張 婧，劉興祥，劉娟娟

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

近年來，幻方研究者立足于和幻方的研究，使其研究成果[1-16]頗為豐富。而積幻方在幻方中同樣占有重要地位，尤其是完美積幻方具備更強的幻性，因此，其應(yīng)用更為廣泛，但還沒有展開廣泛研究。本文給出一系列完美積幻方的定義，得到一種利用完美和幻方構(gòu)造完美積幻方的方法，并給出證明和舉例。

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)F是數(shù)域，矩陣A+(aij)m×m∈Fm×m，如果矩陣A滿足：

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m階積幻方，并稱P(A)為m階積幻方A的幻積。

定義2[2]若矩陣A滿足：

1)?i∈{1,2,…,m}有

2)?j∈{1,2,…,m}有

Pc；

3)Pc=Pr=

則稱矩陣A為數(shù)域F上的m階積幻方，并稱P為m階積幻方A的幻積。

2 主要結(jié)果

定義3 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈Zn×n，n∈N*，若矩陣A滿足以下條件：

5)Pr=Pl=Pm=Pn。

則稱矩陣A=(aij)n×n為Z上的n階積幻方，幻積記為P。

定義4 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈Zn×n，n∈N*，記p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

5)Pr=Pl=Pn=Pm。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階完美積幻方，幻積記為P。

定義5 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{1，2，…，n2}，n∈N*，?u∈{0，1，…，n-1}，記p≡i+u(modn),q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

5)Pr=Pl=Pm=Pn。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階始元完美積幻方，幻積記為P。

定義6 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{k+1，k+2，…，k+n2}，n∈N*，?u∈{0，1，…，n-1}，記p≡i+u(modn)，q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

5)Pr=Pl=Pm=Pn。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階連元完美積幻方，幻積記為P。

定義7 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈S，n∈N*，其中S={x1,x2,…,xn}，?i,j{1,2,…,n}，有i≠j，則ai≠aj，?u∈{0，1，…，n-1}，記p≡i+u(modn)，q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

1)?i,j,k∈{1,2,…，n}，當(dāng)j≠k時，aij≠aik；

2)?i,j,k∈{1,2,…，n}，當(dāng)i≠k時，aij≠akj；

3)?i,j,∈{1,2,…，n}，當(dāng)i≠j時，aip≠ajp；

4)?i,j,k∈{1,2,…，n}，當(dāng)i≠j時，aip≠ajp。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階完美拉丁和積幻方，幻和記為S，幻積記為P，且S=P。

定義8 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈S，S={b,bq,bq2，…,bqn2-1}，若矩陣A滿足以下條件：

5)Pr=Pl=Pm=Pn。

則稱矩陣A=(aij)n×n為Z上的n階等比積幻方，幻積記為P。

定義9 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈S，n∈N*，其中S={b,bq,bq2，…，bqn2-1}，?i，j∈{1，2，…，n}，有i≠j，則ai≠aj，?u∈{0，1，…，n-1}，記p≡i+u(modn)，q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

5)Pr=Pl=Pm=Pn。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階完美等比積幻方，幻積記為P。

定理1 若矩陣A=(aij)n×n∈Z滿足：

5)Sc=Sl=Smd=Scd。

令矩陣B=(f(aij))n×n，其中f(x)=cx，c∈Z，則矩陣B為積幻方。

ca1,nca2,n-1…can,1=cScd，

由于Sc=Sl=Smd=Scd，

可得cSc=cSl=cSmd=cScd，則Pr=Pl=Pm=Pn。

證畢。

推論1 若矩陣A是連元和幻方，則矩陣B是等比積幻方。

推論2 若矩陣A是完美和幻方，則矩陣B是完美積幻方。

推論3 若矩陣A是連元完美和幻方，則矩陣B是完美等比積幻方。

3 舉例

根據(jù)定理1可構(gòu)造出5階完美積幻方，如下：

令c=2，則矩陣B=

矩陣B為積幻方，并且為完美積幻方。