葉世海，韓修林

（阜陽(yáng)師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037 ）

0 引言

物理天平是基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中一個(gè)基本的測(cè)量工具，雖然眾所周知其測(cè)量原理是等臂杠桿平衡原理，即天平平衡時(shí)，待測(cè)物的重量與砝碼相等，進(jìn)而得出待測(cè)物的質(zhì)量與砝碼相等[1]。對(duì)于等臂杠桿，如圖1(a)和圖1(b)所示。

其支撐點(diǎn)O 在杠桿的中點(diǎn)，無(wú)論其處于水平還是傾斜平衡狀態(tài)，待測(cè)物的力臂R1都應(yīng)與砝碼的力臂R2相等，待測(cè)物的重量與砝碼相等，進(jìn)而待測(cè)物的質(zhì)量與砝碼相等，那么稱量時(shí)為什么要求天平橫梁必須水平平衡呢？物理天平橫梁為什么是金屬片狀而不是桿狀？橫梁上感量指針及感量指針上的感量重錘作用是什么？橫梁測(cè)量精度（0.1g）[2]是如何定標(biāo)出來(lái)的？這些問(wèn)題實(shí)驗(yàn)教材都未具體給出說(shuō)明，使得學(xué)生對(duì)物理天平缺乏具體認(rèn)識(shí)，造成天平實(shí)驗(yàn)具體操作困難重重，稱量時(shí)產(chǎn)生較大測(cè)量誤差。為此筆者從等臂杠桿平衡原理著手，結(jié)合物理天平結(jié)構(gòu)，對(duì)影響物理天平測(cè)量誤差的幾個(gè)因素做了具體的分析與研究，不僅使大家對(duì)物理天平有了深刻的認(rèn)識(shí)，提高了測(cè)量精度，而且使大家理論聯(lián)系實(shí)際、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的水平得到大幅度提高，大大增強(qiáng)實(shí)踐創(chuàng)新這一綜合能力。

圖1 (a) 等臂杠桿水平平衡狀態(tài)Fig.1(a) Horizontal equilibrium state of equal arm lever

圖1 (b) 等臂杠桿傾斜平衡狀態(tài)Fig.1(b) Equal arm lever tilt balance state

圖2 物理天平結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of physical balance

圖3 等臂天平傾斜平衡示意圖Fig.3 Inclined balance diagram of equal arm balance

1 物理天平的結(jié)構(gòu)分析

物理天平的結(jié)構(gòu)如圖2 所示，雖然其測(cè)量原理是等臂杠桿平衡原理，但是不能把它看作是一個(gè)簡(jiǎn)單的等臂杠桿，因?yàn)楫?dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)支起旋鈕，支起橫梁時(shí)，橫梁、左右吊耳、盤架、盤和感量指針、感量重錘都要繞著中央支起刀口轉(zhuǎn)動(dòng)，故物理天平的杠桿應(yīng)看成由橫梁、左右吊耳、盤架、盤和感量指針、感量重錘組成的轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)。通過(guò)改變橫梁的質(zhì)量分布和調(diào)節(jié)橫梁上調(diào)平螺母可以使系統(tǒng)重心（也可以認(rèn)為是質(zhì)心）落到感量指針上。等臂是指橫梁上左右吊耳刀口到中央支起刀口距離相等。當(dāng)天平水平平衡時(shí)，顯然杠桿的重心與中央支起刀口處在同一重垂線上，其力臂為零，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)無(wú)影響，待測(cè)物與砝碼相對(duì)中央支起刀口力矩相等，而待測(cè)物與砝碼相對(duì)中央支起刀口力臂又相等，故待測(cè)物的重量與砝碼相等，進(jìn)而得出待測(cè)物的質(zhì)量與砝碼相等。

若天平傾斜平衡，如圖3所示。則杠桿的重心已偏離了中央支起刀口所處重垂線，其力臂不為零，力矩不為零，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生了影響，盡管待測(cè)物與砝碼相對(duì)中央支起刀口力臂仍相等，但待測(cè)物與砝碼相對(duì)中央支起刀口力矩已顯然不相等，故待測(cè)物的重量與砝碼不相等，進(jìn)而得出待測(cè)物的質(zhì)量與砝碼不相等，這樣就無(wú)法用砝碼質(zhì)量定出待測(cè)物體的質(zhì)量。這就是天平在稱量時(shí)必須水平平衡的原因。至于物理天平橫梁為什么是金屬片狀而不是桿狀，就是為了便于改變它的質(zhì)量分布，使橫梁、左右吊耳、盤架、盤和感量指針、感量重錘組成的整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)重心（也可以認(rèn)為是質(zhì)心）落到感量指針上。

2 影響物理天平測(cè)量誤差的幾個(gè)因素

2.1 物理天平的感量

天平的感量就是天平在一定載重或空載時(shí)，使天平指針從平衡位置偏轉(zhuǎn)到感量刻度盤一分度所需增減的砝碼質(zhì)量。天平銘牌上標(biāo)示的感量是天平最大稱量時(shí)的感量，比最小稱量時(shí)的感量要大一點(diǎn)，如果是粗略測(cè)量這個(gè)結(jié)果也可以。圖2所示乃等臂天平，臂長(zhǎng)R（左右吊耳刀口到中央支起刀口距離）,由橫梁、左右吊耳、盤架、盤和感量指針、感量重錘組成的繞中央支起刀口轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的重心為C，到中央支起刀口O的距離為H，重量為G0，橫梁距離標(biāo)尺D，天平的感量用S表示。假設(shè)天平兩側(cè)負(fù)載均為m時(shí)，天平平衡，指針位于豎直向下，右盤增加質(zhì)量為Δm的砝碼后，指針在標(biāo)尺上移動(dòng)距離d，指針偏轉(zhuǎn)角度θ，然后天平傾斜靜止，根據(jù)杠桿定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡條件有[4]：

由圖1所示的幾何關(guān)系有：

根據(jù)天平感量的定義可得：

由以上可以推出天平感量S的表達(dá)式如下：

由式（4）可知，可以通過(guò)調(diào)節(jié)感量重錘改變重心C的位置來(lái)改變天平的感量，受外部因素的影響，因R、D改變，也會(huì)使S發(fā)生變動(dòng)[5]，不過(guò)相對(duì)來(lái)說(shuō)S算個(gè)定值。感量S的倒數(shù)叫天平的靈敏度, 就是在一個(gè)秤盤上加放小砝碼, 再看感量標(biāo)尺上感量指針?biāo)D(zhuǎn)的若干分度。偏轉(zhuǎn)的分度越多, 靈敏度就越高；偏轉(zhuǎn)的分度越少, 則說(shuō)明天平的靈敏度就越低。所以感量也叫做“分度值”，常以“毫克”（mg）為單位，感量反映了天平的靈敏程度。橫梁上示值也是根據(jù)游碼沿橫梁移動(dòng)感量指針偏轉(zhuǎn)情況定標(biāo)出來(lái)的[6]。使用天平時(shí)會(huì)產(chǎn)生相對(duì)誤差，相對(duì)誤差與稱量質(zhì)量和感量直接的關(guān)系是：式（4）表明感量是表征天平測(cè)量精度的一個(gè)量，顯然感量大精度低，感量小精度高。如果S發(fā)生變動(dòng)，真實(shí)值與標(biāo)稱值不相符，那么就會(huì)增加一定測(cè)量誤差，因此技術(shù)人員通常是通過(guò)調(diào)節(jié)感量錘來(lái)維持S為標(biāo)稱值，減小這種誤差。

2.2 不等臂誤差對(duì)物理天平測(cè)量誤差的影響

天平空載平衡時(shí)，感量指針指在感量標(biāo)尺中央刻度，只能說(shuō)明天平重心C與中央支起刀口O在同一重垂線上，并不能說(shuō)明天平等臂。天平的不等臂指的是橫梁上左右吊耳刀口到中央支起刀口不相等[7]，如圖4所示。R1≠R2，天平稱量平衡時(shí)，根據(jù)平衡條件：

圖4 等臂天平稱量示意圖Fig.4 Weighing diagram of equal arm balance

圖5 刀口連線及感量相等示意圖Fig.5 Schematic diagram of knife edge connection and equal sensitivity

所以m物≠m碼，而產(chǎn)生一定測(cè)量誤差。臂差帶來(lái)的誤差多少及消除方法請(qǐng)參看文獻(xiàn)[8]。

2.3 三刀刃非共面性對(duì)物理天平測(cè)量誤差的影響[9]

在分析刀線與測(cè)量誤差的問(wèn)題時(shí)，可以分為3種情況：連線、離線及吃線。

2.3.1 連線

在理想狀態(tài)下，天平的橫梁、刀子和刀承均是理想的剛體，刀刃線是幾何直線，刀承為一集合平面，三刀刃線相互平行且垂直于橫梁，三把刀口都在一條直線上，也就是說(shuō)三刀刃完全位于同一理想的幾何平面，全秤感量和空秤感量一致，這樣托盤前后移動(dòng)對(duì)測(cè)量結(jié)果沒(méi)有影響[10]，如圖5所示。當(dāng)天平水平時(shí)a=b，如果橫梁擺動(dòng)一個(gè)角度以后a'=b'，力臂仍然相等，測(cè)得結(jié)果準(zhǔn)確。

2.3.2 離線

離線的定義是三刀口不在一條直線上，中間刀口在兩邊刀口連線上方。這樣會(huì)出現(xiàn)全秤感量低于空秤感量，如圖6所示。由圖6可知：當(dāng)天平水平時(shí)a=b，AC=BD；如果橫梁擺動(dòng)一個(gè)角度以后，就會(huì)出現(xiàn)a'B'D'，力臂不再相等，測(cè)量結(jié)果不準(zhǔn)確[11]。

圖6 刀口離線及感量改變示意圖Fig.6 Schematic diagram of cutting edge off-line and sensitivity change

圖7 刀口吃線及感量改變示意圖Fig.7 Schematic diagram of cutting edge thread taking and sensory change

2.3.3 吃線

吃線的定義是三刀口不在一條直線上，中間刀口在兩邊刀口連線下方。這樣會(huì)出現(xiàn)空秤感量低于全秤感量，如圖7所示。由圖7可知：當(dāng)天平水平時(shí)a=b，AC=BD；如果橫梁擺動(dòng)一個(gè)角度以后，就會(huì)出現(xiàn)a'>b'，A'C'

3 結(jié)束語(yǔ)

從杠桿平衡原理著手，對(duì)物理天平結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入剖析，掌握了天平具體調(diào)節(jié)的要求和步驟，進(jìn)而分析影響物理天平測(cè)量誤差的幾個(gè)因素，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，不僅使大家對(duì)物理天平有了深刻的認(rèn)識(shí)，使用天平時(shí)更加得心應(yīng)手，在規(guī)范的操作下使得測(cè)量誤差盡量縮小，提高了測(cè)量精度，而且使大家理論聯(lián)系實(shí)際、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的水平得到大幅度提高，大大增強(qiáng)綜合實(shí)踐創(chuàng)新這一能力。