四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部 四川 廣元 628017

一、問題的背景

接觸式輪廓儀的工作原理,利用探針和傳感器檢測被測的工作表面,以此來感受工件表面的幾何變化,在不同的方向采集信息并轉(zhuǎn)換成電信號(hào),再經(jīng)過處理之后轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)且儲(chǔ)存在文件中。但由于接觸式輪廓儀存在探針污染、探針缺陷和掃描位置不準(zhǔn)等問題,檢測到的輪廓曲線呈現(xiàn)粗糙不平的現(xiàn)象,這給工件形狀的標(biāo)注帶來影響?；诖吮疚难芯苛巳缦聝蓚€(gè)問題：

問題：當(dāng)工件水平放置時(shí),根據(jù)工件輪廓線上點(diǎn)的所有測量數(shù)據(jù)(xi,zi)(其中xi表示測量點(diǎn)的橫坐標(biāo),zi表示測量的縱坐標(biāo)),求出工件輪廓線的各項(xiàng)參數(shù)值,即槽口寬度、圓弧半徑、圓心間的距離、圓弧長度、水平線段的長度、斜線線段的長度、斜線與水平線間的夾角和人字形線的高度。工件輪廓如圖1。

圖1

二、問題的解決

1.假設(shè)：對于以上問題的研究可以先作出假設(shè),根據(jù)圖1我們作一些簡單的假設(shè)：(1)工件1輪廓的弧線段與其相交的斜線段相切；(2)工件輪廓的這些水平線段處在同一水平線段上；(3)假設(shè)工件被測時(shí)不會(huì)發(fā)生側(cè)移,及只在豎直平面內(nèi)發(fā)生旋轉(zhuǎn)或平移。通過查閱資料,可以看出這些假設(shè)是合理的。

2.符號(hào)說明：對文章中所要用到的符號(hào)進(jìn)行說明。為了清晰起見,我們把所有要用到的符號(hào)分兩批放置在圖中,在繼承圖1所示符號(hào)的情況下,再添加新的符號(hào)。

1.X1,X3,X5,X11,X13(也歸為槽口)表示工件槽口的寬度；

2.X2,X4,X6,X8,X9,X10,X12表示工鑒水平輪廓線段的長度,X7表示人字形的寬度；

3.∠i,i=1,…,8表示斜線段與水平線段的夾角；

4.ci,i=1,…,6表示各個(gè)相鄰圓弧段圓心之間的水平距離；

5.Ri,i=1,…,7表示各個(gè)圓弧對應(yīng)的半徑；

6.Z1表示人字形線的高度；

圖2

7.如圖2Ti,i=1,…,23表示各各區(qū)段的交點(diǎn),其坐標(biāo)用(xTi,yTi)表示,i=1,…,23,T0,T24分別表示工件的前后端點(diǎn)；

8.Ai,i=1,…,7表示各弧線段所對圓心角的大??；

9.Li,i=1,…,7表示各圓弧的長度；

10.Si,i=1,…,8表示斜線段的長度。

3.問題的建模與求解

問題1

(1)建模思路：建立平面直角坐標(biāo)系,以輪廓儀的零刻度為坐標(biāo)原點(diǎn),那么輪廓線上測量各點(diǎn)的坐標(biāo)即為此平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。如此,工件的輪廓線即為某分段函數(shù)的圖像,若根據(jù)數(shù)據(jù)擬合出分段函數(shù)的函數(shù)解析式(如圖3),那么題中的各個(gè)參數(shù)值也就可以得出。

圖3

(2)模型的建立

1)從圖1可以看出,水平線段T0T1,T4T5,T8T9,T12T13,T15T16,T17T18,T19T20,T21T22,T23T24處于同一水平線,其函數(shù)可以設(shè)為z=C(C為常數(shù))；

2)順次設(shè)8個(gè)斜線段T1T2,T3T4,T5T6,T7T8,T9T10,T11T12,T13T14,T14T15的函數(shù)解析式為：z=kix+bi,其中i=1,…,8為從左往右的斜線段的順序數(shù)；

3)順次設(shè)6個(gè)圓弧段T2T3,T6T7,T10T11,T16T17,T18T19,T20T21,T22T23的方程為：

4)根據(jù)各區(qū)段的函數(shù)解析式,可以得出各區(qū)段交點(diǎn)Ti的坐標(biāo)(xTi,yTi),那么對于各參數(shù),我們有如下的計(jì)算公式：

槽口寬度：X1=xT4-xT1,X3=xT8-xT5,X5=xT12-xT9,X11=xT21-xT20,X13=xT23-xT22；

水平線段的長度：X2=xT5-xT4,X4=xT9-xT8,X6=xT13-xT12,X8=xT16-xT15,X9=xT18-xT17,X10=xT20-xT19,X12=xT22-xT21；

圓心之間的水平距離：c1=xc2-xc1,c2=xc3-xc2,c3=xc4-xc3,c4=xc5-xc4,c5=xc6-xc5,c6=xc7-xc6；

人字形的高度：Z1=yT14-C；

斜線線段長度：可由兩點(diǎn)間距離公式求出

斜線與水平線的夾角：從圖中可以得出,這些夾角全為鈍角,因此所有的角可以由如下同一形式的公式得出∠i=π-arctan|ki|,i=1,…,8。

圓弧的長度：欲求圓弧的長度,先求圓弧所對圓心角大小,再根據(jù)弧長公式求得圓弧長,即圓心角A=180°+?+β,弧長。其中α,β分別表示弧線段左右兩邊斜線段與水平線所夾銳角。

(3)模型求解：對于以上模型的求解,我們主要分為如下步驟：

1)數(shù)據(jù)分區(qū)：根據(jù)實(shí)際情況我們可以知道,工件輪廓線的采點(diǎn)非常的密集,根據(jù)畫出所采點(diǎn)的散點(diǎn)圖,可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)都有自己的所屬區(qū)段,先將數(shù)據(jù)按照區(qū)段劃分。但在按照區(qū)段劃分?jǐn)?shù)據(jù)之時(shí),因在各段交點(diǎn)不明確,那么在劃分各區(qū)段所包括數(shù)據(jù)的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)困難。因此,為了避免數(shù)據(jù)的區(qū)段劃分出現(xiàn)分歧,我們在理論上的交點(diǎn)附近合理刪除一些數(shù)據(jù)而不納入考慮范圍,那么剩下的數(shù)據(jù)我們認(rèn)為是有明確的區(qū)段所屬。

2)水平線段的方程求解：對于水平線段的函數(shù),我們用所有水平區(qū)段數(shù)據(jù)的Z值的平均值來求出。

3)斜線段的函數(shù)求解：在excel中利用斜線段所屬區(qū)段的數(shù)據(jù)擬合斜線段的函數(shù)z=kix+bi。

4)弧線段的方程求解：對于各個(gè)圓弧線段,利用已經(jīng)處理的數(shù)據(jù),參照最小二乘法擬合圓的公式：

其中N表示數(shù)據(jù)的組數(shù),xi,zi,i=1,…,N表示每組數(shù)據(jù)的橫縱坐標(biāo),(xc,zc)表示擬合圓的圓心坐標(biāo),R為圓的半徑。用此公式,可以得到各段圓弧的圓心、半徑。

5)各區(qū)段交點(diǎn)坐標(biāo)求解：根據(jù)以上四步,用聯(lián)立函數(shù)解析式求解方程組可以求出各區(qū)段交點(diǎn)的坐標(biāo)。但在此我們要說明的是,對斜線段與圓弧交點(diǎn)坐標(biāo)的確定,不使用聯(lián)立函數(shù)解析式方程組的方法求解。事實(shí)上,在誤差存在的情況下,方程組很有可能出現(xiàn)無解的情況。因此,在假設(shè)斜線段與圓弧段相切的情況下,利用交點(diǎn)與圓心的連線垂直于斜線段求得斜弧交點(diǎn)。

6)交點(diǎn)求出之后,再根據(jù)模型建立中所示的各參數(shù)求解公式,可以求得各個(gè)所需參數(shù)。