邵云

迎面較遠處俯視時盛滿水的碗中斜插筷子的虛像長度分析

邵云

（南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171）

利用已有光學知識計算出迎著筷身方向在較遠處（約1 m外）俯視時盛滿水的碗中30°斜插入筷子的虛像位置，證明了在較遠處觀察時筷子的虛像都是直線段；作出此時筷子在不同視角下的虛像圖，并證明了21.27°視角下筷子的虛像最短．運用Excel軟件計算出筷子虛像的實際長度和它在人眼視覺中的視角長度，指出它們隨視角相反的變化規(guī)律，并分別應用代數和幾何方法證明了前者的最小值就是后者的最大值．同時推得“虛像端點軌跡的切點即為該切線視角下筷子虛像的端點”這一重要結論，并依據該結論給出一種相對準確地手繪出筷子虛像的實用方法．

筷子；虛像；軌跡；視角；長度

圖1 迎面較遠處俯視觀察時盛滿水的碗中的筷子及其虛像

圖2 側面較遠處俯視觀察時盛滿水的碗中的筷子及其虛像

1　迎面較遠處俯視時碗內水中筷子的虛像方程

圖3 來自水下物點S的某一束折射光線成像

2　迎面較遠處俯視時筷子虛像的位置及其長度

圖4 在較遠處迎著筷身俯視時的筷子實物及其在幾個視角下的虛像

3　人眼視覺中筷子虛像的長度

圖5 筷子虛像的傾角α、視角r、虛像法線與視角方向的夾角β

按照視角長度的定義有

將式（14）代入式（15）即得

表1 不同視角r下筷子虛像的傾角α、長度l和視角長度l'

對比式（17）便知，此時有

5　筷子虛像端點的軌跡與一種實用的手繪筷子虛像的方法

其軌跡見圖6．在圖6中同時作出筷子實物和它在，視角下的虛像及相關光線，其中已使用了“虛像端點軌跡的切點即為該切線視角下的筷子虛像端點”這一結論．該結論是由來自同一物點的折射光線的非單心性[4]30和單調性（注：從折射定律易推得）所決定的，也即相鄰折射光線的反向延長線的近似交點（即虛像點）不可能處在另一條不相鄰的折射光線的反向延長線上，更一般地說，來自同一物點的３條不相鄰的折射光線不可能共點[7]．根據這一結論，圖6中的像點軌跡在起始端（）和末端（）應分別與軸方向和軸方向相切．

這種大致手繪筷子虛像的方法對于日常教學或有幫助．

圖7 1 m深處物點P的像點隨視角的變化軌跡及典型像點坐標

圖8 最短的筷子虛像長度也即最長的視角長度

7　總結與說明

圖9 較遠處順著筷身俯視時的筷子實物及其在幾個視角下的虛像

[1] 邵云．側面俯視時盛滿水的碗中斜插筷子的虛像位置研究[J]．物理教師，2019，40（2）：78-79

[2] 邵云．盛滿水的碗中斜插筷子的虛像位置研究[J]．大學物理，2020，39（6）：18-24，77

[3] 姚啟鈞．光學教程[M]．4版．北京：高等教育出版社，2008：119，154-156

[4] 邵云，竇瑾．水中物點的虛像位置及其隨視角的變化規(guī)律研究[J]．大學物理，2018，37（8）：29-30，43

[5] 邵云．物點通過空氣與水的界面折射成像的性質及位置特點分析[J]．首都師范大學學報：自然科學版，2020，41（2）：15-19

[6] 楊亮．平面視覺設計中造型的“錯視”[J]．今日南國：理論創(chuàng)新版，2008（7）：114，119

[7] 程靖龍．分析立體光路 找準水下物像[J]．物理通報，2018（2）：107-108

[8] 汪志榮，蘇銀鳳．物理教科書光學插圖設計問題與對策[J]．物理教師，2019，40（2）：27-32，36

[9] 蔡肖兵．對物理學之幾何化發(fā)展的哲學思考[J]．哲學研究，2011（3）：86-92

[10] 邵云，竇瑾．簡析極坐標系下曲線曲率半徑的數學與力學推理方法[J]．大學物理，2020，39（8）：14-17

Analysis of the virtual image length of chopsticks inserted obliquely in a bowl full of water when looking down face-to-face from a distance

SHAO Yun

（School of Electronic Engineering，Nanjing Xiaozhuang College，Nanjing 211171，China）

Based on the existing optical knowledge，calculates the virtual image positions of chopsticks inserted obliquely at 30 degrees in a bowl full of water when looking down face-to-facefrom a distance（about 1 m away），confirms that the virtual image of chopsticks is indeed a straight line segment when observed from relatively far away， draws the virtual images of chopsticks of different angles of view at this time，and proves that the virtual image of chopsticks is the shortest under the angle of view of 21.27 degrees．It was calculated the actual lengths of the virtual images of chopsticks，and their visual angle lengths in human vision by using Excel software，points out their contrary change rules with the angle of view，and proves that the minimum of the former are the maximum of the latter，by using algebraic and geometric methods respectively．At the same time，deduces the important conclusion that the tangent point of the virtual image endpoint track is the endpoint of the virtual image of chopsticks under the tangent direction perspective．Based on this conclusion，a relatively accurate practical method of hand-drawing the virtual images of chopsticks is given．

chopsticks；virtual image；track；angle of view；length

O435.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.011

1007-9831（2020）11-0046-08

2020-07-20

江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題（D/2020/01/55）

邵云（1973-），男，江蘇鎮(zhèn)江人，講師，從事理論物理研究．E-mail：shaoyun1973@163.com