 整個(gè)計(jì)算過程就是通過各時(shí)刻獲取的觀測(cè)量反復(fù)循環(huán)計(jì)算, 從而獲取各個(gè)時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)。

2 狀態(tài)估計(jì)變化方式

2.1 狀態(tài)估計(jì)變化

圖1 目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)位置變化

2.2 證明

將式(8)按矩陣元素展開, 得

式中,(1)和(3)分別為卡爾曼增益矩陣中的第1、第3個(gè)元素。

協(xié)方差矩陣初值

根據(jù)式(7)求卡爾曼增益矩陣

將式(20)除以式(19)得

3 后向遞推EKF

通過以上分析與證明可知, 由于目標(biāo)狀態(tài)并不隨迭代直接向真實(shí)值靠近, 而是隨著迭代向觀測(cè)線方向靠近, 因此從初值選取開始, 狀態(tài)估計(jì)前值的不同可能造成后續(xù)收斂情況不同, 常表現(xiàn)為初值對(duì)濾波的影響。當(dāng)目標(biāo)和觀測(cè)站相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況不同時(shí), 狀態(tài)估計(jì)結(jié)果可能不同。實(shí)際工程中, 由于無法預(yù)知估計(jì)值與真實(shí)值的位置關(guān)系, 估計(jì)值難以隨遞推逐漸收斂到真值附近。尤其在短時(shí)觀測(cè)下, 觀測(cè)數(shù)據(jù)量少且觀測(cè)站機(jī)動(dòng)不足, 難以保證估計(jì)的誤差迅速縮小。文中提出的SBR- EKF可通過后向遞推與正向遞推結(jié)合, 增加對(duì)數(shù)據(jù)的反復(fù)利用, 從而降低濾波誤差。

3.1 后向遞推

將系統(tǒng)狀態(tài)方程式(1)寫成方程組形式

對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)目標(biāo), 其速度不變, 則有

將式(23)寫成矩陣的形式

3.2 SBR-EKF

SBR-EKF方法通過在滑動(dòng)窗內(nèi)進(jìn)行后向遞推得到前值估計(jì), 再根據(jù)新的前值估計(jì)重新進(jìn)行目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)。窗長(zhǎng)為的SBR-EKF簡(jiǎn)要步驟如下:

圖2 滑動(dòng)后向遞推示意圖

Fig. 2 Diagram of sliding backward recursion

4 仿真與分析

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性, 進(jìn)行了以下仿真試驗(yàn)。文中的研究目的是解決快速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)短時(shí)觀測(cè)下的純方位被動(dòng)跟蹤問題, 比如高速運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的末程攻擊情形, 特點(diǎn)為短時(shí)觀測(cè)小數(shù)據(jù)量, 仿真參數(shù)設(shè)置以此為背景。進(jìn)行100次蒙特卡洛試驗(yàn), 用100次試驗(yàn)的均方根誤差(root mean square error, RMSE)來衡量跟蹤效果

式中:為不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn);為試驗(yàn)次數(shù)。RMSE可看作目標(biāo)位置估計(jì)與目標(biāo)真實(shí)位置之間的距離, 其值越小定位結(jié)果越準(zhǔn)確。

設(shè)置目標(biāo)初始位置為原點(diǎn), 目標(biāo)以45 kn的速度向東勻速直線行駛。觀測(cè)站初始位置在目標(biāo)東偏北35o方向, 以50 kn的速度向目標(biāo)方向行駛, 以7o提前角追蹤目標(biāo), 速度50 kn。觀測(cè)站與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)見圖3。觀測(cè)站對(duì)目標(biāo)觀測(cè)時(shí)間為6 s, 觀測(cè)量為目標(biāo)方位, 測(cè)向的時(shí)間間隔為0.1 s。

4.1 不同窗長(zhǎng)比較

設(shè)置觀測(cè)噪聲(即不同測(cè)向誤差)均值為0、協(xié)方差為2o, SBR-EKF的滑動(dòng)窗長(zhǎng)分別為1、5、10, 進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真。圖4為EKF與不同窗長(zhǎng)SBR-EKF的濾波RMSE比較, 可以看到, SBR-EKF相比于EKF有更低的RMSE, 且此種情況下窗長(zhǎng)越長(zhǎng)濾波效果越好。不同窗長(zhǎng)SBR-EKF的單次濾波平均計(jì)算時(shí)間如表1所示, 并計(jì)算其相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)EKF的計(jì)算時(shí)間。結(jié)果顯示與3.2節(jié)中計(jì)算量分析基本相符, 隨取值增大, 計(jì)算時(shí)間增長(zhǎng)。

圖3 觀測(cè)站與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)圖

圖4 SBR-EKF與EKF效果比較

表1 單次濾波平均計(jì)算時(shí)間和相對(duì)時(shí)長(zhǎng)

4.2 不同觀測(cè)噪聲比較

為了對(duì)比觀測(cè)噪聲下2種方法的性能, 在觀測(cè)噪聲協(xié)方差分別為1o~5o的情況下進(jìn)行上述仿真試驗(yàn)。100次蒙特卡洛試驗(yàn)后, 統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果的平均RMSE如圖5所示, 統(tǒng)計(jì)觀測(cè)的最終時(shí)刻RMSE如圖6所示。

從圖中可以看到, 在不同的觀測(cè)噪聲下, 所提方法誤差均小于常規(guī)EKF, 且對(duì)于最終誤差的改善效果優(yōu)于對(duì)于平均誤差的改善效果。值得注意的是, 在觀測(cè)噪聲較大的情況下,取值越大, 平均誤差和最終誤差會(huì)更低; 而在觀測(cè)噪聲協(xié)方差陣較小(如1°)的情況下,=10的效果更差。這是由于觀測(cè)噪聲協(xié)方差較小的情況下, 過多的后向遞推步數(shù)會(huì)造成對(duì)前值的過度估計(jì), 使得濾波誤差增大。因此在實(shí)際應(yīng)用中, 根據(jù)觀測(cè)噪聲的情況和計(jì)算能力合理選擇值是有必要的。

圖5 不同測(cè)向精度下平均RMSE比較

圖6 不同測(cè)向精度下的最終RMSE比較

4.3 不同噪聲協(xié)方差估計(jì)

圖7 不同觀測(cè)噪聲協(xié)方差估計(jì)

圖8 不同過程噪聲協(xié)方差估計(jì)

5 結(jié)束語

文中在短時(shí)觀測(cè)小數(shù)據(jù)量的背景下, 提出了一種SBR-EKF的水下純方位目標(biāo)跟蹤方法。該方法在常規(guī)EKF的基礎(chǔ)上進(jìn)行滑動(dòng)后向遞推, 通過觀測(cè)數(shù)據(jù)的正反雙向遞推, 增加對(duì)數(shù)據(jù)的反復(fù)利用。仿真試驗(yàn)結(jié)果表明, 該方法相較于常規(guī)EKF有更好的性能, 可達(dá)到更低的估計(jì)誤差, 表明了其較好的可行性和工程應(yīng)用價(jià)值。該算法也適用于其他非線性濾波問題, 可為其他領(lǐng)域的應(yīng)用提供新思路。后續(xù)的研究目標(biāo)為探索更廣泛的算法應(yīng)用, 以及改善由于多次迭代導(dǎo)致的算法計(jì)算量增加問題。

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Sliding Backward Recursive EKF Bearings-Only Target Tracking Method

ZHENG Yi, WANG Ming-zhou

(The 705 Research Institute, China Shipbuilding Industry Corporation, Xi’an 710077, China)

In the field of target location and tracking, when only one observer is present and only the bearings of the target can be obtained, passive bearings-only underwater target tracking by a single observer is difficult. In engineering applications, the time of observation is short and the amount of data is sometimes small, which makes target location and tracking more difficult. In this study, the principle of a conventional extended Kalman filter(EKF) is studied and the characteristics of state estimation changes in bearings-only target tracking by a single observer are analyzed and proved by formula derivation. Considering the special background of short-term observation and the existence of a small amount of data, this study proposes a sliding backward recursive EKF method. Through a combination of backward and forward recursion, the data are reused and estimation errors are reduced. In a simulation of different observation noises and noise covariance estimates, results show that the proposed method generates lower errors than the conventional EKF for bearings-only target tracking by a single observer using a small amount of short-term observation data.

underwater target tracking; backward recursion; extended Kalman filter(EKF); bearings-only; short-term observation

TJ630.34; U664.82

A

2096-3920(2020)06-0663-07

10.11993/j.issn.2096-3920.2020.06.011

2020-07-14;

2020-09-27.

鄭 藝(1992-), 女, 在讀博士, 主要研究方向?yàn)樗履繕?biāo)跟蹤定位.

鄭藝, 王明洲. 一種滑動(dòng)后向遞推的EKF純方位目標(biāo)跟蹤方法[J]. 水下無人系統(tǒng)學(xué)報(bào), 2020, 28(6): 663-669.

(責(zé)任編輯: 楊力軍)