李希芳

[摘? 要] 要想切實(shí)有效地推進(jìn)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)，教師心中就必須有一個(gè)準(zhǔn)確的關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的模型認(rèn)知. 數(shù)學(xué)建模的過程包括這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：一是感覺、知覺的啟動(dòng);二是圖式的形成;三是圖式的表征;四是認(rèn)知結(jié)構(gòu)（模型）的形成與運(yùn)用. 數(shù)學(xué)建模教學(xué)的模型認(rèn)知可以這樣建構(gòu)：基于數(shù)學(xué)建模的視角分析教學(xué)內(nèi)容，判斷學(xué)生可能的圖式并尋找恰當(dāng)?shù)乃夭囊詣?chuàng)設(shè)教學(xué)情境，然后通過數(shù)學(xué)抽象等具體的方法的運(yùn)用，幫助學(xué)生建立新的圖式，并以準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來描述這一圖式，以促成模型的形成，最后在問題解決的過程中運(yùn)用鞏固這一模型.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;模型認(rèn)知

數(shù)學(xué)建模作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點(diǎn)課題，這么多年來可以說是長(zhǎng)盛不衰. 從專業(yè)研究的角度來看，數(shù)學(xué)建模及其研究的價(jià)值是不言而喻的，但是對(duì)于一線教師而言，數(shù)學(xué)建模又常常變成“雞肋”，一個(gè)很重要的原因，就是相當(dāng)一部分教師不知道數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行. 這是一個(gè)很現(xiàn)實(shí)的問題，盡管絕大多數(shù)教師都知道模型是人們?yōu)榱四撤N特定目的而對(duì)認(rèn)識(shí)對(duì)象所做的一種簡(jiǎn)化的描述，而數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對(duì)認(rèn)識(shí)對(duì)象進(jìn)行簡(jiǎn)化以得到數(shù)學(xué)模型，很多時(shí)候這種概念性的認(rèn)識(shí)，很難轉(zhuǎn)化為具體的教學(xué)生產(chǎn)力，這其中的原因又是什么呢？筆者通過研究與反思發(fā)現(xiàn)，一個(gè)很重要的原因就是，教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的程序認(rèn)識(shí)并不清晰，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模過程中的思維的把握不準(zhǔn)確，其結(jié)果就是“以其昏昏，使人昭昭”，這樣數(shù)學(xué)建模教學(xué)的效果自然也就不好. 因此要想切實(shí)有效地推進(jìn)初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)，教師心中就必須有一個(gè)準(zhǔn)確的關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的模型認(rèn)知，這是筆者近年來一個(gè)顯著的認(rèn)識(shí). 在此將筆者的認(rèn)識(shí)總結(jié)出來，以與同行分享.

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)需要形成模型認(rèn)知

在教學(xué)中教學(xué)思路不能僵化，通常也強(qiáng)調(diào)不能有模式化的思想. 但模式不是模式化，實(shí)際上無論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還是生活中的問題解決，都離不開模型，哪怕是沒有接受過教育的人，在解決問題的時(shí)候也往往會(huì)形成自己的模型. 所以數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義，無疑在于將人在問題解決過程中的建模思路進(jìn)行提煉，以形成更加簡(jiǎn)潔高效的建模能力. 同樣的，對(duì)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的理解，也必須有一個(gè)模型認(rèn)知，只有對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程進(jìn)行建模，才有可能讓教師把握住數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)質(zhì)，從而讓數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程變得更加高效. 那么對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的模型認(rèn)知應(yīng)當(dāng)是怎樣的呢？筆者以為，要解決兩個(gè)問題：一是對(duì)數(shù)學(xué)建模過程的認(rèn)知理解;二是對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程的認(rèn)知理解.

從認(rèn)知的角度來看，數(shù)學(xué)建模的過程包括這樣的幾個(gè)環(huán)節(jié)：一是感覺、知覺的啟動(dòng);二是圖式的形成;三是圖式的表征;四是認(rèn)知結(jié)構(gòu)（模型）的形成與運(yùn)用. 這四個(gè)環(huán)節(jié)都是從認(rèn)知心理學(xué)的角度對(duì)數(shù)學(xué)建模過程進(jìn)行的描述. 由此可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模的過程實(shí)際上是從最基本的感知開始的，其既涉及學(xué)生原有的圖式，也涉及新的圖式的形成與表征，進(jìn)而形成成熟的數(shù)學(xué)模型. 具體的教學(xué)過程中，教師是通過創(chuàng)設(shè)情境去啟動(dòng)學(xué)生的感覺與知覺的，是通過數(shù)學(xué)抽象等過程讓學(xué)生形成新的圖式的，是用數(shù)學(xué)語言去表征圖式以形成數(shù)學(xué)模型的，是在具體的數(shù)學(xué)運(yùn)用中鞏固模型認(rèn)識(shí)的.

從數(shù)學(xué)建模教學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程，可以理解為在遵循數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上將學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)歷抽象成數(shù)學(xué)模型，并對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解釋運(yùn)用的過程. 基于上述對(duì)數(shù)學(xué)建模認(rèn)知的理解，那么對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的模型認(rèn)知或許就可以這樣建構(gòu)：基于數(shù)學(xué)建模的視角分析教學(xué)內(nèi)容，判斷學(xué)生可能的圖式并尋找恰當(dāng)?shù)乃夭囊詣?chuàng)設(shè)教學(xué)情境;然后通過數(shù)學(xué)抽象等具體方法的運(yùn)用，幫助學(xué)生建立新的圖式，并以準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言來描述這一圖式，以促成模型的形成;最后在問題解決的過程中運(yùn)用、鞏固這一模型.

基于數(shù)學(xué)建模模型認(rèn)知的教學(xué)案例

關(guān)于初中數(shù)學(xué)建模模型認(rèn)知，其實(shí)有同行做過相關(guān)的研究，所總結(jié)出來的認(rèn)識(shí)與筆者大體相同，比如說有同行總結(jié)數(shù)學(xué)建模包括三個(gè)認(rèn)知過程：模式識(shí)別與表征，建立數(shù)學(xué)模型并求解，數(shù)學(xué)模型的檢測(cè)、評(píng)價(jià);并且強(qiáng)調(diào)不同建模方法在同一個(gè)情境問題中的應(yīng)用，能夠反映出不同建模法的內(nèi)在聯(lián)系和異同. 對(duì)于建模的目標(biāo)設(shè)定，一定要與基本的教學(xué)方法和策略相適應(yīng). 結(jié)合這些表述，可以通過對(duì)教學(xué)案例的分析，來理解數(shù)學(xué)建模的模型認(rèn)知.

以“余角和補(bǔ)角”的教學(xué)為例，從數(shù)學(xué)建模的角度來看，只要學(xué)生建立起了“互余”與“互補(bǔ)”的概念，那么模型的建立就是成功的. 傳統(tǒng)教學(xué)中，這個(gè)問題被理解為計(jì)算問題——相加等于90°或180°即可;數(shù)學(xué)建模的視角下，要幫助學(xué)生建立的是一種模型認(rèn)識(shí)，最終是指向能力的遷移的（這一點(diǎn)與核心素養(yǎng)密切相關(guān)）. 基于這一思考，筆者在教學(xué)中是這樣設(shè)計(jì)的：

首先，讓學(xué)生拿出自己文具包中的兩個(gè)三角板，比較兩者之間的異同. 學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)三角形的形狀是不一樣的. 教師可以進(jìn)一步追問：哪里不一樣？有沒有相同的地方？從數(shù)學(xué)建模的角度來看，三角板是學(xué)生最為熟悉的學(xué)習(xí)工具之一，利用他們可以有效地激活學(xué)生的感覺與知覺;而讓學(xué)生比較兩者的不同，學(xué)生會(huì)自發(fā)地從“角”的角度去比較，這種“自發(fā)過程”實(shí)際上就表明了學(xué)生原有圖式的存在.

其次，學(xué)生通過比較可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)三角板相同的是都有一個(gè)直角，不同的是兩個(gè)銳角的角度不一樣，一為兩個(gè)45°，一為30°和60°. 通過這樣的比較，又能發(fā)現(xiàn)什么呢？教師不妨如此引導(dǎo)學(xué)生：一個(gè)三角板里如果確定了其中一個(gè)角是90°，那么另外兩個(gè)角必然是什么關(guān)系？此時(shí)學(xué)生自然會(huì)發(fā)現(xiàn)另外兩個(gè)角的和也是90°，而且這是必然的. 這個(gè)時(shí)候教師讓學(xué)生在大腦里面想象，并構(gòu)建一個(gè)動(dòng)態(tài)表象：一個(gè)三角形，一個(gè)角是直角，另外兩個(gè)角中一個(gè)角的變化會(huì)引起另外一個(gè)角的變化，但是和不變——教師也可以借助現(xiàn)代教學(xué)手段，用動(dòng)畫的方式幫學(xué)生建立這個(gè)表象.

其后，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述自己的發(fā)現(xiàn)——如果兩個(gè)角的和等于90°，就說這兩個(gè)角互為余角，即一個(gè)角是另一個(gè)角的余角. 類似的，補(bǔ)角的概念也遵循這樣的過程來進(jìn)行.

最后，數(shù)學(xué)應(yīng)用. 具體可以分為兩個(gè)層次：一是理解余角的時(shí)候，讓學(xué)生將兩個(gè)等腰直角三角板拼成一個(gè)正方形，或者將30°和60°的三角板拼成長(zhǎng)方形，理解補(bǔ)角的時(shí)候，讓學(xué)生之間進(jìn)行合作，各提供一個(gè)角以拼成180°角. 二是試圖向生活延伸，尤其是生活中常常有“互補(bǔ)”的說法，不妨讓學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)角度對(duì)補(bǔ)角的定義，去理解生活中的這些說法.

上述四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，實(shí)際上就對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)建模認(rèn)知過程的四個(gè)環(huán)節(jié)，而從教學(xué)的角度來看，從情境的創(chuàng)設(shè)到問題的提出，從已有經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用到新的概念的形成，正是上面所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)建模模型認(rèn)知的基本內(nèi)容. 大量事實(shí)表明，在帶著數(shù)學(xué)建模的思路進(jìn)行教學(xué)的時(shí)候，教師的思路往往是清晰的，學(xué)生建模的過程也是簡(jiǎn)潔的，所建立起來的數(shù)學(xué)模型是清晰且可用的.

關(guān)于初中數(shù)學(xué)建模的模型認(rèn)知思考

回到文章開頭所說的那個(gè)問題，其實(shí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)確實(shí)存在著悖論：理論上的重要性與實(shí)際教學(xué)中的忽視，是一對(duì)矛盾;教師認(rèn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必須學(xué)會(huì)建立數(shù)學(xué)模型，但自身對(duì)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)卻不太重視，或者說重視之后力有不逮. 這些現(xiàn)象都表明，初中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，落腳點(diǎn)在學(xué)生，而出發(fā)點(diǎn)卻在教師.教師既要認(rèn)識(shí)到模型思想是重要的數(shù)學(xué)思想之一——《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，要使學(xué)生初步形成模型思想——同時(shí)也要認(rèn)識(shí)到只有自己重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，知道如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高效的數(shù)學(xué)建模，才能讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)科學(xué)的數(shù)學(xué)建模過程，從而在順利地建立起數(shù)學(xué)模型的同時(shí)，掌握數(shù)學(xué)建模的方法或者模式.

因此筆者認(rèn)為，教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的模型認(rèn)知是非常必要的，抓住學(xué)生數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，然后從教學(xué)的角度去滿足這些環(huán)節(jié)所需要的因素，實(shí)際上就是一種模型認(rèn)知. 像上面所提到的，要啟動(dòng)學(xué)生的感覺與知覺，就必須用學(xué)生熟悉的素材去創(chuàng)設(shè)情境;要激活學(xué)生原有的圖式，就必須重視學(xué)生已有的先前經(jīng)驗(yàn);要引導(dǎo)學(xué)生形成新的圖式，就要借助數(shù)學(xué)思想和方法;要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)模型成型，就必須引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言（這也就意味著對(duì)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的理解必須精確）;要鞏固形成的模型，就必須給學(xué)生提供模型應(yīng)用的情境，又或者說問題解決的情境，等等.

總之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)就要重視數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，重視這些重要環(huán)節(jié)就要讓教師形成清晰的模型認(rèn)知，只有這樣數(shù)學(xué)建模的教學(xué)才能形成一個(gè)良性循環(huán).