陳亞舟周志強(qiáng) 彭 杰

*(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

?(中國兵器工業(yè)導(dǎo)航與控制技術(shù)研究所，北京100089)

液體從毛細(xì)管口流出并形成液滴的現(xiàn)象廣泛存在于工業(yè)生產(chǎn)和日常生活之中，例如，噴墨打印[1]、液體的噴射與霧化[2-4]、多相流分離[5-6]以及生物芯片制造等[7-9]。關(guān)于豎直毛細(xì)管中流體下落問題的分析可以追溯到1718年，最早由Mariott提出并進(jìn)行了初步研究[10]。幾個世紀(jì)以來，眾多學(xué)者從多個角度對這一問題進(jìn)行了闡述和分析[11-14]。流體從毛細(xì)管中流出后，在 Plateau–Rayleigh不穩(wěn)定性的作用下，會發(fā)生局部收縮并形成液滴的頸部。在表面張力的作用下，頸部進(jìn)一步發(fā)生收縮并最終斷裂，使得液滴的類球形頭部與尾部錐形區(qū)分離，形成液滴最終的形態(tài)。為了能夠?qū)σ旱涡纬傻倪^程有一個清晰的認(rèn)識，人們分別采用了實驗[15-16]、小參數(shù)展開法[17]、潤滑近似理論[18-20]以及相似理論[21]等研究方法對這一問題展開了廣泛、深入且細(xì)致的研究。

Eggers等[18]分析了細(xì)長軸對稱黏性流體液柱的運(yùn)動特性，他們從Navier–Stokes方程出發(fā)，通過化簡得到描述液柱運(yùn)動速度和半徑隨時間演化規(guī)律的一維動力學(xué)系統(tǒng)，其結(jié)果被廣泛用于解釋液橋拉伸以及液滴形成過程中存在的現(xiàn)象。Schulkes[22]分析了毛細(xì)管出口處懸垂液滴的形成過程。結(jié)果顯示，液滴外形的演化規(guī)律及特征和液滴體積增長速率以及毛細(xì)管出口半徑密切相關(guān)。Zhang等[23]研究了浸沒在不相溶液體中的毛細(xì)管出口液滴的演化過程，指出液滴的形變過程及其頸部斷裂特征與兩種流體的黏度之比密切相關(guān)。Wilkes等[24]通過實驗和數(shù)值的方法，對毛細(xì)管中牛頓流體液滴的下落過程進(jìn)行了研究。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在液滴發(fā)生斷裂前，若流體的黏度較低，會出現(xiàn)液滴頸部深入液滴頭部的現(xiàn)象，此時頸部斷裂位置略低于頭部的最高點。Ambravaneswaran等[25]通過數(shù)值模擬對上述現(xiàn)象進(jìn)行了進(jìn)一步的驗證。

表面活性分子或表面活化劑是一種同時具有親水和疏水基團(tuán)的物質(zhì)，在液滴自由面上加入少量不溶性表面活化劑，可以顯著改變液滴的表面張力系數(shù)，進(jìn)而影響液滴形成過程的動力學(xué)特性。Ambravaneswaran等[26]研究了不溶性表面活化劑作用下，液橋拉伸的非線性變形和斷裂過程，重點考察了表面活化劑Peclet數(shù)(反映表面活化劑在液橋自由面上對流和擴(kuò)散效應(yīng)之比)對液橋動力學(xué)特性的影響。研究結(jié)果表明，液橋自由面上表面活化劑濃度變化引起的Marangoni效應(yīng)，可以促進(jìn)或者抑制液橋的斷裂。Liao等[27]采用數(shù)值模擬的方法對這一過程進(jìn)行了數(shù)值仿真。結(jié)果表明，在液橋頸部區(qū)域，由于受強(qiáng)對流效應(yīng)的影響，表面活化劑濃度較低，這使得液橋頸部的表面張力系數(shù)比其他區(qū)域要大。表面活化劑通過減小表面張力以及引起表面張力梯度(即 Marangoni力)，可以影響液橋斷裂的動力學(xué)過程。Yang等[28]通過實驗研究了液體射流的穩(wěn)定性和射流頸部斷裂形成液滴的動力學(xué)特性，結(jié)果發(fā)現(xiàn)液滴連續(xù)形成過程的動力學(xué)特性與表面活化劑的濃度密切相關(guān)。

在本文中，將針對豎直毛細(xì)管道出口表面活化劑包覆液滴的下落、變形以及斷裂的動力學(xué)過程進(jìn)行研究，通過理論分析與數(shù)值仿真相結(jié)合的方法，重點分析表面活化劑對毛細(xì)管出口液滴形成演化過程的影響機(jī)制和規(guī)律。

1 問題描述

如圖1所示，考慮豎直毛細(xì)圓管中牛頓流體液滴的下落問題。毛細(xì)管內(nèi)半徑為R*，內(nèi)有密度為ρ*和動力學(xué)黏性系數(shù)為μ*的流體在重力g*作用下下落。毛細(xì)管壁內(nèi)部有微管道，通入不溶于液滴的表面活化劑，在毛細(xì)管出口會形成包覆液滴的表面活化劑層。隨著液滴的下落與拉伸，在Plateau–Rayleigh不穩(wěn)定性作用下，液滴的中部收縮形成頸部。在表面張力的作用下，液滴頸部持續(xù)收縮直至斷裂，形成液滴最終的形態(tài)。表面活化劑通過對流和擴(kuò)散過程進(jìn)行輸運(yùn)，在液滴自由面上形成一定的濃度分布，從而改變液滴自由面的局部表面張力系數(shù)，進(jìn)而對液滴下落、變形及斷裂的動力學(xué)過程產(chǎn)生影響。

圖1 表面活化劑包覆液柱的幾何示意圖

1.1 控制方程

假設(shè)流動為軸對稱流動，沿毛細(xì)管道軸向建立柱坐標(biāo)系，如圖1所示，其中z*軸正方向豎直向下。重力g*沿坐標(biāo)軸z*正方向。在t*時刻，液滴自由面位置記作r*=h*(z*，t*)。液滴下落運(yùn)動的質(zhì)量和動量守恒方程如下

其中

在液滴自由面r*=h*(z*，t*)處，根據(jù)光滑流體自由面的保持性，有運(yùn)動學(xué)邊界條件

式中，γ*為表面張力系數(shù)，κ*為液滴自由面上的局部曲率，其具體表達(dá)式為

式中，為不含表面活化劑時液滴自由面表面張力系數(shù)，Γ*為液滴自由面上局部表面活化劑濃度，為表面活化劑飽和吸附時的表面過剩濃度，為氣體常數(shù)，T*為活化劑的溫度。在本問題中，假定液滴是在恒溫環(huán)境下自由下落，即T*為給定常數(shù)。

由于表面活化劑的不溶性，其只能在液滴自由面上進(jìn)行輸運(yùn)。在軸對稱假設(shè)下，表面活化劑在液滴自由面上的對流和擴(kuò)散方程[30]為

式中，為表面活化劑沿液滴自由面的濃度擴(kuò)散系數(shù)。至此，方程式 (1)～式 (10)構(gòu)成了本問題的封閉方程組，對其直接進(jìn)行求解較為困難。接下來我們將采用泰勒展開和潤滑近似方法，對上述方程進(jìn)行化簡。

1.2 潤滑近似

根據(jù)潤滑近似理論[20]，并參考Eggers等[18]的做法，這里將液滴下落的軸向速度u*z(r*，z*，t*)和壓力p*(r*，z*，t*)沿液滴半徑r*做泰勒展開，可得

由于假定流動軸對稱，因此式 (11)和式 (12)中關(guān)于r*的一次項均為零。將式(11)代入質(zhì)量守恒方程(1)中，化簡后可以得到

將式(12)和式(13)代入沿液滴半徑r*方向的動量守恒方程(2)中，化簡并保留至O(r*)階精度，可以得到?p*/?r*=0。因此，液滴沿半徑方向壓強(qiáng)均勻分布，此即潤滑近似。類似的，將式(12)和式(13)代入沿毛細(xì)管道z*軸方向的動量守恒方程(3)中并忽略高階小量，可得

同理，將式(11)～式(13)代入液滴自由面的法向和切向應(yīng)力平衡條件方程式(6)和式(7)中，忽略高階小量，可得

將方程式(15)和式(16)代入方程式(14)中，消去和，可得

將式(11)～式(13)代入液滴自由面的運(yùn)動學(xué)邊界條件方程(5)中，忽略高階小量可得

同樣，對表面活化劑的對流和擴(kuò)散輸運(yùn)方程式(10)亦做如上處理，可得

至此，我們將重力作用下，毛細(xì)管出口表面活化劑包覆軸對稱液滴的自由下落問題簡化為由方程式(17)～式(19)描述的一維動力學(xué)系統(tǒng)。該系統(tǒng)的待求變量為液滴對稱軸線上的速度(z*，t*)，液滴自由面位置h*(z*，t*)和表面活化劑濃度Γ*(z*，t*)。方程(17)中液滴自由面的局部平均曲率κ*和表面張力系數(shù)γ*分別可由式(8)和式(9)給出。這里需要指出，本文中式(8)為液滴自由面曲率的精確表達(dá)式，它能更好地描述自由面的非線性演化行為。

1.3 無量綱化

接下來，對方程(17)～方程(19)組成的動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行無量綱化。選取毛細(xì)管道的內(nèi)半徑R*為特征長度和分別為特征時間和特征壓強(qiáng)，以和分別作為表面活化劑特征濃度和特征表面張力系數(shù)，得到方程式(17)和式(18)的無量綱形式

根據(jù)式(8)和式(9)，可知液滴自由面曲率和無量綱表面張力系數(shù)的表達(dá)式分別為

其中

至此，通過求解式(20)～式(21)和式(25)組成的一維動力學(xué)系統(tǒng)，即可獲得毛細(xì)管出口表面活化劑包覆液滴在重力作用下自由下落問題的解。

2 邊界條件與數(shù)值方法

接下來，對本文中采用的數(shù)值方法及其驗證進(jìn)行介紹。首先，假定初始時刻，毛細(xì)管出口位置液滴頭部的形狀為半球形，液滴自由面上表面活化劑均勻分布，即

令毛細(xì)管中液體的體積流率Q=πUf為常數(shù)，Uf為毛細(xì)管出口位置的平均速度。在毛細(xì)管出口，液滴自由面上的表面活化劑濃度為Γ(z=0，t)=Γ0。將液滴的最低點(液滴頭頂部位)到毛細(xì)管口的距離記為液滴長度L(t)，如圖2所示。在這里為了簡化問題，假設(shè)毛細(xì)管出口截面液滴下落速度是均勻的，相應(yīng)的邊界條件可表示為

顯然，液滴長度L(t)隨液滴下落逐漸變化，是一個未知量。根據(jù)質(zhì)量守恒定律，L(t)可以根據(jù)以下關(guān)系式確定[25]

式中，V0定義為液滴無量綱化初始體積。由于L(t)隨時間不斷變化，這里引入以下變換

可將計算域 [0，L(t)]投影到 [0，1]，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)變換關(guān)系如下

根據(jù)上述邊界條件，式(20)～式(21)和式(25)組成的一維動力學(xué)系統(tǒng)可以定解。在本文中采用差分方法對一維動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值求解，在空間方向采用二階中心差分格式、在時間方向上采用四階Runge–Kutta法?？臻g離散的網(wǎng)格寬度Δξ=1/1200，時間步長選擇Δτ=5×10－7。為了對模型和計算方法的正確性進(jìn)行驗證，首先對毛細(xì)管內(nèi)無表面活化劑的甘油和水混合液滴的下落、變形及斷裂過程進(jìn)行了模擬，其中液滴表面無活化劑，毛細(xì)管道半徑R*=1.375 mm，體積流量Q*=15 mL/min，結(jié)果如圖2所示。數(shù)值模擬所得液滴外形與實驗結(jié)果[31]基本吻合。這驗證了本文所給出的液滴外形演化的數(shù)學(xué)模型以及相應(yīng)數(shù)值求解方法的可靠性。

圖2 水和20%甘油混合液滴頸部斷裂前自由面形狀的理論和實驗結(jié)果[31]對比圖

3 結(jié)果分析

本小節(jié)中，參考文獻(xiàn)[25]中的數(shù)據(jù)設(shè)置了相關(guān)無量綱參數(shù)，并在β∈[0，1.0]，Γ0∈[0，0.7]的范圍內(nèi)取值，對包覆液滴下落過程進(jìn)行了模擬。圖3給出了不同時刻表面活化劑包覆的液滴從毛細(xì)管形成和下落演化的過程，其中流動參數(shù)為Oh=0.2941，Bo=0.5500，Uf=0.3040，Pe=100，Γ0=0.1，β=0.3。在液滴形成(t=0)和下落的初始階段(t=10.00)，隨著液體從毛細(xì)管口不斷流出，液滴的體積逐漸增大，并在表面張力作用下逐漸形成類半球形頭部。當(dāng)液滴體積繼續(xù)增大并超過穩(wěn)定液滴最大臨界體積時[22]，液滴的中段半徑略小于毛細(xì)管道出口半徑形成頸部 (t=15.00)，并在表面張力作用下開始快速收縮。液滴在繼續(xù)下落的過程中，頭部逐漸演化為近似球形。在液滴頸部即將發(fā)生斷裂前(t=16.40)，由于液滴頭部下落拉伸的作用，液滴頸部呈現(xiàn)為一段細(xì)長的圓柱形液橋，分別與毛細(xì)管下方錐形流體區(qū)域和液滴頭部相連接。

圖3 液滴自由面形狀演化過程圖

圖4給出了液滴頸部斷裂時刻，不同表面活化劑活性常數(shù)β對液滴下落高度以及液滴演化形狀的影響規(guī)律，其中流動參數(shù)為：Oh=0.2941，Bo=0.5500，Uf=0.3040，Pe=100，Γ0=0.3。當(dāng)β=0時，液滴自由面無表面活化劑存在，此時液滴自由面上表面張力系數(shù)為常數(shù)，即γ=1(見式 (24))。從圖4中可以明顯看出，隨著表面活化劑活性常數(shù)β逐漸增大，液滴頸部斷裂時刻液滴下落的長度(極限長度)Lb呈單調(diào)增加的趨勢。與此同時，液滴的外形也從近似球形逐漸變?yōu)槁研?。這主要是由于液滴自由面上表面活化劑非均勻分布引起的 Marangoni力所致[27]。

圖4 表面活化劑活性常數(shù)βg對液滴下落和自由面形狀演化規(guī)律的影響

圖5給出液滴自由面不同活化劑初始濃度Γ0條件下，液滴頸部斷裂時間tb、液滴頸部斷裂時刻液滴下落的長度(極限長度)Lb隨表面活化劑活性常數(shù)β的變化曲線，其中流動參數(shù)：Oh=0.2941，Bo=0.5500，Uf=0.3040，Pe=100。從圖中可以非常明顯地看出，液滴形成過程中，液滴頸部斷裂時間tb隨著表面活化劑活性常數(shù)β的增大而減小。換言之，表面活化劑能夠促進(jìn)毛細(xì)管內(nèi)液體下落過程中液滴的形成過程，并且這一效應(yīng)隨活化劑初始濃度的增大而愈發(fā)顯著。當(dāng)活化劑初始濃度相對較小時(Γ0≤0.4)，從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，液滴頸部斷裂時間tb以及液滴下落的長度(極限長度)Lb與表面活化劑活性常數(shù)β之間近似呈線性關(guān)系。

圖6給出了不同表面活化劑活性常數(shù)β取值情況下，液滴頸部斷裂時間tb、液滴頸部斷裂時刻液滴下落的長度 (極限長度)Lb隨表面活化劑初始濃度Γ0的變化曲線，其中流動參數(shù)：Oh=0.2941，Bo=0.5500，Uf=0.3040，Pe=100。從圖中可以看出，隨著初始濃度Γ0的增大，tb逐漸減小而Lb逐漸增大。綜合上述結(jié)果，我們可以得出如下結(jié)論，與無表面活化劑的液滴形成和下落演化過程相比，表面活化劑一方面促進(jìn)液滴形成 (縮小頸部斷裂時間)，另一方面可以增大液滴下落的長度(極限長度)。與此同時，表面活化劑的存在使得形成的液滴趨向于卵球形。相比于表面活化劑的活性常數(shù)，液滴自由面上表面活化劑的初始濃度對于液滴形狀的影響更為顯著。

圖5 液滴自由面上不同活化劑初始濃度Γ0的條件下，液滴斷裂時間tb、極限長度Lb隨表面活化劑活性常數(shù)β的變化規(guī)律

圖6 不同表面活化劑活性常數(shù)β條件下，液滴斷裂時間tb、極限長度Lb隨液滴自由面上表面活化劑初始濃度Γ0的變化規(guī)律

從前面分析可知，方程 (21)中的參數(shù)φ反映了液滴自由面曲率沿z軸方向變化所引起的表面張力附加壓強(qiáng)梯度效應(yīng)，參數(shù)ψ反映液滴自由面上活化劑濃度梯度引起的Marangoni效應(yīng)。圖7給出了兩種活化劑初始濃度以及活性常數(shù)條件下，液滴斷裂前下落的長度L基本一致時方程 (21)中參數(shù)φ和ψ、液滴自由面表面張力系數(shù)γ、活化劑濃度Γ以及液滴自由面位置沿軸向坐標(biāo)z的分布。其中實線代表初始活化劑濃度和活性常數(shù)分別為Γ0=0.1，β=0.1，下落時間t=15.00的結(jié)果；虛線代表初始活化劑濃度和活性常數(shù)分別為Γ0=0.3，β=0.5，下落時間t=13.60的結(jié)果。其余流動參數(shù)為：Oh=0.2941，Bo=0.5500，Uf=0.3040，Pe=100。從圖中可以看出，表面活化劑的濃度沿軸向坐標(biāo)的變化趨勢與自由面徑向位置變化趨勢基本一致。換言之，在對流和擴(kuò)散輸運(yùn)的作用下，在液滴半徑較小 (較細(xì))的部位，表面活化劑的濃度相對較低，而在液滴半徑較大(較粗)的部位，表面活化劑的濃度相對較高。根據(jù)液滴表面無量綱表面張力系數(shù)與表面活化劑濃度之間的關(guān)系式 (24)，可知在液滴半徑較細(xì)的區(qū)域，局部表面張力較大，在液滴半徑較粗的位置，局部表面張力較弱。因此，在液滴自由面上存在從液滴半徑較粗位置指向半徑較細(xì)位置的 Marangoni牽引力。進(jìn)一步，根據(jù)式(22)可知，若ψ＞0將促進(jìn)流體沿z軸正向流動；反之，ψ＜0將促使流體沿z軸負(fù)向流動。從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，在毛細(xì)管出口附近ψ＞0，即 Marangoni牽引力促進(jìn)了流體向下運(yùn)動，使毛細(xì)管出口形成的錐形液體區(qū)域被進(jìn)一步拉伸；相反，在液滴頸部區(qū)域ψ＜0，Marangoni牽引力使得液體有向液滴頸部匯聚的趨勢；然而，在液滴的頭部區(qū)域又出現(xiàn)ψ＞0，此時Marangoni牽引力具有促使液滴頭部沿軸向拉伸的效應(yīng)。因而，可使液滴頭部外形從近似球形演化為卵形。對比圖7中實線和虛線結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)液滴自由面上表面活化劑初始濃度Γ0和活化劑活性常數(shù)β增大時，由于Marangoni效應(yīng)增強(qiáng)，ψ的變化更為明顯，因此液滴下落過程中毛細(xì)管出口形成的錐形液體區(qū)域被迅速拉長。換言之，Marangoni效應(yīng)較強(qiáng)時，液滴自由下落過程中，錐形區(qū)域拉伸相同長度所需時間相對縮短。另一方面，Marangoni效應(yīng)較強(qiáng)時，在液滴自由下落過程中，頸部區(qū)域ψ和φ明顯減小，這使得流體具有向頸部區(qū)域流動的趨勢，從而導(dǎo)致頸部半徑的收縮速度相對減緩。綜合上述兩方面的影響，若在自由下落液滴表面包覆表面活化劑，在Marangoni效應(yīng)的影響下，液滴下落速度會增加、液滴下落的極限長度會增長，與此同時液滴頭部更趨近于卵形。

圖7 液滴下落的長度基本一致時，方程(21)中與表面張力相關(guān)的兩項φ和ψ、液滴自由面上表面張力系數(shù)γ、活化劑濃度Γ和液滴自由面形狀

4 結(jié)論

本文研究了毛細(xì)管出口表面活化劑包覆液滴形成與下落過程的動力學(xué)特性。在軸對稱流動假設(shè)下，通過采用泰勒展開并根據(jù)潤滑近似理論，推導(dǎo)了液滴自由面以及自由面上表面活化劑濃度分布隨時間演化的一維動力學(xué)模型，并對其進(jìn)行了數(shù)值求解。結(jié)果顯示，液滴自由面上的表面活化劑濃度分布不均勻所引起的Marangoni效應(yīng)，可以促進(jìn)液滴形成和下落過程。在促進(jìn)液滴頸部斷裂的同時，還可以增大液滴下落過程的極限長度。相比于表面活化劑的活性常數(shù)，液滴自由面上表面活化劑的初始濃度對液滴外形演化過程的影響更為明顯。