楊鵬，杜挺

(1.西京學(xué)院理學(xué)院，陜西 西安710123; 2.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安710049)

1.引言

最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)策略選擇問題，是金融數(shù)學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn).該問題的研究框架是，保險(xiǎn)公司通過再保險(xiǎn)減少風(fēng)險(xiǎn)，通過投資增加財(cái)富，在最大化或最小化一些目標(biāo)函數(shù)下，求得最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略.文[1]應(yīng)用隨機(jī)控制理論研究了擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)投資問題，獲得了最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的顯式解.文[2]研究了和文[1]類似的問題，區(qū)別在于考慮投資時(shí)假設(shè)含有多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)并且考慮了再保險(xiǎn)，文[2]也獲得了最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略以及值函數(shù)的顯式解.最近，有很多學(xué)者研究了最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問題.文[3]研究了CEV模型下的最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問題;文[4]研究了保險(xiǎn)市場和金融市場具有相依情形下的投資-再保險(xiǎn)問題; 文[5]研究了最優(yōu)投資超額損失投資-再保險(xiǎn)問題; 文[6]研究了投資者只能獲得部分信息下的最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問題.

在上述文獻(xiàn)中，保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入都是常數(shù)，然而實(shí)際中保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入不一定是常數(shù).比如在汽車保險(xiǎn)中，保險(xiǎn)公司制定下一年的保費(fèi)通常依據(jù)上一年的理賠情況; 養(yǎng)老保險(xiǎn)保費(fèi)的繳費(fèi)每年也都是動(dòng)態(tài)變化的.因此，考慮隨機(jī)保費(fèi)才更符合實(shí)際.文[7]研究了隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型，最近研究隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的文獻(xiàn)越來越多.文[8]研究了隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的折現(xiàn)懲罰函數(shù); 文[9]研究了收入和損失具有相依性下，隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的折現(xiàn)懲罰函數(shù); 文[10]研究了隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅策略; 文[11]研究了隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率.

據(jù)我們所知，目前還沒有學(xué)者研究隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)策略選擇問題，因此本文對(duì)該問題進(jìn)行了研究.考慮再保險(xiǎn)時(shí)，大部分學(xué)者都是按期望值原理計(jì)算再保險(xiǎn)保費(fèi).但是，期望值原理計(jì)算再保險(xiǎn)保費(fèi)，只考慮到了理賠的期望沒考慮理賠的方差.基于對(duì)期望值原理的改進(jìn)，本文按照方差原理計(jì)算再保險(xiǎn)保費(fèi).保險(xiǎn)公司在投資時(shí)，買賣股票是需要傭金、印花稅、過戶費(fèi)的，即買賣股票是有交易費(fèi)用的，尤其是頻繁交易時(shí)，交易費(fèi)用是很大的.因此在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資時(shí)，應(yīng)考慮交易費(fèi)用，考慮交易費(fèi)用才更符合實(shí)際情況.然而，在最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問題中，考慮交易費(fèi)用的文獻(xiàn)還非常少.具我們所知，只有文[12]對(duì)擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，考慮了含交易費(fèi)用的最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問題.本文對(duì)文[12]的模型進(jìn)行推廣，研究了隨機(jī)保費(fèi)收入下，跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型帶交易費(fèi)用的最優(yōu)投資-再保險(xiǎn)問題.

2.模型和Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程

在現(xiàn)實(shí)中受一些不確定因素和保險(xiǎn)公司推出的一些激勵(lì)措施的影響，保險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入一般具有隨機(jī)性，因此考慮隨機(jī)保費(fèi)收入更符合實(shí)際.文[7]在Cram′er-Lundberg保險(xiǎn)模型中引入了隨機(jī)保費(fèi)，本文把文[7]的模型推廣到跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型，即考慮如下帶隨機(jī)保費(fèi)的跳-擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型

其中{N1(t)，t ≥0}是參數(shù)為λ1＞0的泊松過程，表示到時(shí)刻t為止收到的保費(fèi)次數(shù); {Sk，k =1，2，···}是一列獨(dú)立同分布的(嚴(yán)格)取正值的隨機(jī)變量，Sk表示第k次保費(fèi)收入額，其通常的隨機(jī)變量記為S，共同分布為G(s)，密度函數(shù)為是到時(shí)刻t為止收到的總的保費(fèi); {Yi，i=1，2，···}是一列獨(dú)立同分布的(嚴(yán)格)取正值的隨機(jī)變量，其通常的隨機(jī)變量記為Y，共同分布為F(y)，密度函數(shù)為f(y)，F(xiàn)(0) = 0，Yi表示第i次賠付的大小; {N(t)，t ≥0}是參數(shù)為λ ＞0的泊松過程，表示到時(shí)刻t為止總的索賠發(fā)生次數(shù); {，t ≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，表示不確定的收益或損失，β ≥0是常數(shù).此外，假設(shè){Yi，i = 1，2，···}，{N(t)，t ≥0}，{N1(t)，t ≥0}，{Sk，k =1，2，···}和{，t ≥0}是相互獨(dú)立的.{Xt，t ≥0}為保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余.

再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)的主要方式，因此我們下面考慮再保險(xiǎn).本文考慮的再保險(xiǎn)方式是比例再保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司再保險(xiǎn)的比例為(1-a(t))，a(t)為保險(xiǎn)公司的自留比例，0 ≤a(t)≤1.也就是說在每次發(fā)生理賠時(shí)，保險(xiǎn)公司支付100a(t)%，同時(shí)再保險(xiǎn)公司支付剩余的100(1-a(t))%.再保險(xiǎn)公司為保險(xiǎn)公司分擔(dān)一部分理賠，保險(xiǎn)公司則需要向再保險(xiǎn)公司支付一定的保費(fèi)，再保險(xiǎn)保費(fèi)按照方差原理計(jì)算，即(1-a(t))λμ1+α(1-a(t))2λμ2，其中α ＞0為一常數(shù)，μ1=E(Y)，μ2=E(Y2).考慮比例再保險(xiǎn)后，保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余變?yōu)?/p>

在金融市場上投資是保險(xiǎn)公司增加財(cái)富的主要方式.本文考慮的金融市場由n+1個(gè)金融資產(chǎn)組成，其中一個(gè)是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如: 債券)，時(shí)刻t的價(jià)格為{B(t)，t ≥0}滿足方程dB(t) =r0B(t)dt，這里r0＞0為無風(fēng)險(xiǎn)利率.n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如:股票)，在時(shí)刻t時(shí)的價(jià)格為{Si(t)，t ≥0}，i=1，2，··· ，n，它們滿足下面的隨機(jī)微分方程

其中ri≥ r0，σij＞ 0為常數(shù)，是n維布朗運(yùn)動(dòng)，假設(shè)j =0，1，2，··· ，n相互獨(dú)立.{Ft，t ≥0} 是，j =0，1，2，··· ，n生成的自然流.

為了使投資問題求解方便，很多文獻(xiàn)在考慮投資時(shí)都沒有考慮交易費(fèi)用.然而在現(xiàn)實(shí)中，投資經(jīng)常存在交易費(fèi)用.因此，本文買賣風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)考慮交易費(fèi)用，設(shè)θb(t) =[θb1(t)，θb2(t)，··· ，θbn(t)]′和θs(t) = [θs1(t)，θs2(t)，··· ，θsn(t)]′分別為買和賣風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的交易費(fèi)用，即買一個(gè)單位的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i將花費(fèi)(1+θbi(t))Si(t)的費(fèi)用，賣一個(gè)單位的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i將得到(1 - θsi(t))Si(t)的收益.設(shè)πb(t)，πs(t)分別為買和賣風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資金，這里πb(t) =所以在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資額為πb(t)-πs(t).因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)買賣風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，所以有=0.本文我們禁止賣空(no-shorting)，即要求≥0，i = 1，2，··· ，n.若某個(gè)＜0)，則表示投資者以利率r0從銀行貸款，來對(duì)沖的部分.

我們選取再保險(xiǎn)時(shí)保險(xiǎn)公司的自留比例a(t)和保險(xiǎn)公司在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資額πb(t)，πs(t)作為控制變量.為了書寫簡潔，記πb:=πb(t)，πs:=πs(t)，a:=a(t)，以及π :=(a，πb，πs).一旦π被選定了，則保險(xiǎn)公司的財(cái)富過程變?yōu)?/p>

其中I是n維單位列向量，r =(r1，r2，··· ，rn)′，D =(σij)n×n，A′為A的轉(zhuǎn)置.

定義2.1一個(gè)策略π稱為可行的，如果π關(guān)于流{Ft，t ≥0}是可料的，且對(duì)于t ≥0，過程π滿足下面三個(gè)條件: 1) 幾乎處處有幾乎處處有∞; (3) 0 ≤a(t)≤1.所有可行的策略記為Π.

假設(shè)保險(xiǎn)公司的目的是，尋找最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略使投資終止時(shí)刻T時(shí)財(cái)富的期望效用最大.設(shè)效用函數(shù)為這里δ ＞0，γ ＞0.顯然有u′＞0，u′′＜0.記Vπ(t，x)為時(shí)刻t，盈余為x，策略為π時(shí)，終止財(cái)富的期望效用，即目標(biāo)是尋找最優(yōu)的值函數(shù)

和最優(yōu)的策略π*使得

類似于文[13]，可得下面的HJB方程和檢驗(yàn)定理.定理的證明參考文[13]，本文不再證明.

定理2.1假設(shè)由(4)定義的值函數(shù)V(t，x)關(guān)于t是連續(xù)可微，關(guān)于x是二次連續(xù)可微的函數(shù)，則V(t，x)滿足下面的HJB方程

邊界條件

這里Vt，Vx，Vxx分別為V(t，x)關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)，關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)和關(guān)于x的二階導(dǎo)數(shù)，且B1= (r1- r0- θb1，r2- r0- θb2，··· ，rn- r0- θbn)′，B2= (r1+ r0- θs1，r2+ r0-θs2，··· ，rn+r0-θsn)′.

定理2.2(檢驗(yàn)定理) 設(shè)W(t，x) ∈C2是一凹函數(shù)，為HJB方程(6)的解，滿足邊界條件(7)，則W(t，x)恰好等于最優(yōu)值函數(shù)V(t，x).進(jìn)一步，若π*使得

則π*是最優(yōu)的策略，也就是W(t，x)=V(t，x)=Vπ*(t，x).

3.最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略

為了得到最優(yōu)的投資和再保險(xiǎn)策略，首先給出下面的定理3.1.

定理3.1下面關(guān)于a的方程

證設(shè)

則

因此，l(a)是關(guān)于a單調(diào)遞減的凹函數(shù).又因?yàn)?/p>

下面給出本文的主要結(jié)果.

目前我國反腐敗法律制度黨內(nèi)立法多、國家立法少，黨內(nèi)制度又往往不能及時(shí)轉(zhuǎn)化為國家法律法規(guī)，因而其強(qiáng)制性和約束力偏弱。理順二者的關(guān)系:一是要處理好憲法與的黨內(nèi)反腐法規(guī)關(guān)系;二是要處理好國家反腐立法與黨內(nèi)反腐立法的互動(dòng)關(guān)系;三是要處理好黨內(nèi)反腐法規(guī)與國家法律有關(guān)反腐規(guī)定的互補(bǔ)關(guān)系;四是要嚴(yán)格區(qū)分黨內(nèi)反腐立法和國家反腐立法的權(quán)限;五是要構(gòu)建黨內(nèi)立法與國家立法的銜接機(jī)制;六是要適時(shí)把成熟的黨內(nèi)法規(guī)上升為國家法律;七是要加強(qiáng)黨內(nèi)執(zhí)法和國家執(zhí)法過程中的聯(lián)系與溝通;八是要建立黨內(nèi)違章審查制度。

定理3.2對(duì)于財(cái)富過程(3)，最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略a*為下述方程的根

最優(yōu)投資策略為

最優(yōu)的值函數(shù)為

證設(shè)W(t，x) ∈C2是一凹函數(shù)，為HJB方程(6)的解，滿足邊界條件(7).由文[12]中的引理1-4，我們有

與文[12]類似的，最優(yōu)投資策略滿足下式

把(14)式代入(6)式，得到

和文[1]類似的，假設(shè)W(t，x)滿足如下形式

這里h(·)是一個(gè)確定的函數(shù)，它使得(16)式是(15)式的一個(gè)解，且h(0)=0.從(16)式，我們可以得到

把(16)式和(17)式代入(15)式，有

設(shè)

(19)式兩端從t到T求積分可得h(T -t)滿足(13)式.h(T -t)代入(16)式，由定理2.2，得值函數(shù)V(t，x) = W(t，x)，且滿足(12)式.W(t，x)代入(14)式，得到最優(yōu)投資策略滿足(11)式.證畢.

4.數(shù)值計(jì)算及經(jīng)濟(jì)分析

本節(jié)通過數(shù)值計(jì)算，解釋模型參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略的影響，并進(jìn)一步給出結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義.

設(shè)保費(fèi)收入和理賠額的分布都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，即G(s) = 1 - e-s，s ＞0，F(xiàn)(y)=1-e-y，y ＞0.根據(jù)方程(9)，我們得到最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略a*滿足下面的方程

例1設(shè)r0= 0.05，T = 5，t = 1，γ = 0.5，則由(20)式可得α對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*(t)的影響，結(jié)果見圖1.從圖1中可以看出，a*(t)關(guān)于α是單調(diào)遞增的.α越大，說明再保險(xiǎn)的保費(fèi)越高;因此，隨著α增加，保險(xiǎn)公司將減少再保險(xiǎn)的比例，即保險(xiǎn)公司自留比例增大.

圖1 α對(duì)a*(t)的影響

圖2 γ對(duì)a*(t)的影響

例2設(shè)r0= 0.05，T = 5，t = 1，α = 0.5，則由(20)式可得γ對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*(t)的影響，結(jié)果見圖2.從圖2可以看出，a*(t) 關(guān)于γ是單調(diào)遞減的.γ 是絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)，γ越大，保險(xiǎn)公司所承受的風(fēng)險(xiǎn)越大.因此，當(dāng)γ增大時(shí)，保險(xiǎn)公司更希望通過再保險(xiǎn)轉(zhuǎn)移理賠風(fēng)險(xiǎn)，即保險(xiǎn)公司自留比例減少.

圖3 α和γ對(duì)a*(t)的聯(lián)合影響

圖4 r0對(duì)a*(t)的影響

例3設(shè)r0= 0.05，T = 5，t = 1，圖3進(jìn)一步解釋了α和γ對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的聯(lián)合影響.從圖3可以看到，相對(duì)α來說，γ 對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響更大.這說明，當(dāng)再保險(xiǎn)公司增加保費(fèi)時(shí)，如果保險(xiǎn)公司面臨的不確定因素增大，保險(xiǎn)公司更愿意尋求再保險(xiǎn)公司抵御理賠風(fēng)險(xiǎn).

例4設(shè)T = 5，t = 1，α = 0.5，γ = 0.2，則由(20)式可得r0對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*(t)的影響，結(jié)果見圖4.從圖4可以看出，a*(t)是r0的減函數(shù).r0是無風(fēng)險(xiǎn)利率，r0越大，保險(xiǎn)公司從無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益越大.收益增大了保險(xiǎn)更不愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，因此更希望尋求再保險(xiǎn)公司來抵御理賠風(fēng)險(xiǎn).