鄭子君 陶裕梅

(重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400054)

生活中常見的一些魔術(shù)道具、玩具常常蘊(yùn)含著力學(xué)原理。蜘蛛人(又名爬墻超人)是一種價(jià)格低廉、制作簡單、又深受廣大兒童喜愛的玩具。如圖1所示，該玩具由一塊彈性好、表面有黏力的特殊軟膠材料，穿過兩塊塑料外殼制成。手腳部分膠體暴露在外并呈球形，使之能夠黏附在物體上。

在玩耍時(shí)，將該玩具拋向光潔的豎直玻璃面：剛開始蜘蛛人的四肢的軟膠將會(huì)黏住玻璃面，使之不會(huì)掉下來；片刻后，蜘蛛人靠上方的兩肢脫離玻璃面，整個(gè)玩具以下方兩肢為軸旋轉(zhuǎn)；脫離玻璃面的兩肢再次接觸到玻璃面后，又經(jīng)過片刻，原來貼合玻璃面的兩肢松開，開始以新的接觸點(diǎn)為軸旋轉(zhuǎn)；最終，玩具以類似翻跟頭的方式不斷從上往下運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。相關(guān)演示視頻可于優(yōu)酷網(wǎng)搜索“爬墻蜘蛛人玩具演示”。而如果將蜘蛛人拋向粗糙墻面，則玩具將緊緊貼住墻面，不會(huì)出現(xiàn)翻跟頭的現(xiàn)象。

圖1 蜘蛛人玩具實(shí)物照片

圖2 蜘蛛人玩具的工作狀態(tài)示意圖

蜘蛛人玩具能完成翻跟斗過程，與肢稍膠球的兩個(gè)重要的力學(xué)性質(zhì)有關(guān)。一是膠球在壓力作用下可發(fā)生較大的變形，撤去外力后，變形緩慢恢復(fù)，即表現(xiàn)為黏彈性[1]；二是膠球可以黏在固體面上，附著力既能阻礙其與固體分離又能阻礙變形恢復(fù)，大小與接觸面積正相關(guān)(如圖3(a)和圖3(b)，膠球Q處的附著力可阻礙其回彈)。膠球及其界面的力學(xué)性能比較復(fù)雜[2]，這里根據(jù)前述力學(xué)性質(zhì)，利用常見力學(xué)元件來對其進(jìn)行定性描述：黏彈性膠球可抽象為由彈簧K和油壺C組成的開爾文系統(tǒng)；而界面的附著力與擠壓變形程度正相關(guān)，不妨抽象為負(fù)剛度彈簧k[3]。膠球及其界面的力學(xué)元件模型如圖3(c)所示。

膠球與固體面間的摩擦系數(shù)較大，界面破壞形式主要是法向脫落。由圖3(c)的簡化模型可以看出，固體面上附著的膠球受到外界促使界面分離的力Fex時(shí)，有三種可能的結(jié)果：一是立即分離，當(dāng)負(fù)剛度彈簧K提供的附著力不足以抵抗外力時(shí)(Fk＜Fex)，界面破壞，膠球脫落；二是保持穩(wěn)定，當(dāng)膠球在外載下變形后附著力能夠同時(shí)抵抗分離力和彈簧K的回復(fù)力時(shí)(Fk≥Fex+FK)，膠球既不會(huì)持續(xù)恢復(fù)變形，也不會(huì)從固體上脫落，從而能長久地附著在固體上；三是延時(shí)脫落，若附著力雖暫時(shí)能抵抗外力，但始終不能抵抗外力與彈性回復(fù)力的合力(Fex+FK＞Fk≥Fex)，分析圖3(c)中Q處局部可知，膠球?qū)⒃谟蛪谻的阻礙下緩慢恢復(fù)變形，從而使得界面面積和附著力逐漸減小，最終與固體面分離。

圖3 軟膠球的力學(xué)模型

延時(shí)脫落現(xiàn)象可以解釋蜘蛛人在玻璃上翻跟斗的原理。為簡單起見，將蜘蛛人玩具視為兩端各有一個(gè)膠球的關(guān)于中點(diǎn)對稱的剛性桿。將模型在玻璃上翻跟斗的一個(gè)周期分為吸附、旋轉(zhuǎn)和碰撞三個(gè)階段：

(1)吸附階段

此階段玩具上端膠球A與下端膠球B均吸附在玻璃面，初始均處于擠壓狀態(tài)，在黏性力的阻礙下發(fā)生緩慢的恢復(fù)變形。由于變形緩慢，玩具整體可視為處于準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)。對玩具作受力分析，如圖4(a)所示。

由模型在x方向上的受力平衡以及力矩平衡條件，容易解得FAx=-FBx=-mgh/L(各變量的意義如圖4(a)所示)，即A球受拉力，B球受壓力。

在拉力作用下，A球的初始擠壓變形能夠較快恢復(fù)，與玻璃間接觸面積也隨之不斷減小，直至附著力不能提供模型平衡時(shí)A球所需的拉力，A球從壁面脫落。反之，B球受壓力作用，變形恢復(fù)較慢。因此在吸附階段結(jié)束時(shí)，總是上方的A球先脫落，玩具開始繞下方的B球旋轉(zhuǎn)。

圖4 模型受力分析圖

(2)旋轉(zhuǎn)階段

由于此階段相比吸附階段歷時(shí)較短，不妨認(rèn)為該階段B球在阻尼力的作用下來不及發(fā)生明顯的恢復(fù)變形，因此與玻璃面間仍有足夠附著力。那么整個(gè)模型可以看作是由最高點(diǎn)處自由釋放，繞定軸B轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)擺。運(yùn)用動(dòng)靜法，模型的受力分析如圖4(b)所示。當(dāng)剛桿與豎直方向的夾角為θ時(shí)，玩具的動(dòng)能由重力勢能轉(zhuǎn)化而來

其中J是模型相對于B球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)的法向和切向慣性力分別為

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，易知B處受到x向的約束反力為

式(4)在0～π之間的最大值約為0.76m2g·L2/J。因此在旋轉(zhuǎn)過程中，B球與玻璃的法向附著力應(yīng)當(dāng)大于該值，否則B球可能脫落。

(3)碰撞階段

經(jīng)過半個(gè)圓周的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，玩具的A端再次接觸玻璃壁面，與壁面發(fā)生黏彈性碰撞。模型的初動(dòng)能由式(1)給出，除部分被黏性力損耗外，其余轉(zhuǎn)化為A球的變形能，使得A球產(chǎn)生擠壓變形，并與玻璃面形成新的界面。碰撞產(chǎn)生的擠壓變形應(yīng)當(dāng)足夠大，使對應(yīng)的附著力能在下一周期的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中提供所需的支座反力。

碰撞完成后，A和B球的角色互換，系統(tǒng)進(jìn)入下一周期。

通過以上分析可知，該玩具在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)使得自最高點(diǎn)釋放的復(fù)擺撞擊能使膠球產(chǎn)生較大的變形；整體附著時(shí)質(zhì)心到墻面應(yīng)有一定距離，使上下膠球的受力差異明顯。在玩耍時(shí)需要選擇合適的玻璃表面：既不可過于粗糙，否則吸附階段上方膠球受到附著力過大，將處于穩(wěn)定狀態(tài)而不會(huì)脫落；又不可過于光滑，否則膠球撞擊玻璃形成的接觸面，不能產(chǎn)生足夠大的附著力，旋轉(zhuǎn)階段作為定軸的膠球?qū)?huì)受拉力脫落。實(shí)踐表明，在水泥墻(太粗糙)和濕潤玻璃(太光滑)上，玩具均不能實(shí)現(xiàn)連續(xù)翻跟斗的功能。