鄭民民, 張秀鳳, 王任大

(大連海事大學(xué) 航海動態(tài)仿真和控制交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 大連 116026)

船用起重機(jī)是船舶自備的重要工程搬運(yùn)設(shè)備之一。[1]自20世紀(jì)90年代以來，國內(nèi)外學(xué)者就已開始對船用起重機(jī)開展相關(guān)研究。POSIADALA等[2]將起重機(jī)載荷系統(tǒng)簡化為一個球擺模型，將吊桿激勵引入吊擺模型，發(fā)現(xiàn)吊擺的激勵運(yùn)動是三維的，不能作為平面運(yùn)動來分析。TODD等[3]對船用起重機(jī)進(jìn)行物理試驗(yàn)之后得出起重機(jī)是典型的小阻尼系統(tǒng)的重要結(jié)論。史國友等[4]通過研究裝卸過程中貨物在空間運(yùn)動的控制算法，并經(jīng)OpenGL進(jìn)行三維視景顯示，實(shí)現(xiàn)重大件貨裝卸動態(tài)仿真系統(tǒng)。馬博軍等[5]采用保守型拉格朗日方法建立橋式起重機(jī)吊擺系統(tǒng)三維動力學(xué)模型，并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析。MASOUD等[6]提出將載荷系統(tǒng)視為空間球擺模型的方法，并對建立的模型進(jìn)行船模試驗(yàn)，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。芮光六[7]基于延時反饋控制理論得出一種能在原本不能進(jìn)行作業(yè)的海況下起吊和傳送貨物的方法。文獻(xiàn)[8]～文獻(xiàn)[10]基于OpenGL和Unity3D等三維引擎研制開發(fā)起重機(jī)吊裝卸作業(yè)的仿真系統(tǒng)。韓廣冬等[11]分析起重機(jī)在海浪運(yùn)動中的動態(tài)響應(yīng)，并通過搭建的試驗(yàn)平臺驗(yàn)證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。已有研究為起重機(jī)的單回轉(zhuǎn)和單俯仰運(yùn)動分析提供了有益的參考。但在起重機(jī)的多驅(qū)動機(jī)構(gòu)耦合激勵吊索張力和載荷空間運(yùn)動軌跡等方面的分析并不充分。鑒于此，本文基于非保守型拉格朗日方程建立船用起重機(jī)操縱激勵型三維非線性動力學(xué)模型和吊索張力模型，并通過數(shù)值仿真對起重機(jī)在起升與下降作業(yè)過程中其吊索的張力響應(yīng)特性和載荷運(yùn)動空間軌跡進(jìn)行分析，從而為重大件裝卸安全評估和載荷軌跡預(yù)報提供更多的理論支撐。

1 構(gòu)建動力學(xué)模型

1.1 模型假設(shè)

由于船用起重機(jī)在實(shí)際運(yùn)動過程中受多個因素的影響，其運(yùn)動規(guī)律比較復(fù)雜，為方便建立起重機(jī)動力學(xué)模型，做以下假設(shè)：

1) 起重機(jī)吊臂和吊索均為剛體，無彈性形變。

2) 忽略吊臂和起重機(jī)吊索的質(zhì)量。

1.2 載荷運(yùn)動坐標(biāo)系

以起重機(jī)旋轉(zhuǎn)基座O0為原點(diǎn)，O0x0指向艏部為x軸正方向，O0y0指向船左舷為y軸正方向，O0z0指向上為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O0x0y0z0，見圖1。圖1中:O0A為吊桿臂，其長度為LB；以吊桿頭A為原點(diǎn)建立平行于O0x0y0z0的吊點(diǎn)坐標(biāo)系A(chǔ)xyz;α為起重機(jī)基座旋轉(zhuǎn)角度;β為起重機(jī)吊桿俯仰面角;吊索在俯仰面所成角度θ1為面內(nèi)角;吊索垂直于俯仰面作垂線所成角θ2為吊索平面外擺角;載荷P通過吊索l與吊頭A相連。設(shè)吊頭A的坐標(biāo)為A(xA,yA,zA),載荷P的坐標(biāo)為P(xp,yp,zp)。

圖1 起重機(jī)坐標(biāo)系定義

由圖1中的幾何關(guān)系可知，載荷P在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

(1)

結(jié)合A點(diǎn)在O0x0y0z0坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可得到載荷P在慣性坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

(2)

1.3 運(yùn)動方程

考慮到空氣阻力摩擦力對載荷的干擾，選取θ1和θ2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，由拉格朗日方程可建立方程組[12]為

(3)

在慣性坐標(biāo)系下對載荷P的坐標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，得出載荷速度矢量坐標(biāo)和系統(tǒng)動能T。設(shè)系統(tǒng)勢能V是關(guān)于l、θ1和θ2的函數(shù)，τ1和τ2分別為面內(nèi)角和面外角所受空氣摩擦力。[13-14]通過求解式(3)，可得關(guān)于面內(nèi)角加速度與面外角加速度的二階微分方程為

(4)

(5)

2 吊索張力模型

根據(jù)牛頓第二定律可得載荷運(yùn)動方程為

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)中，可得

(8)

求解式(8)可得張力表達(dá)式為

(9)

3 起重機(jī)作業(yè)仿真試驗(yàn)

對式(4)、式(5)和式(9)進(jìn)行數(shù)值仿真，分析船用起重機(jī)在耦合作業(yè)過程中的載荷運(yùn)動空間軌跡和吊索張力變化情況。

3.1 回轉(zhuǎn)運(yùn)動對載荷運(yùn)動和繩索張力的影響

圖2 面內(nèi)角θ1、面外角θ2變化曲線

由圖2～圖4可知:面內(nèi)角幅值區(qū)間為[-0.075,0.090]rad,面外角幅值區(qū)間為[-0.042,0.042]rad,面內(nèi)角響應(yīng)幅值比面外角大，起重機(jī)回轉(zhuǎn)運(yùn)動能明顯減小吊索張力幅值。在回轉(zhuǎn)作業(yè)過程中，張力值的幅值區(qū)間為[9.784×103,9.852×103]N，張力較大值出現(xiàn)在仿真時間15 s時，張力值FT=9.852×103N，說明在回轉(zhuǎn)運(yùn)動結(jié)束之后，張力值存在數(shù)值突變的現(xiàn)象。

3.2 俯仰運(yùn)動對載荷運(yùn)動和繩索張力的影響

圖5 面內(nèi)角θ1和面外角θ2變化曲線

由圖5～圖7可知：在起重機(jī)俯仰運(yùn)動過程中，面外擺角始終為0，表明單俯仰運(yùn)動不改變面外擺角幅值，此時可將系統(tǒng)等效為單擺模型；俯仰運(yùn)動中面內(nèi)角幅值區(qū)間為[-0.135,-0.100]rad，與回轉(zhuǎn)運(yùn)動相比，俯仰運(yùn)動過程中的角度幅值增大；作業(yè)過程中吊索張力值區(qū)間為[-0.998×104,1.018×104]N，與回轉(zhuǎn)運(yùn)動數(shù)值相比，張力數(shù)值較大；張力值在空間中分布在同一個平面內(nèi)，最大值出現(xiàn)在俯仰運(yùn)動激勵的初始時刻。

3.3 回轉(zhuǎn)、俯仰和吊索提升耦合作業(yè)對載荷運(yùn)動和繩索張力的影響

圖10 載荷空間軌跡及FT隨軌跡變化曲線

由圖8～圖10可知：船用起重機(jī)在提升作業(yè)過程中，提升速度的增大對面內(nèi)角和面外角有放大的作用。由圖8中橢圓標(biāo)記范圍內(nèi)面內(nèi)角和面外交擺幅的變化可知:在提升速度下降之后，面內(nèi)角和面外角的擺幅呈現(xiàn)出周期性的非線性變化，說明繩索的提升速度是維持吊索擺幅線性變化的原因。圖9中張力值的變化區(qū)間為[0.931×104，1.107×104]N，起重機(jī)的回轉(zhuǎn)與俯仰擾動降低提升過程中吊索的張力值。載荷平面軌跡可近似為長軸為13.537 m，短軸為11.137 m的橢圓。同時，吊索張力與吊索擺角并不同步，與吊索張力達(dá)到穩(wěn)定值相比，吊索擺角存在一定的時間延遲。另外，由載荷空間軌跡和張力數(shù)據(jù)點(diǎn)可知：在提升過程中，載荷在空間內(nèi)的軌跡半徑增大，使得提升作業(yè)所需空間增大，吊索張力較大值主要集中在提升階段結(jié)束之后的一段時間內(nèi)，說明在提升過程中隨著繩索逐漸變短，吊索所受張力值增大。

3.4 回轉(zhuǎn)、俯仰及吊索下降耦合作業(yè)對載荷運(yùn)動和繩索張力的影響

圖11 載荷軌跡平面圖曲線

由圖11～圖15可知:在船用起重機(jī)吊索下降過程中，下降速度的增大對吊索擺動幅值有明顯的抑制作用。在作業(yè)過程中，吊索張力的衰減速度比吊索擺角的衰減速度快，吊索張力值區(qū)間為[0.929×104，1.028×104]N。對比試驗(yàn)3中的吊索張力值區(qū)間可看出，吊索下降運(yùn)動能有效降低耦合操作過程中吊索張力的幅值。同時，回轉(zhuǎn)和俯仰運(yùn)動在試驗(yàn)4中增大了吊索的張力幅值,吊索下降速度降為0 m/s之后，吊索張力值出現(xiàn)短時間的突變現(xiàn)象。另外，張力空間分布云圖表明吊索下降過程中張力的較大值集中出現(xiàn)在吊索長度較短時。載荷平面二維軌跡圖可等效為短軸為0.346 m、長軸為0.708 m的橢圓如圖15所示，對比試驗(yàn)3的載荷平面運(yùn)動軌跡，可見吊索下降作業(yè)所占空間更小。

4 模型有效性驗(yàn)證

本文建立的模型相比以前的模型，考慮了空氣摩擦力和起重機(jī)的回轉(zhuǎn)與俯仰耦合運(yùn)動，更為通用。由于文獻(xiàn)[6]中MASOUD已建立精確的起重機(jī)模型(稱標(biāo)準(zhǔn)模型)，并通過物理樣機(jī)對其有效性進(jìn)行驗(yàn)證，其模型為本文所建模型中LB=0時的特殊情況。因此,對2個模型在相同初始條件下進(jìn)行仿真試驗(yàn)，結(jié)果見圖16～圖19。

由圖16～圖19可知：擺角幅度穩(wěn)定之后標(biāo)準(zhǔn)模型的幅值為[-0.8,0.8]rad,面內(nèi)角周期為10.8 s,面外角周期為10.9 s；本文模型穩(wěn)定之后的擺角幅值也為[0.8,-0.8]rad，面內(nèi)角周期為10.8 s,面外角周期為10.9 s。由于添加的阻力值不同，擺角收斂速度略有不同，但整體變化規(guī)律與文獻(xiàn)[6]有較好的吻合性，整體變化趨勢符合船用起重機(jī)的變化規(guī)律。

5 結(jié)束語

本文建立含空氣摩擦力項(xiàng)的船用起重機(jī)操縱激勵型非線性動力學(xué)模型和吊索張力模型，并通過數(shù)值仿真，分別對起重機(jī)的回轉(zhuǎn)、俯仰、多指令起升和下降等作業(yè)過程的非線性動力響應(yīng)進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論：

1) 在相同加速度激勵下，俯仰作業(yè)時吊索所受張力比回轉(zhuǎn)作業(yè)時更大。

2) 起升作業(yè)時吊索提升速度激勵對吊索擺幅有放大作用；下降作業(yè)時吊索速度激勵對吊索擺動幅度有明顯抑制作用。

3) 在起升作業(yè)過程中，載荷空間運(yùn)動軌跡半徑比相同條件下下降作業(yè)過程中的載荷軌跡半徑大。

4) 起升過程中起重機(jī)的回轉(zhuǎn)運(yùn)動和俯仰運(yùn)動能明顯減小吊索張力值，下降過程中會明顯增大吊索張力值。

5) 提升作業(yè)過程中吊臂頭附近的吊索張力值較大，繩長較短時吊索張力值較大。

6) 在下降作業(yè)過程中，當(dāng)?shù)跛魉俣冉禐?時，吊索張力值存在突變的現(xiàn)象。

本文通過數(shù)值仿真得到吊索張力值和載荷空間運(yùn)動軌跡規(guī)律，對提升、下降控制器的設(shè)計以及提升船用起重機(jī)作業(yè)的安全性和吊裝卸作業(yè)效率有指導(dǎo)意義。