郭 強(qiáng)，周建旭，黃 亞，張 健

考慮流固耦合的厚壁輸水管水錘和振動(dòng)特性分析

郭 強(qiáng)，周建旭※，黃 亞，張 健

（河海大學(xué)水利水電工程學(xué)院，南京 210024）

厚壁管對瞬變流具有很高的抗風(fēng)險(xiǎn)能力，在輸水系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。為了研究厚壁管中流固耦合現(xiàn)象，該研究考慮軸向應(yīng)力的緩沖效應(yīng)，基于薄壁管流固耦合分析模型（薄壁模型），建立并提出了適用于厚壁管流固耦合一維模型（厚壁模型）。采用有限體積法對模型求解，壓力振蕩數(shù)值結(jié)果與已有的試驗(yàn)結(jié)果峰值相對誤差低于4.5%，說明厚壁模型是可靠的。在此基礎(chǔ)上，從壓力振蕩、波速及管道振動(dòng)角度比較了2模型差異：薄壁模型和厚壁模型模擬波速與試驗(yàn)結(jié)果相對誤差分別為4.6%和1.3%；相對薄壁模型結(jié)果，厚壁管模型顯示壓力振蕩周期和幅值均增大，流體模態(tài)頻率和結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率分別為6.44和17.72 Hz。此外，當(dāng)輸水管道厚徑比<0.05，厚壁模型仍具有一定可靠性。該模型擴(kuò)展和改進(jìn)了常用薄壁模型，使其同時(shí)適用于厚壁管及薄壁管流固耦合分析。

壓力；模型；水錘；流固耦合

0 引 言

管道運(yùn)輸流體已廣泛應(yīng)用于海洋工程、石油化工工程、能源與動(dòng)力工業(yè)、航天器動(dòng)力系統(tǒng)和日常生活中。管道內(nèi)由于管內(nèi)或管外受到多次激勵(lì)而產(chǎn)生壓力脈動(dòng)，誘發(fā)管壁徑向收縮或膨脹，材料泊松比導(dǎo)致管道明顯軸向振動(dòng)。同時(shí)，這些管路結(jié)構(gòu)振動(dòng)及流體壓力脈動(dòng)相互影響，這種現(xiàn)象叫做流固耦合（Fluid-Structure Interaction）。不同輸水系統(tǒng)邊界條件導(dǎo)致不同的FSI響應(yīng)，故FSI響應(yīng)分析必須根據(jù)不同邊界條件進(jìn)行逐案處理[1-4]。

管道與流體的耦合方式主要有摩擦耦合、泊松耦合和結(jié)合部耦合，其中摩擦耦合和泊松耦合貫穿整個(gè)管道，而結(jié)合部耦合只發(fā)生在靠近彎管、支管、閥門、邊界、以及可變截面的管道中[5-7]，結(jié)合部耦合導(dǎo)致系統(tǒng)FSI響應(yīng)更強(qiáng)[8-11]。此外，摩擦耦合的響應(yīng)最弱，其作用水平在長期內(nèi)逐漸降低[12]。同時(shí)，作為最重要的耦合形式，結(jié)合部耦合誘發(fā)更強(qiáng)的壓力振蕩，結(jié)合部耦合程度主要取決于系統(tǒng)的魯棒性[13-14]。值得注意的是，泊松耦合對結(jié)合部耦合具有促進(jìn)作用[15-16]。

上述文獻(xiàn)流體管路的計(jì)算方法主要包括時(shí)域計(jì)算方法和頻域計(jì)算方法，其中瞬態(tài)響應(yīng)問題多采用時(shí)域計(jì)算方法求解，而對于自由或強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)則通常采用頻域計(jì)算方法[17]。目前管道FSI響應(yīng)計(jì)算常用的方法為特征線方法（Method of Characteristics，MOC）。但MOC是一種時(shí)域數(shù)值求解方法，適用于簡單管路的時(shí)域響應(yīng)計(jì)算，特別是流體壓力波的瞬態(tài)響應(yīng)分析[18]，因此在流體管路系統(tǒng)的時(shí)域分析中有非常多的應(yīng)用，并得到不斷完善，但特征線法需要在時(shí)間和空間中離散求解，較為復(fù)雜，且很難考慮管道的彈性支撐條件，多段管路計(jì)算時(shí)還存在插值誤差和不同特征線的相交等問題。

有限體積法是一種介于有限差分法和有限單元法之間的一類數(shù)值求解方法。有限體積法基于守恒型積分方程，通過有限子區(qū)域積分構(gòu)造離散方程。有限體積法求解問題具有2種方式，一種是控制體體積法，另一種是控制體平衡法。兩者都描述了控制體物理量的守恒，所以有限體積法是一種無條件穩(wěn)定的數(shù)值方法，且有限體積法不要求變量可微分，有限體積法的適應(yīng)性廣。

到目前為止，關(guān)于有限體積元法的理論成果已經(jīng)相當(dāng)豐富，很多國內(nèi)外的早期研究成果被收錄于文獻(xiàn)[19]之中。為了避免有限體積法中離散格式中非物理振蕩，Li等[19]提出了有限體積法中的迎風(fēng)格式。這一格式是穩(wěn)定的，且滿足離散極值原理，然而該格式的數(shù)值精度卻不是最佳的。在此基礎(chǔ)上，Sardella[20]修正了有限體積法迎風(fēng)格式，提高了計(jì)算精度。Liang等[21-22]分別提出了一種最優(yōu)加權(quán)迎風(fēng)有限體積法和二階精度的有限體積法，進(jìn)一步提高了計(jì)算精度。

當(dāng)有限體積法應(yīng)用于瞬變計(jì)算中，有限體積法的關(guān)鍵是在系統(tǒng)控制體積內(nèi)積分，時(shí)間步長與控制體長度相互獨(dú)立，故易于計(jì)算程序的編寫。已有許多學(xué)者將有限體積法應(yīng)用于瞬變流的研究中。Zhou等[23]利用有限體積法求解了含氣水錘，說明了考慮氣液兩項(xiàng)流，有限體積法比特征線法更合適，且精度也能得到保證；耿艷芬等[24]基于有限體積法，建立了管道瞬變流的離散格式，采用特征分解技術(shù)計(jì)算界面通量，并通過重構(gòu)和通量限制建立二階精度的TVD格式保證了質(zhì)量和動(dòng)量的守恒性；趙修龍等[25]推導(dǎo)了C-N格式的有限體積法，并經(jīng)過由特征線法數(shù)值結(jié)果的對比，說明了C-N格式的有限體積法穩(wěn)定性好，且具有較高精度。這些有限體積應(yīng)用成果為本文研究提供了基礎(chǔ)。

為提高管道抗風(fēng)險(xiǎn)能力和延長有效運(yùn)行時(shí)間，通常會(huì)使用厚徑比較大的管道。但目前專家學(xué)者所關(guān)注均為薄壁管道輸水系統(tǒng)，而幾乎沒有文獻(xiàn)對厚壁管輸水系統(tǒng)水力瞬變進(jìn)行研究。厚壁管道軸向應(yīng)力沿徑向變化不可忽略，但已有薄壁管計(jì)算模型不考慮軸向應(yīng)力沿徑向變化。針對瞬變流的流固耦合問題，已有模型分析厚壁管可能獲得更大的系統(tǒng)魯棒性，同時(shí)獲得不準(zhǔn)確的模態(tài)響應(yīng)。為了更準(zhǔn)確的捕捉厚壁管在瞬變過程中的水力特性和管道振動(dòng)特性，本文假設(shè)管道可以在其縱向自由振動(dòng)、徑向加速度可忽略不計(jì)、且厚壁管沿徑向具有不同的軸向應(yīng)力?；谝延斜”诠芊治瞿Ｐ停ū”诠芰鞴恬詈夏Ｐ突虮”谀Ｐ停?，建立并提出了適用于厚壁管流固耦合一維模型，模型包括采用流體運(yùn)動(dòng)方程、流體連續(xù)方程、管壁運(yùn)動(dòng)方程和管壁本構(gòu)方程，也可稱為厚壁管流固耦合4方程模型或厚壁模型。模型采用有限體積法求解。

1 數(shù)學(xué)模型

輸水系統(tǒng)軸向耦合響應(yīng)與輸水管線所處側(cè)向平面及扭轉(zhuǎn)耦合是可以解耦的[15]，故可單獨(dú)對管道輸水系統(tǒng)軸向流固耦合進(jìn)行分析。厚壁管示意圖如圖1所示。

注：P|r=R為管壁內(nèi)表面壓力，Pa；σz為管壁軸向應(yīng)力，Pa；σr為管壁徑向應(yīng)力，Pa；σθ為管壁環(huán)向應(yīng)力，Pa；R和e分別為管道內(nèi)徑和壁厚，m；Δz為控制體長度

1.1 流體控制方程

1.1.1 流體運(yùn)動(dòng)方程

忽略流體環(huán)向流速，且不考慮流體科氏力[18]，則不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)方程：

式中為流體截面平均流速，m/s；為流體截面平均壓力，Pa；表示管道輸水系統(tǒng)徑向坐標(biāo)。

1.1.2 流體方程

對于不可壓流體，其軸對稱流動(dòng)的連續(xù)方程為

式中u為管壁徑向振速，m/s，沿管壁徑向具有不同的結(jié)果。由水錘波速?/?A=/ρ，為流體體積模量，Pa；將?/?A=/ρ代入方程（3）。為將方程（3）表示的二維流動(dòng)問題簡化為一維，對方程（3）兩邊乘以2，從管芯到管壁求積分，然后除以流體截面面積。引入流體截面參量的平均值，化簡得到：

考慮流固耦合，管道內(nèi)表面環(huán)向應(yīng)變?yōu)?i>ε|=w/，w為管壁內(nèi)表面徑向位移，m。則u/=?ε|/?，其中u為管壁內(nèi)表面徑向振速，m/s。

式中為管材彈性模量，Pa；為管材泊松比。管壁環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力的拉梅解形式[17-18]

且軸向平均應(yīng)力與軸向應(yīng)力定義為[18]

式中被稱為應(yīng)力削減系數(shù)，的定義表達(dá)式為

將方程（10）代入方程（4），得到考慮流固耦合下厚壁管輸水的不可壓縮流體連續(xù)方程：

1.2 管壁控制方程

1.2.1 管壁運(yùn)動(dòng)方程

考慮厚壁管材料是彈性，且管壁不受外力情況，管道運(yùn)動(dòng)方程為[26-27]

方程（13）簡化為

式中u為管道軸向振速，m/s。

1.2.2 管壁本構(gòu)方程

針對給定的輸水管道，管道軸向應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系表達(dá)式為：

根據(jù)方程（3），截面徑向與環(huán)向平均應(yīng)力之和為

2 數(shù)值求解

考慮輸水管道為厚壁管，則結(jié)構(gòu)徑向變形不可忽略，考慮結(jié)構(gòu)徑向變形，管道狀態(tài)及流體狀態(tài)是二維的，取截面平均值進(jìn)行分析和推導(dǎo)，基于薄壁管流固耦合分析模型（薄壁模型），建立了適用于厚壁管流固耦合分析的一維模型。模型包括的流體運(yùn)動(dòng)方程、流體連續(xù)方程、管壁運(yùn)動(dòng)方程和管壁本構(gòu)方程，分別如方程（2）、方程（12）、方程（14）和方程（17）所示，這些方程統(tǒng)稱為厚壁模型。

有限體積法求解時(shí)是對每個(gè)控制容積進(jìn)行積分求解有限體積，且積分方程中每一項(xiàng)的物理意義明確[28]，因此，本文采用有限體積法計(jì)算分析管道FSI響應(yīng)。有限體積法利用控制容積積分來實(shí)現(xiàn)方程的離散[29]，在控制容積內(nèi)從時(shí)間到Δ對連續(xù)方程積分[30]，根據(jù)C-N隱式差分方法[31]，方程（2）、方程（12）、方程（14）和方程（17）矩陣形式為：

對有限體積法而言，控制體簡化為線。在控制體內(nèi)對時(shí)間和空間的積分為：

當(dāng)時(shí)間步長和控制體長度足夠小，則取近似值：

則方程（20）離散為

得到控制體相鄰時(shí)步的迭代方程為

由方程（22）可得到，所有控制體組成了輸水系統(tǒng)，其相鄰時(shí)步狀態(tài)的迭代方程為

Δ為有限體積法計(jì)算時(shí)步步長，Δ為控制體積長度，表示第時(shí)步，表示第個(gè)控制體，第個(gè)控制體在第時(shí)步系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，是第個(gè)控制體在第+1時(shí)步的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣。在本文計(jì)算中，= 1表示流體入口，=表示流體出口。在計(jì)算第+1時(shí)步狀態(tài)時(shí)，是已知矩陣。

3 分析與討論

3.1 驗(yàn)證

為了驗(yàn)證厚壁管道數(shù)學(xué)模型的正確性，本文采用厚壁模型預(yù)測了一段自由管在實(shí)心鋼棒撞擊下的撞擊端和遠(yuǎn)端瞬態(tài)壓力，并與英國鄧迪大學(xué)土木工程系Vardy等[32]獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)作對比。預(yù)測的物理模型和Vardy等的試驗(yàn)裝置均為一根長4.5 m鋼管，管道系統(tǒng)兩端封閉，并設(shè)置堵頭。為了更接近管道自由狀態(tài)，故管道懸掛布置。管道系統(tǒng)引起瞬變的荷載是由長為5.006 m的實(shí)心鋼棒軸向撞擊管道的閉合端而產(chǎn)生，如圖2所示。瞬變產(chǎn)生的邊界方程為

式中為鋼棒沖擊阻尼，N/(m/s)；為沖擊端堵頭質(zhì)量，kg；為實(shí)心鋼棒對管道的撞擊速度，m/s。撞擊發(fā)生之前，管道為初始狀態(tài)，此時(shí)的初始管內(nèi)初始壓力為2 MPa；初始流速為0；管道內(nèi)無壓力梯度，故管壁應(yīng)力與振速均為0。當(dāng)撞擊發(fā)生后，采用方程（23）迭代得到Δ時(shí)的系統(tǒng)瞬變狀態(tài)。值得注意的是為了結(jié)果的精確性，Δ=10-4s、控制體長度為Δ=0.1 m。

注：為實(shí)心鋼棒對管道的撞擊速度，m·s-1。

Note:is Impact velocity of solid steel bar on pipe, m·s-1.

圖2 文獻(xiàn)[32]試驗(yàn)裝置

Fig.2 Sketch of experimental setup in reference [32]

管道內(nèi)壓為大氣壓的情況下，展示了沖擊管道產(chǎn)生的管道撞擊遠(yuǎn)端和撞擊端壓力脈動(dòng)數(shù)值結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果，如圖3所示。

圖3 試驗(yàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)壓力

根據(jù)圖3中數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比，明顯可觀察到數(shù)值結(jié)果中疊加有高頻的壓力振蕩，說明了數(shù)值結(jié)果能夠得到更精確的壓力振蕩過程。這種現(xiàn)象可解釋為試驗(yàn)采樣頻率為80 Hz[15]時(shí)，忽略了輸水管道的高頻特性，而數(shù)值計(jì)算的時(shí)間步長為10-4s，能夠很好地捕捉壓力振蕩的高頻信號。然而，由圖3可知，在沖擊遠(yuǎn)端第一波壓力數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果峰值分別為3.22和3.33 MPa，兩者相對誤差為?3.3%；在沖擊端第一波壓力峰值數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果分別為3.34和3.19 MPa，兩者相對誤差為4.5%。相對誤差均在?5%～5%以內(nèi)，且試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值結(jié)果具有相同的趨勢，說明本模型適用于描述水錘作用下厚壁管流固耦合分析，且有限體積法求解厚壁管流固耦合問題是合理的。同時(shí)，數(shù)值結(jié)果僅考慮軸向振動(dòng)，試驗(yàn)結(jié)果則包括了多方向的耦合形式。但兩者結(jié)果誤差在容許范圍內(nèi)，說明了在瞬變過程中，管道振動(dòng)主要為軸向振動(dòng)，則軸向耦合為主要耦合。

3.2 工程實(shí)例

3.2.1 耦合水錘分析

實(shí)際工程中，厚壁管輸水系統(tǒng)是常見的，但一般具有多支承的特點(diǎn)。為進(jìn)一步說明厚壁模型的應(yīng)用價(jià)值，分析了多支承管輸水系統(tǒng)。本管道輸水系統(tǒng)是由河海大學(xué)水力發(fā)電中心所實(shí)施，采用型號為HQ1000的壓力傳感器記錄了閥門前端瞬態(tài)壓力。其中管道為厚壁管，管道長=20 m，每跨跨長為4 m，管道內(nèi)徑=0.06 m，管壁總厚度=0.006 m，初始壓力為1 m水頭，初始流速為1 m/s。初始時(shí)刻，管內(nèi)無壓力梯度，故管道軸向應(yīng)力和軸向振速均為0。輸水系統(tǒng)示意圖如圖4所示。系統(tǒng)的瞬變激勵(lì)為快速關(guān)閥，關(guān)閥過程閥門開度變化為(1-/)1.5，為總關(guān)閥時(shí)間，s。為保證關(guān)閥規(guī)律的準(zhǔn)確性，本系統(tǒng)采用機(jī)器控制閥門開度。

注：L為管道長度，m。

輸水系統(tǒng)中瞬變激勵(lì)為快速關(guān)閥，厚壁管為彈性結(jié)構(gòu)，且在水錘荷載作用下膨脹或收縮，產(chǎn)生新的壓力振蕩，2種壓力振蕩相互疊加，得到考慮流固耦合的壓力振蕩[33]。根據(jù)文獻(xiàn)[15]，支承考慮為彈性支承，忽略支承慣性，支承的邊界條件為

式中為支承軸向彈性系數(shù)，N/m；為支承阻尼，N/(m/s)；Δσ為支承相鄰兩控制體積中軸向應(yīng)力改變量，Pa。

邊界考慮結(jié)構(gòu)徑向與軸向約束，流固耦合響應(yīng)對系統(tǒng)模態(tài)頻率具有較大影響，頻率均小于1 000 Hz[34]。綜合考慮數(shù)值分析得到實(shí)際壓力振蕩信號的完整性和計(jì)算耗時(shí)，計(jì)算時(shí)間步長Δ、控制體長度Δ分別為0.001 s、0.1 m。

為了顯示厚壁模型與薄壁模型的區(qū)別，分別采用厚壁模型、薄壁模型和經(jīng)典水錘模型模擬簡單的多支承輸水系統(tǒng)，考慮流固耦合，得到的力振蕩如圖5所示。相對僅考慮流體因素的兩方程模型，考慮流固耦合，壓力振蕩與多因素相關(guān)，結(jié)果也更加復(fù)雜，結(jié)果表現(xiàn)為多個(gè)壓力振蕩的疊加，且曲線上存在多處局部峰值，這種現(xiàn)象可解釋為，當(dāng)不考慮流固耦合，等效為管道是剛性的，管道變形引起的高頻壓力振蕩被忽略。相對薄壁管模型假設(shè)軸向應(yīng)力沿徑向?yàn)橐怀?shù)，厚壁模型考慮了軸向應(yīng)力沿徑向變化，截面應(yīng)力平均值小于在流體結(jié)構(gòu)交界面的軸向應(yīng)力。故相對于傳統(tǒng)的薄壁模型，厚壁模型得到的耦合響應(yīng)較弱，壓力波速較小，表明系統(tǒng)柔性較小。

圖5 不同模型下的數(shù)值模擬壓力

與經(jīng)典二方程模型的數(shù)值分析結(jié)果比較分析，無論薄壁模型還是厚壁模型，管道的軸向耦合形式包括泊松耦合和結(jié)合部耦合。此時(shí)，系統(tǒng)中存在沿軸向傳播的應(yīng)力波和壓力波。本算例中，厚壁模型計(jì)算得壓力波波速和應(yīng)力波波速分別為1 348和4 113 m/s，應(yīng)力波速約為壓力波速的3倍。則考慮流固耦合時(shí)，壓力脈動(dòng)峰值可分為3部分進(jìn)行分析：在第一部分中，考慮泊松耦合和結(jié)合部耦合，水壓劇烈上升引起管壁徑向膨脹和管道出口端軸向移動(dòng)，釋放了壓力振蕩能量，產(chǎn)生第一個(gè)壓降，同時(shí)，管壁徑向膨脹和管道出口端軸向移動(dòng)導(dǎo)致管道變形以應(yīng)力波形式傳播；在第二部分中，管壁為收縮狀態(tài)，對不可壓縮流體進(jìn)行了壓縮，對流體的影響類似于輸水泵的作用，因此壓力峰值比經(jīng)典模型模擬結(jié)果大；在第三部分中，軸向應(yīng)力波反彈，管壁再次擴(kuò)張，在壓力波動(dòng)上產(chǎn)生最后一個(gè)壓降。上述現(xiàn)象反復(fù)出現(xiàn)，形成圖5所示的壓力振蕩。圖5顯示，當(dāng)考慮流固耦合，水錘能量被管道吸收，管道顯示更大的柔性。此時(shí)，管道波速減小，壓力振蕩大周期增大（=4/c，c為水錘波速）。且厚壁模型與薄壁模型得到不同的耦合響應(yīng)，對波速也具有不同的影響。

3.2.2 壓力波傳播速度

根據(jù)文獻(xiàn)[35]，可知輸水系統(tǒng)的波速（包括應(yīng)力波和壓力波）定義為

則考慮流固耦合的波速方程可定義為

將方程（27）代入方程（18），可得

為了得到非零解，則

求解方程（29），得到應(yīng)力波速與壓力波速相容性方程：

方程（30）簡化為

求解方程（31），得到2個(gè)正根即為壓力波速的平方值c2和應(yīng)力波速的平方值c2。

為了驗(yàn)證波速的數(shù)值結(jié)果，進(jìn)行了試驗(yàn)，試驗(yàn)裝置如圖4所示。在3.2.1所述試驗(yàn)基礎(chǔ)上，僅改變管道的厚徑比。同時(shí)，壓力傳感器HQ1000由頻率50 kHz的壓力傳感器替代，采樣頻率為1 000 Hz。采集了不同厚徑比管道閥門附近的動(dòng)態(tài)壓力，并由此得到不同的波速，試驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 輸水系統(tǒng)波速隨厚徑比的變化趨勢

壓力波在水中的傳播速度與輸水系統(tǒng)魯棒性相關(guān)[29-30]，而系統(tǒng)魯棒性與管道厚徑比密切相關(guān)，通過不同厚徑比情況下壓力波速和應(yīng)力波速的分析討論表明：系統(tǒng)魯棒性越大，壓力波速就越大，同時(shí)獲得更小的應(yīng)力波速，反之亦然，結(jié)果如圖6所示。由圖6可知，厚壁模型和薄壁模型模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相對差值最大分別為1.3%和4.6%。說明模擬流固耦合響應(yīng)時(shí)，厚壁模型得到更可靠的結(jié)果。

當(dāng)/=∞，輸水系統(tǒng)魯棒性足夠大，系統(tǒng)流固耦合可忽略，求解方程（30）得到c=1 414 m/s。當(dāng)/=0.5，c= 1 400 m/s，相比于不考慮流固耦合，波速的偏差為0.98%，則當(dāng)/0.5時(shí)，大的系統(tǒng)魯棒性導(dǎo)致弱的流固耦合響應(yīng)。上述現(xiàn)象說明：當(dāng)/>0.5時(shí)，兩方程模擬系統(tǒng)是合適的，同時(shí)，薄壁模型與厚壁模型模擬結(jié)果具有較大的差別；當(dāng)/0.05，薄壁模型與厚壁模型模擬結(jié)果差別可忽略，即當(dāng)/0.05時(shí)，薄壁模型是合適的。上述分析結(jié)論也進(jìn)一步證明本文所建立厚壁模型的正確性。

3.2.3 管道振動(dòng)分析

不考慮流固耦合響應(yīng)，系統(tǒng)模態(tài)分為流體模態(tài)和結(jié)構(gòu)模態(tài)?？紤]流固耦合響應(yīng)，所有的振動(dòng)模式都是系統(tǒng)模式。管道變形分析能夠明顯觀察到結(jié)構(gòu)模態(tài)和流體模態(tài)，通過數(shù)據(jù)處理，可識別管道變形模式與結(jié)構(gòu)或流體均密切相關(guān)。在多支承輸水系統(tǒng)中，只有壓力波和應(yīng)力波沿系統(tǒng)軸向傳播?？紤]到流固耦合，圖7虛線所示的結(jié)果清楚地表明，厚壁模型預(yù)測得到的頻率6.44和17.72 Hz均歸因于水柱和鋼管的固有頻率，其中頻率6.44 Hz對應(yīng)管壁變形的呼吸模式（管壁呼吸模態(tài)頻率等于水柱固有頻率）。圖7實(shí)線所示薄壁模型預(yù)測得到的頻率6.68和17.34 Hz亦歸因于水柱和鋼管的固有頻率。圖7中，每個(gè)頻率峰值表示流體或結(jié)構(gòu)的基波和奇次諧波。

相對于薄壁模型，厚壁模型考慮了軸向應(yīng)力削減效應(yīng)（方程（9）所示），導(dǎo)致管壁軸向位移沿徑向變化，管壁不同徑向位置相互拉伸或壓縮。此時(shí)，管道軸向的勢能增加，這些管道勢能來自由水錘能量，即厚壁管模擬結(jié)果顯示結(jié)構(gòu)消耗更多的水錘能量。此時(shí)，管道振動(dòng)更強(qiáng)烈，壓降和“泵”效應(yīng)更加明顯，即更強(qiáng)烈的流固耦合響應(yīng)，如圖5所示。這些現(xiàn)象都進(jìn)一步增大結(jié)構(gòu)軸向變形水平，故厚壁模型獲得更大模態(tài)峰值，如圖7所示。當(dāng)厚壁模型得到更大的振動(dòng)水平，系統(tǒng)顯示更小魯棒性，最終導(dǎo)致流體模態(tài)頻率減小。這種現(xiàn)象在更高頻的模態(tài)中顯得更加明顯，如圖7所示。

圖7 管壁在頻域內(nèi)的變形水平

4 結(jié) 論

發(fā)生于厚壁管輸水系統(tǒng)中的水錘現(xiàn)象長期以來一直是一種難以理解的現(xiàn)象。為了研究水擊作用下厚壁管的耦合響應(yīng)，基于流體控制方程和結(jié)構(gòu)本構(gòu)方程，基于薄壁模型，建立了適用于厚壁管流固耦合分析的一維模型。將有限體積法應(yīng)用于該模型的求解，結(jié)果表明數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。這種模型考慮了管壁弱化了管道軸向應(yīng)力水平，當(dāng)管壁足夠薄時(shí)，這種影響可以忽略不計(jì)。在這種情況下，厚壁模型退化為公認(rèn)的薄壁模型。

為揭示2種模型的差異，對模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了對比，進(jìn)一步得到以下結(jié)論：

1）考慮流固耦合，管道的變形對流體起著泵效應(yīng)或松弛效應(yīng)，導(dǎo)致流體壓力脈動(dòng)曲線出現(xiàn)較多局部突變。但厚壁模型結(jié)果顯示壓力振蕩和管道軸向振動(dòng)具有更高的水平，即厚壁管獲得更強(qiáng)烈的耦合響應(yīng)。同時(shí)，對比試驗(yàn)波速結(jié)果，說明了厚壁管模型結(jié)果更可靠。

2）在瞬變過程中，厚壁管軸向應(yīng)力沿徑向減小，導(dǎo)致管內(nèi)更強(qiáng)烈的壓力振蕩，且導(dǎo)致壓力振蕩周期變大。效應(yīng)隨管壁厚度減小而變?nèi)酰?dāng)厚徑比/<0.05時(shí)，這種效應(yīng)可忽略，則厚壁模型退化為薄壁模型。對于給定的厚壁管，當(dāng)/>0.05時(shí)，厚壁模型預(yù)測分析結(jié)果具有更大可靠性，能準(zhǔn)確揭示系統(tǒng)具有較大的柔性和較小的壓力波速。

3）考慮流固耦合，在瞬變過程中，系統(tǒng)所有模態(tài)均由壓力波和應(yīng)力波導(dǎo)致的。相對于薄壁模型，厚壁模型結(jié)果顯示更低頻的流體模態(tài)和更高頻的結(jié)構(gòu)模態(tài)。

[1] Spinosa E, Iafrati A. Experimental investigation of the fluid-ftructure interaction during the water impact of thin aluminium plates at high horizontal speed[J]. International Journal of Impact Engineering, 2020, 24: 563-586.

[2] Sun T Z, Zhou L, Yin Z Y, et al. Cavitation bubble dynamics and structural loads of high-speed water entry of a cylinder using fluid-structure interaction method[J]. Applied Ocean Research, 2020, 101: 1-12.

[3] Abdalellah O M, Hussain H A K, Osman A B, et al. One-way coupled fluid–structure interaction of gas–liquid slug flow in a horizontal pipe: Experiments and simulations[J]. Journal of Fluids and Structures, 2020, 97: 103083.

[4] Li S, Liu G, Kong W. Vibration analysis of pipes conveying fluid by transfer matrix method[J]. Nuclear Engineering and Design, 2014, 266: 78-88.

[5] Wahba E M. On the two-dimensional characteristics of laminar fluid transients in viscoelastic pipes[J]. Journal of Fluids and Structure, 2017, 68: 113-124.

[6] Wang X J, Lin, A. Keramat, M S, et al. Matched-field processing for leak localization in a viscoelasticity pipe: An experimental study[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2019, 124: 459-478.

[7] Ghodhbani A, Akrout, A, Hajta?eb T. Coupled approach and calculation of the discrete vapour cavity model[J]. Journal of Fluids and Structures, 2019, 91: 787-804.

[8] Keramat A, Moghadam F M, Zanganeh R, et al. Experimental investigation of transients-induced fluid-structure interaction in a pipeline with multiple-axial supports[J]. Journal of Fluids and Structures, 2020, 93: 884-910.

[9] Zanganeh R, Jabbari E, Tijsseling A, et al. Fluid-structure interaction in transient-based extended defect detection of pipe walls[J]. Journal of Hydraulic Engineering 2019, 82: 733-752.

[10] Wang X, Ghidaoui M S, Lin J. Identification of multiple leaks in pipeline III: Experimental results[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2019, 130: 395-408.

[11] Keramat A, Wang X, Louati M, et al. Objective functions for transient-based pipeline leakage detection in a noisy environment: Least square and matched-filter[J]. Journal of Water Resources Planning and Management, 2019, 112: 1106-1123.

[12] Yang K, Li Q S, Zhang L X. Longitudinal vibration analysis of multi-span liquid-filled pipelines with rigid constraints[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 273: 125-147.

[13] Tijsseling A S. An overview of fluid-structure interaction experiments in single-elbow pipe systems[J]. Journal of Zhejiang University: Science A, 2019, 20: 233-242.

[14] Matthew H, Vakhtang T, Randy S J, et al. Fluid–structure interaction modeling in cardiovascular medicine–A systematic review 2017-2019[J]. Medical Engineering and Physics, 2020, 78: 1-13.

[15] Zhang L, Tijsseling A S, Vardy A E. FSI analysis of liquid-filled pipes [J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 224: 69-99.

[16] Tijsseling A S, Vardy A E. 20 years of FSI experiments in Dundee[C]//Proceedings of the Third M.I.T. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics, Massachusetts Institute of Technology. New York: MA, 2015: 1-8.

[17] Henclik S. Numerical modeling of water hammer with fluid-structure interaction in a pipeline with viscoelastic supports[J]. Journal of Fluids and Structures, 2018, 76: 469-487.

[18] David F, Pedro A, Anton J, et al. Fluid-structure interaction in straight pipelines with different anchoring conditions[J]. Journal of Sound and Vibration, 2017, 394: 348-365.

[19] Li R, Chen Z, Wu W. Generalized Difference Methods for Differential Equations: Numerical Analysis of Finite Volume Methods[M]. New York: Marcel Dekker, 2000: 16-49.

[20] Sardella M. On a coupled finite element-?nite volume method for convection-diffusion problems[J]. IMA Journal of Mumerical Analysis, 2000, 20: 281-301.

[21] Liang D, Zhao W. An optimal weighted upwind control volume method on non-standard grids for convection- diffusion problems in 2D[J]. International Journal of Numerical Method Engineering, 2006, 67: 553-577.

[22] Salvador B L, Alejandro A P S, Wang Z F, et al. Strain-engineering of graphene's electronic structure beyond continuum elasticity[J]. Solid State Communications, 2013, 166: 71-75.

[23] Zhou L, Wang H, Liu D Y, et al. A second-order Finite Volume Method for pipe flow with water column separation[J]. Journal of Hydro-Environment Research, 2017, 17: 47-55.

[24] 耿艷芬，王志力，金生. 基于有限體積水錘方程的Go-dunov格式離散[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24(4)：513-518.

Geng Yanfen, Wang Zhili, Jin Sheng. A Godunov method for water hammer problem based on finite volume method[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007, 24(4): 513-518. (in Chinese with English abstract)

[25] 趙修龍，張健，俞曉東. 基于有限體積法的有壓管道水錘計(jì)算[J]. 水電能源科學(xué)，2014，32(2)：164-166.

Zhao Xiulong, Zhang Jian, Yu Xiaodong. Finite volume method for water hammer calculation in pressure pipe[J]. Water Resource and Power, 2014, 32(2): 164-166. (in Chinese with English abstract)

[26] Li G L, Du S C, Huang D L, et al. Elastic mechanics-based fixturing scheme optimization of variable stiffness structure workpieces for surface quality improvement[J]. Precision Engineering, 2019, 56: 343-363.

[27] 徐芝綸. 彈性力學(xué)（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：257-412.

[28] Luis R, Nogueira X, Pablo O, et al. A Higher-Order Chimera Method for Finite Volume Schemes[J]. Archives of Computational Methods in Engineering, 2018, 25: 691-706.

[29] HwangY H, Chung N M.A fast Godunov method for the water-hammer problem[J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2002, 40: 799-819.

[30] Cao H D, Mohareb M, Nistor I. Finite element for the dynamic analysis of pipes subjected to water hammer[J]. Journal of Fluids and Structures 2020, 93: 984-996.

[31] Daude F, Tijsseling A S, Galon P. Numerical investigations of water-hammer with column-separation induced by vaporous cavitation using a one-dimensional Finite-Volume approach[J] Journal of Fluids and Structures 2018, 83: 91-118.

[32] Vardy A E, Fan D, Tijsseling A S. Fluid-Structure Interaction in a T-piece pipe[J]. Journal of Fluids and Structures, 1996, 10: 763-786.

[33] 張春晉，孫西歡，李永業(yè)，等. 基于流固耦合的管道雙車振動(dòng)運(yùn)移水力特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2020，39(3)：161-167.

Zhang Chunjin, Sun Xihuan, Li Yongye, et al. Hydraulic characteristics of a piped double-carriage’s vibrational transport based on fluid-structure interaction[J]. Journal of Vibration and Shock, 2020, 39(3): 161-167. (in Chinese with English abstract)

[34] 王振華，馬習(xí)賀，李文昊，等. 基于改進(jìn)4-方程摩擦模型的輸水管道水錘壓力計(jì)算[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2018，34(7)：114-120.

Wang Zhenhua, Ma Xihe, Li Wenhao, et al. Calculation of water hammer pressure of flow pipeline based on modified four-equation friction model[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(7): 114-120. (in Chinese with English abstract)

[35] Wylie E B, Streeter V L. Fluid Transient in System[M]. Now York: Prentice Hall, 1983: 14-24.

Water hammer and vibration analysis of a thick-wall pipe considering fluid-structure interaction

Guo Qiang, Zhou Jianxu※, Huang Ya, Zhang Jian

(,,210024,)

A thick-wall pipe is widely used in a water conveyance system, due to its high anti-risk ability on transient flow. If the thickness of pipe wall is great enough, the axial stresses vary significantly in the radial direction. It is necessary to consider a buffering effect of axial stresses, representing by the buffering coefficients1and2. In this study, an one-dimensional Fluid-Structure Interaction (FSI) model was proposed for the accurate prediction on the mechanical properties of a thick-wall pipe during water hammer. A FSI thin-wall model was also set considering the relaxed effect that caused by the radial deformation. Four equations included the continuity and motion equation of fluid, while, the motion and deformation equation of pipe structure. A Finite Volume Method (FVM) was also selected to evaluate the reliability and accuracy of the model, according to the experimental data. Compared with the thin-wall model, the thick-wall model can be used to weaken the axial stress level in the pipe wall under buffering effects. The simulated results showed that there were obvious buffering effects, and evident differences between the thick- and thin-wall model, at the thickness-diameter ratio of/>0.05. At the thickness-diameter ratio of/<0.05, there were the minor buffering effects, and the negligible differences between the thick- and thin-wall model.In the small values of coefficients1and2, the thick-wall model can be degenerated into the thin-wall model. It infers that the thin-wall model can be assumed as the special mode of thick-wall model without buffering effects. Considering FSI, the first pressure drop, ‘pumping’ effect, and last pressure drop can be observed in each half period, indicating an important role in the modes of fluid or structures.There were totally differences in the pressure oscillation, wave speeds, and axial vibration of pipe wall. Specifically, all the modes of frequencies were attributed to the speed of pressure wave and stress waveThe resulting structure or fluid behaved different mode responses. The waves was dominated in the simulated and experimental data that derived from the pressure wave speeds in two models, indicating that the thick-wall model was much more accurate for a thick-wall pipe during water hammer. In addition, the axial vibration and pressure oscillation became stronger in the thick-wall model, indicating that the system has stronger FSI responses. In the modes with low frequencies, the system displayed relatively low robustness, where the fluid can suffer to the slow ‘pumping’ effect. A given system simulated by the thick-wall theory demonstrated a large flexibility and small pressure wave velocity. The modified thick-wall model can be used to significantly improve the fluid-structure interaction model for a thick-wall pipe.

pressure; models; water hammer; fluid-structure interaction

郭強(qiáng)，周建旭，黃亞，等. 考慮流固耦合的厚壁輸水管水錘和振動(dòng)特性分析[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2020，36(21)：137-144. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.21.017 http://www.tcsae.org

Guo Qiang, Zhou Jianxu, Huang Ya, et al. Water hammer and vibration analysis of a thick-wall pipe considering fluid-structure interaction[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(21): 137-144. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.21.017 http://www.tcsae.org

2020-07-26

2020-08-31

國家自然科學(xué)基金（51879087，51839008，51709087）作者簡介：郭強(qiáng)，博士，主要從事瞬變過程的研究。Email：guoq1228@126.com

周建旭，教授，博士，主要從事水電站水力瞬變研究。Email：jianxuzhou@163. com

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.21.017

TV134

A

1002-6819(2020)-21-0137-08