林永靜

(溫州職業(yè)技術學院建筑工程系，浙江溫州325035)

1900年，德國數(shù)學家希爾伯特在第二屆世界數(shù)學家大會上提出了著名的23個問題，這23個問題是數(shù)學家的夢想，許多數(shù)學家用一生試圖攻克其中的一個或幾個問題。這些問題，一些已經(jīng)得到圓滿解決，一些得到部分解決，也有一些尚未解決。為了解決希爾伯特問題，數(shù)學家發(fā)展出很多新的數(shù)學分支，可以說希爾伯特問題引領著20世紀現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的主流，很少有科學問題在科學發(fā)展歷史上起著如此重要的作用。

本文介紹的是希爾伯特第13問(一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性)：七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a，b，c，x=x(a，b，c)，這個三元函數(shù)可否用二元函數(shù)表示出來？同理，圖1所示的三維物體上的應力是一個三元函數(shù)，可否用二元函數(shù)表示出來？

1 第13問的發(fā)展歷史

在希爾伯特第13問提出之后，俄羅斯數(shù)學家柯爾莫果洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov)作出了重要貢獻，部分證明了該問題：任意一個多元函數(shù)可以用有限個三元函數(shù)表達出來。1957年，他的弟子、數(shù)學家阿諾爾德(Arnold)在連續(xù)函數(shù)的情形下證明了該問題：在連續(xù)函數(shù)的情形下，任意一個多元函數(shù)可以用有限個二元函數(shù)表達出來。1964年，維土斯金(Vituskin)推廣到連續(xù)可微情形。該問題對解析函數(shù)情形則未解決。

嚴格的數(shù)學表述[1-2]是：定義在n(n≥2)維立方域[0，1]n上任意一個連續(xù)n元函數(shù)f(x1，x2，···，xn)，可以用連續(xù)的一元函數(shù)φpq和gq表示為

令人遺憾的是，所有的數(shù)學證明都是存在性的證明，而不是構造性的證明。以式(1)為例，雖然式(1)顯示了多元函數(shù)可以用一元函數(shù)的復合來表示，但由于函數(shù)的復合在數(shù)學上過于復雜，一元函數(shù)φpq和gq實際上是無法求得的。長期以來，沿著多元函數(shù)用一元函數(shù)來表示的思路，一直沒有具體的實現(xiàn)方法。

但是，如果將第13問在工程意義上放低要求，在工程概念上理解為：一個多元函數(shù)的工程需要的有效數(shù)據(jù)，用低維函數(shù)表達出來，或者是一個多元函數(shù)用低維函數(shù)最優(yōu)地表達出來。這樣一來，多元函數(shù)的一元函數(shù)表示的空間就比較大了，有可能具體地構造出來。

2003年，我國科學家宋健在第13問的工程表示上取得了進展，將多元函數(shù)在低維可視空間里構造性地表達出來。其研究是在高維空間中尋求由一元函數(shù)組合成的最佳基，使給定的高維函數(shù)展成項數(shù)最少和收斂最快的級數(shù)。

2 工程問題

(1)力學計算中的高維數(shù)煩惱。在力學問題中，當采用有限元求解三維彈性體問題，網(wǎng)格加密時計算量會迅速增加，計算量非常大甚至無法求解，這個問題稱為高維數(shù)煩惱。作者發(fā)現(xiàn)，在塑性極限分析和巖土工程的計算中，也有高維數(shù)煩惱。

(2)有限元線法。和其他有限元方法不同，有限元線法的函數(shù)構造形式采用了一元函數(shù)，二維問題里一個方向上是解析的線，另一個方向上是離散的。有限元線法的計算效率比較高，性質(zhì)也比較好。有限元線法可認為來源于第13問。

(3)控制論問題。在控制論中，低維可視空間中表達高維數(shù)據(jù)或函數(shù)已成為科學研究、系統(tǒng)模擬和工程設計的基礎工作。尋求用數(shù)量最少的單變量函數(shù)組合表達高維函數(shù)，在控制論中可能有廣泛應用。

(4)流形學習，全稱流形學習方法。流形學習是信息科學領域的研究熱點。在理論和應用上，流形學習方法都具有重要的研究意義。假設數(shù)據(jù)是均勻采樣于一個高維歐氏空間中的低維流形，流形學習就是從高維采樣數(shù)據(jù)中恢復低維流形結構，即找到高維空間中的低維流形，并求出相應的嵌入映射，以實現(xiàn)維數(shù)約簡或者數(shù)據(jù)可視化。

(5)PGD(proper generalized decomposition)。PGD是一種有效的多維逼近方法。PGD方法采用變量的分離表示形式逼近響應面，該形式可以有效減少展開項數(shù)目。由于其展開項數(shù)目隨階數(shù)線性增長，該方法為多不確定系統(tǒng)的分析提供了可能。

這些工程問題比較多，這里不一一介紹。以下重點介紹作者的研究工作：高維數(shù)煩惱的延拓Kantorovich法解決方案。

3 高維數(shù)煩惱

高維數(shù)問題隨著精度要求的提高，計算量會迅速地增加，因此計算量往往非常龐大。例如對于三維問題，網(wǎng)格加密會遇到三維煩惱[3-4]。

盈虧平衡分析法又稱保本分析法或本量利分析法，是利用數(shù)學化的會計分析模型和圖文來揭示、分析固定成本、變動成本、服務量、利潤等變量之間的關系，為財務預測或決策提供財務信息咨詢的一種分析方法［2］。其計算公式為：

當用有限元求解時，最后歸結為求解一個含P個未知數(shù)的線性方程組AU=F。當網(wǎng)格很細密時，這是一個大型方程組。我們知道，大型有限元問題中主要的計算量與存儲耗費在解這個方程組上。對n=1，2維情形，求解這個方程組并不是很困難。但對三維問題就不容易了。下面以三維泊松方程為例說明。

設Ω是立方體，作均勻剖分，每個維度用N個節(jié)點，總節(jié)點為N3，每個節(jié)點上一個未知數(shù)，共有未知數(shù)P=N3。若用直接法求解線性方程組，P階方陣A的半帶寬約為B≈N2，應存儲的系數(shù)總數(shù)K=BP=N5。分解A為三角陣時所需的乘除運算次數(shù)M≈B2P/2=0.5N7。在每秒能完成百萬次乘除運算的計算機上將耗時t=M/106。表1列出了N=10，20，40，80方案的規(guī)模。

表1 三維Poisson方程的有限元計算規(guī)模

4 第13問的啟發(fā)

由于第13問的證明是存在性的，不是構造性的，長期以來，沿著多元函數(shù)用一元函數(shù)來表示的思路，一直沒有具體的實現(xiàn)方法。但是已有的數(shù)學成果提供了重要的啟發(fā)：沿著這條思路，可能有利于實現(xiàn)更高效的近似表示。更淺白地說，與全離散法等其他方法相比，用一元函數(shù)來表示多元函數(shù)可能是更節(jié)省的“捷徑”，可以用盡可能少的數(shù)據(jù)量包含盡可能多的信息量。從物理上看，相當于能量或信息高度集中在幾條主要的譜線上，而不是均勻平坦地分布。這意味著在足夠高的工程精度內(nèi)，一個多元函數(shù)近似等價為有限個一元函數(shù)的表達式，使問題因維數(shù)降低而大大簡化。因此，這種高效的近似表示具有重要而廣泛的應用價值。簡單地以數(shù)據(jù)存儲為例，n元函數(shù)在計算機上存儲，數(shù)據(jù)量為O(Nn)，其中N為每個維度的節(jié)點數(shù)。如果n元函數(shù)用一元函數(shù)來近似表示，則存儲數(shù)據(jù)量為O(N)，是原來的1/Nn-1倍，這樣的數(shù)據(jù)壓縮效率是非常高的，尤其當n較大的時候。

由于多元函數(shù)用一元函數(shù)來表示的研究方向存在著相當大的困難，特別是數(shù)學分析上非常困難，因此，目前的兩項研究前沿采用一元函數(shù)的乘積和來近似表示多元函數(shù)。

第一項研究是延拓Kantorovich法，主要通過數(shù)值試驗加上定性分析進行研究。三維延拓Kantorovich法采用張量積形式的函數(shù)逼近形式，代入三維泊松方程的能量泛函，經(jīng)整理并取變分后，可以導出一套耦合的積分微分方程組。其中一個方向的一元函數(shù)較多為優(yōu)勢方向，算法的迭代過程將不再按各個維度輪換求解的迭代，而是圍繞著這個優(yōu)勢方向旋轉迭代。

另一項研究是控制論專家宋健的論文《高維函數(shù)和流形在低維可視空間中的最優(yōu)表達》[5]，主要從數(shù)學分析方面進行研究。這是他經(jīng)過數(shù)年的研究積累得到的突破性成果，得到了數(shù)學家丘成桐等的高度評價。他在平方可積函數(shù)空間中尋求用數(shù)量最少的一元函數(shù)組合表達多元函數(shù)，得到梯度算子非線性積分方程組。證明了該方程組的本征元列構成規(guī)范正交系，任何平方可積的多元函數(shù)均可按此正交系展成長度最短和收斂最快的級數(shù)。

5 張量積形式的三維延拓Kantorovich法的解決方案

當采用簡單的試函數(shù)逼近形式，即u(x，y，z)=時，迭代過程不收斂。經(jīng)過對各種試函數(shù)逼近形式的嘗試，文獻[6]發(fā)現(xiàn)如下特定的張量積的函數(shù)逼近形式可以解決該數(shù)值困難

其中，{X(x)}={X1，X2，···，Xn}T，{Y(x)}={Y1，Y2，···，Yn}T，n為疊加項的項數(shù)，[Z(z)]是n×n的矩陣，即[Z(z)]i，j=Zij，i=1，2，···，n，j=1，2，···，n。

下面以立方體域上的三維Poisson方程的Dirichlet問題為例，具體闡述三維延拓Kantorovich法的算法實施過程。三維泊松方程對應的能量泛函為其中Ω為立方體域[-a，a]×[-b，b]×[-c，c]。

將式(2)的試函數(shù)逼近形式代入式(3)，經(jīng)整理并取變分后，可以導出如下一套耦合的積分微分方程組

邊界條件為

算例三維泊松方程的Dirichlet問題

立方體域上的該方程見圖2。設定邊界條件為

給定數(shù)據(jù)為a=b=c=1，f=2。

圖2 三維泊松方程

取初始試函數(shù)為

表2 給出了取不同項數(shù)時的計算結果，如中心點位移u0，面中點導數(shù)?u/(?z)，?u/(?x)。參考解為級數(shù)解N=100的結果。

表2 取不同項數(shù)的中心點位移和面中點導數(shù)(循環(huán)輪數(shù)=5)

6 結論

希爾伯特第13問啟發(fā)了用一元函數(shù)表示多元函數(shù)的思路。延拓Kantorovich法沿著這條思路，對解決高維數(shù)煩惱進行了探索，并取得了一定的進展。數(shù)值結果表明，延拓Kantorovich法是用一元函數(shù)逼近多元函數(shù)的一種有效途徑，不失為高維數(shù)煩惱的一種有發(fā)展?jié)摿Φ慕鉀Q方案。

希爾伯特問題的意義不僅在于重要數(shù)學問題的解決，而且在于求解問題的過程中會生長出新的數(shù)學、好的數(shù)學，所以人們評價希爾伯特問題是“會下金蛋的鵝”。作者認為，之所以希爾伯特問題富有生機活力、善于生長出新的數(shù)學，是因為希爾伯特問題找到了數(shù)學的重要源頭。德國《自然》雜志發(fā)表過這樣的觀點：現(xiàn)在世界上很難有一位數(shù)學家的工作不是以某種途徑導源于希爾伯特的工作。

希爾伯特第13問的多元函數(shù)的低維表示是眾多領域的普遍性問題，這些領域的研究者和愛好者，在閑暇時間里，何不漫步到問題的源頭，從希爾伯特第13問這里得到一些啟發(fā)呢？