董慧 左志 徐澍澤 王瑩 安徽工業(yè)經(jīng)濟(jì)職業(yè)技術(shù)學(xué)院

一、問題提出

2020年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題探討了輪廓儀的輪廓線及其各項(xiàng)參數(shù)值的問題，具體要求見全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽官網(wǎng)。本文探討了工件在水平狀態(tài)下的輪廓線各項(xiàng)參數(shù)值，以及在傾斜一個(gè)角度和有一些水平位移下計(jì)算工件的傾斜角度、并作水平校正的問題。

二、問題分析

（一）問題1分析

工件1是在水平狀態(tài)下測量的，通過構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，可將輪廓線的各參數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。利用MATLAB軟件擬合出輪廓線各水平線段、斜線線段方程，結(jié)合平面幾何中距離、弧長、半徑等的計(jì)算方法可求得。

（二）問題2分析

要求工件1的傾斜角度需先確定其傾斜的位置。工件在空間中傾斜可分解為繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)。通過比較特殊狀態(tài)在水平、傾斜狀態(tài)下的前后變化，可確定工件1未繞z軸旋轉(zhuǎn)。然后依次確定各旋轉(zhuǎn)角度。僅繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為工件與水平面的夾角。僅繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過輪廓線特殊部分旋轉(zhuǎn)前后的變化關(guān)系構(gòu)建四棱錐，將旋轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)為四棱錐兩個(gè)面間的夾角問題即可求出。水平校正時(shí)，只需進(jìn)行上述過程的逆操作，依次構(gòu)建水平、垂直方向校正的變換公式即可。

三、模型假設(shè)

1.假設(shè)每次測量時(shí)夾具對(duì)工件的夾緊程度一致，不會(huì)造成工件變形。

2.假設(shè)測量過程中不會(huì)出現(xiàn)中途更換探針的情況。

四、模型建立與求解

（一）問題1的建模與求解

1.數(shù)據(jù)預(yù)處理

輪廓線有水平線段、斜線、圓弧三種類型，根據(jù)此特點(diǎn)將輪廓線劃分為24段。

2.構(gòu)建輪廓線各段的函數(shù)關(guān)系式

（1）水平線段方程

（2）斜線線段方程

以第2段輪廓線為例，通過MATLAB擬合出斜線線段方程為L1：傾斜角為

3.問題1求解

為方便，記所給的槽口寬度、水平線段長度為Xi，人字形線的高度為Z1。記點(diǎn)

（1）槽口寬度：X1=x4-x1=2.9910，X3=x8-x5=2.2785。

（2）水平線段長度：X2=x5-x4=4.8890，X4=x9-x8=4.7750。

（5）人字形線的高度：Z1=z14-z13=0.9829。

（6）斜線與水平線之間的夾角：

（7）圓弧的半徑、弧長。如第1段圓弧，

圖1

同樣的方法計(jì)算出所有的參數(shù)值。

（二）問題2的建模與求解

假設(shè)垂直xoz平面的坐標(biāo)軸為y軸。工件不可能突然發(fā)生沿y軸方向的水平位移，否則圖像會(huì)斷開。此外，起點(diǎn)x值變化較小，說明工件沿x軸水平位移影響較小。因而僅考慮傾斜一個(gè)角度的變化。

1.傾斜角度的求解

工件1在空間中傾斜，可分解為繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)。比較附件1的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，左端點(diǎn)z值變大，左右端點(diǎn)z的差值變大，工件繞y軸旋轉(zhuǎn)了。水平狀態(tài)下，工件的長度傾斜后，視為相等，故工件未發(fā)生水平扭轉(zhuǎn)。經(jīng)對(duì)比，輪廓線第17段，兩條斜線的夾角變大，則工件繞x軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。因而，工件僅繞x、y軸旋轉(zhuǎn)。假設(shè)工件旋轉(zhuǎn)都是按工件中心線繞x、y軸旋轉(zhuǎn)。

（1）繞y軸旋轉(zhuǎn)

當(dāng)圖像僅繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，記旋轉(zhuǎn)角度為α。通過擬合構(gòu)建出直線 的方程為y=-0.00007x+1.4053，則旋轉(zhuǎn)角α=arctan0.00007。

（2）繞x軸旋轉(zhuǎn)

考慮輪廓線第17段，通過此段旋轉(zhuǎn)前后各段的關(guān)系構(gòu)建出四棱錐（圖2），其中為A、B旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)，通過平移，頂點(diǎn)重合于點(diǎn)P，旋轉(zhuǎn)角度即為面

結(jié)合旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)可知道，|PA|=|PB|，|PA'|=|PB'|，|AB|=|A'B'|，AB∥A'B'，連接AB、A'B'的中點(diǎn)M、M'，得為兩平面的夾角。

圖2

2.校正模型

工件繞x、y軸旋轉(zhuǎn)，校正時(shí)，只需要進(jìn)行此過程的逆操作即可。

首先進(jìn)行水平校正。此過程相當(dāng)于將工件1中的每個(gè)點(diǎn)繞y軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)傾斜角度α。設(shè)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為水平校正后對(duì)應(yīng)點(diǎn)為構(gòu)建水平變換模型為

然后進(jìn)行垂直方向校正。變換公式為