李紅偉 閆俊英

【摘要】? ? 在數學問題的解決中應用先進信息技術可謂是確保信息技術和數學教學有效結合的最佳途徑。而以整合技術為著力點的數學問題解決框架正好為此明確了行動方向。本文先闡述了相關理論及以整合技術為基礎的數學問題解決框架，而后結合實例加以分析，最后展望了基于整合技術的數學問題解決框架的應用前景。

【關鍵詞】? ? 整合技術? ? 數學問題? ? 解決框架

引言：

新時期下，先進信息技術和學科教學進一步結合已是教育事業(yè)發(fā)展的必經路徑，備受各界關注。教育部于《普通高中數學課程標準》中明確指出，學生數學問題解決水平的優(yōu)化提升是6大數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的終極目標，可見在數學問題解決中對信息技術予以利用極具意義且必要。在此背景下，以整合技術為基礎的數學問題解決框架備受矚目，其能對學生數學能力予以強化，開發(fā)大腦潛能。隨著GeoGebra這款動態(tài)數學軟件在數學教學中的寬泛應用，部分開放型數學問題能被很好的解決，將其與整合技術的數學流暢性予以結合，可謂是教育事業(yè)的進一步發(fā)展。

一、理論基礎

1.1符號中介理論

該理論即知名學者維果斯基以“符號中介”為基礎發(fā)展所得，其表示教師對人工制品相應符號潛能加以分析后，以教學周期為著力點，組織既定任務抑或活動，且專門利用某些人工制品為學生所用，使學生在此期間將自身個體意義面向既定數學意義所轉化，從而更好的實現(xiàn)學習目標。在此期間學學生運用到的手勢與語言等軍屬于人工制品符號，教師具體起專家向導的作用。

自符號潛能而言，人工制品囊括兩個方面的符號關聯(lián)：一是學生借助人工制品完成能力范圍以內的任務，此時學生腦海內的個人意義和人工制品便具有了符號聯(lián)系;二是基于人工制品經由專家認定為數學的意義和其產生符號聯(lián)系?？梢姡斯ぶ破吩趯W生個人和既定數學意義中起連接作用。故而，教師應把人工制品看做是數學意義的符號中介工具，將和其有關的符號轉換成數學符號，即借助多樣化方式收集所得的人工制品符號對學生個人意義加以闡明，即數學問題解決時學生內心和數學意義兩者的有效轉化。

1.2工具化理論

該理論的意義即對人工制品以及心理工具兩者的差異加以區(qū)分，前者含義更為寬泛，包括所有物質工具，但既定情境中卻無法明確表述，既能是物質工具擁有的特定功能，還能是工具的整體，后者則表示人借助前者落實某個既定任務時，人與人工制品兩者具有意義的聯(lián)系?？梢?，后者不但講人工制品包含在內，也將工具用戶應用人工制品期間發(fā)展與利用的技藝、心理圖式包含在內。

就心理工具而言，其屬于個體構念，存在心理特征，且與其形成、發(fā)展對應的環(huán)境息息相關。學者Rabardel將心理工具的產生、發(fā)展過程稱作工具生成，包含工具內化與外化兩大過程，前者即人工制品各部分的產生、發(fā)展，人類的知識對其使用方式具有指導意義，后者表示使用方案的產生與演變。上述不同過程反映了人工制品能經由人的思維產生，也能對人的思維加以塑造?，F(xiàn)階段，工具化這一理論已成為國外數學教育研究畛域最常用的方式之一，能給予一個分析框架，對人使用既定人工制品存在的認知過程加以分析，在此理論上，將GeoGebra這一先進教學軟件與學生應用該軟件期間的技藝、心理圖式作為心理工具，對學生的具體操作加以觀察，能對學生在數學問題解決期間的心理予以分析。

二、基于整合技術的數學問題解決框架概述

對問題的最佳解決方案抑或可能結果加以尋找的過程即問題解決。在此期間，個體基于問題情境選取以往的知識經驗，為目標的達成探尋可能的解決方式，且重組和其有關的信息以獲得可行性方法。1980年，波利亞關于數學本質及問題解決這一論點備受人們關注，并使人們發(fā)現(xiàn)了數學問題解決以及數學內容兩者都是同等重要的。學者Schoenfeld將學生介于數學問題解決期間的表現(xiàn)區(qū)分成了多個環(huán)節(jié)，讀題、分析、探索、計劃、執(zhí)行、驗證。學者Martin以及Grudziecki對整合數字技術的問題解決基本框架進行了開發(fā)，囊括如下環(huán)節(jié)：陳述、辨別、獲取、評估、解釋、組織、整合、分析、綜合、創(chuàng)建、交流、傳播、反思。

學者Jacinto以及Carreira在上述研究的基礎上，對基于整合技術的數學問題解決框架進行了提出，通常被稱為MPST框架，此框架中解決過程被劃分成是個環(huán)節(jié)，即理解、察覺、解釋、整合、探索、計劃、創(chuàng)建、驗證、傳播、交流。研究基于以上理論對與中文表達模式更為契合的正兒技術的數學問題解決框架進行了提出，起囊括三大階段，九個環(huán)節(jié)：一是準備階段，包含三個環(huán)節(jié)，即理解問題、掌握重要信息、思考技術功效;二是解答階段，包含實現(xiàn)問題條件、探究結論、擬定解題方案、完成解題、書寫過程這5個環(huán)節(jié);三是反思階段，包含解題思維的分享、方案的展示這一環(huán)節(jié)。在此研究中我們需要注意一點，MPST這一框架內提及的“交流”，不但指學生之間的交流，也指學生和老師的交流，研究場景僅對應某一研究對象，故而此交流的發(fā)生以師生為主。

三、研究分析

3.1研究設計

1.研究對象。伍X是一名在校生，對數學極為熱愛，數學成績排名靠前。此次研究以該同學為目標對象，對其基于整合技術的數學問題解決加以研究，其中對三角形全等與等邊三角形等數學知識加以利用。該同學數學教師時常通過幾何畫板對數學知識、問題進行講解和探究，故而伍X對幾何畫板較為熟悉，因GeoGebra軟件和幾何畫板具有一定的相似性，所以讓該同學先學習此款軟件的基本操作而后開始數學問題的解決。

2.研究過程。伍X利用GeoGebra軟件對數學開放型問題進行了3次自主探究，在實踐的同時也進行口頭說明，并通過視頻錄像予以記錄。探究完成后，對該同學構建的軟件文件和通過紙筆解答問題的過程進行訪談。第2次探究對應的問題為：線段AE這一邊的△ABC、△CDE（頂點均依照順時針方向排列）都為等邊三角形，角ACE明顯小于120度，若點P為線段BE中點，M為AD中點，請問△CPNI是否為特殊三角形？

3.數據收集和分析。與前文兩大基礎理論相結合，本次研究對3種形式相關數據進行收集與分析，獲知產生了三角互證。具體過程詳見下表1所示：

數據分析步驟：先把視頻、錄音文件做成文本實錄，產生逐字稿;而后把基于整合技術的數學問題解決框架作為編碼系統(tǒng)，選擇內容分析法對采集所得的數據資料有效分析。

3.2研究結果

該小節(jié)將自準備、解答、反思這三個階段對研究結果進行表述：

1.準備階段。1）對問題真實含義加以理解。此環(huán)節(jié)內，伍X的語言屬于發(fā)揮中介功能的人工制品，能讓我們獲知其正處于理解問題含義的狀態(tài)中，其數學老師則為專家向導從旁引導。2）掌握重要信息。伍X同學正確把握了該題條件內的細節(jié)，“同側”以及兩個等邊三角形頂點均依照順時針方向排列，且明確了角ACE小于120度，這說明C為動點，此點位置不同則幾何圖形也將不同，會使△CPNI形狀改變。此分析源自伍X運用的GeoGebra文件，這便是數學問題解決期間形成的人工制品符號，對伍X心理圖式的了解大有裨益。3）技術功效的思考。該同學早已學習了怎樣利用GeoGebra軟件，這代表其明確了人工制品的潛能以及限制，腦海已有知識對其實踐操作進行引導，意味著其和人工制品產生了有意義的聯(lián)系，在此階段人工制品已轉換成心理工具。

2.解答階段。1）實現(xiàn)問題條件。此環(huán)節(jié)等同于工具內化過程，伍X同學的數學、技術知識有效互融，對其實踐操作進行引導，并產生全新的人工制品，也就是和問題對應的幾何圖形，并在該同學個人、數學意義兩者的轉化過程中發(fā)揮了中介作用。2）對可能結論加以探索。此環(huán)節(jié)具體對該同學繪制的幾何圖形進行說明，并得出△CPNI屬于等邊三角形這一結論。如此表明了GeoGebra繪制所得的幾何圖形和其拖動作用屬于人工制品，對伍X思維進行了塑造，促使其形成了新想法。3）擬定解題方案。此環(huán)節(jié)內，伍X利用GeoGebra使幾何圖形于動態(tài)變化期間依舊具有之前的數學性質，最終獲知△BCE和△ACD為全等關系，并對其后續(xù)問題解決思維進行影響。4）解題方案的落實。此環(huán)節(jié)中伍X同學經由工具外化領悟了數形結合思想，利用文本記錄，并對新的人工制品符號進行了創(chuàng)造，即文本解答檔案。5）解題過程的書寫。這一環(huán)節(jié)中，對該同學解答文本予以分析，獲知其表述的數學意義，這表明解答文本便是新形成的人工制品符號。

3.反思階段。1）解題思維的分享。經過在紙上書寫解題步驟，對解題思路再一次整理，同時對伍X 同學表述能力進行了鍛煉。

3.3研究結論

1.基于整合技術的數學問題解決過程，對較好的數學流暢性進行了展示。2.在數學問題解決期間對整合技術利用時，數學教育技術實質上屬于屬于心理工具。3.以整合技術為支撐的數學問題解決框架給新時代下數學教育事業(yè)的進步給予了方向。

四、基于整合技術的數學問題解決框架的應用前景

1.強化數學基礎知識，數學問題解決水平進一步提升。學生持續(xù)汲取以及建構是數學知識對數學問題的有效解決大有裨益。就義務教育課程改革而言，一大重要目標便是使學生具有利用所學知識技能有效解決問題的能力。教師在教學期間，需以數學教材為著力點，確保所有基礎知識的講解透徹清晰，在為學生設計習題期間，應當“典型化”，將多項技術整合，如GeoGebra等，從而使學生對已學知識不斷建構、重組，最終實現(xiàn)成功解決一道數學題、掌握一類數學題之成效。

2.學生數學教育技術素養(yǎng)進一步提升。自學習科學這一層面而言，技術給學習給予了較多功效，如交互性、選擇、開放式學習者輸入等等，這正好和“技術賦能學習”的論點相契合。此次研究經由對學生基于數學教育技術支撐環(huán)境中數學問題解決過程的表述，獲知技術可給學生進行問題解決予以線索，為學生在數學知識和技術操作方面的整合提供幫助，構建產生全新的知識對象，且在問題解決期間對數形結合這一思想進行了滲透。在此背景下，為確保學生數學素養(yǎng)不斷提升，學校會大力面向學生組織數學軟件培訓，對他們的數學教育技術素養(yǎng)加以提升，讓他們明確認知技術在學習中的效用，并在此基礎上開發(fā)思維、學習建構新知識。

3.基于動態(tài)數學軟件對學生整合技術之數學流暢性予以發(fā)展。此次研究表明，借助GeoGebra對數學問題的解決大有裨益，能構建新的知識對象，在問題解決方案的解釋及交流等層面極為關鍵。實質上，除開GeoGebra，還有其他教育技術均可給學生構建適宜的互動環(huán)境，為學生知識的重組、建構提供幫助，未來將有更多動態(tài)數學軟件在數學教育中被運用，對整合技術之數學流暢性的發(fā)展予以支撐。

五、結束語

本文對以整合技術為基礎的數學問題解決框架展開了分析，得到了如下結論：一是基于整合技術的數學問題解決過程，對較好的數學流暢性進行了展示;二是在數學問題解決期間對整合技術利用時，數學教育技術實質上屬于屬于心理工具;三是以整合技術為支撐的數學問題解決框架給新時代下數學教育事業(yè)的進步給予了方向。

參? 考? 文? 獻

[1]高翔，徐斌艷.五至八年級學生數學問題解決能力的實證研究——以“探索規(guī)律問題”為例[J].教育學術月刊，2020（01）：106-111.

[2]孔凡哲，趙娜.合作問題解決視角下的數學課程標準的定量研究——基于PISA2015 CPS測評框架[J].數學教育學報，2017，26（03）：30-38.

[3]陳敏，楊玉東.小學生解決真實情境問題的調查研究——基于PISA數學素養(yǎng)的視角[J].上海教育科研，2016（09）：46-49+54.

[4]朱凱.“應用問題解決”學與教設計的框架及其實施[J].教學與管理，2014（03）：96-99.