眭亞燕

【摘要】2016年7月，潘建明老師申報的課題《翻轉(zhuǎn)教學(xué)形態(tài)的變革與創(chuàng)新研究》被列為全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度教育部重點課題，課題批號為DHA160378.翻轉(zhuǎn)課堂的核心是對教學(xué)理念和教學(xué)方式的翻轉(zhuǎn)，可以與傳統(tǒng)課堂優(yōu)勢互補，要想創(chuàng)造優(yōu)異的教學(xué)效果，新技術(shù)的支持是不可或缺的.筆者通過對翻轉(zhuǎn)教學(xué)中如何借助幾何畫板培養(yǎng)建模素養(yǎng)進(jìn)行了深入研究：課前的淺層學(xué)習(xí)（模型的背景、由來、證明與建立），課內(nèi)的深度學(xué)習(xí)（模型的甄別、強化、自創(chuàng)與挑戰(zhàn)）.翻轉(zhuǎn)教學(xué)突出了學(xué)生的主體地位，可以發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的自組織能力，促進(jìn)學(xué)生的個性化發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】翻轉(zhuǎn)教學(xué);幾何畫板;建模素養(yǎng)

《幾何畫板》是一種適用于幾何教學(xué)的軟件，它可以幫助學(xué)生動態(tài)地觀察、探索和發(fā)現(xiàn)對象之間的數(shù)量變化關(guān)系與空間結(jié)構(gòu)關(guān)系，用形象生動的畫面幫助學(xué)生理解抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念、公式和法則，領(lǐng)會和把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)規(guī)律，有效突破教學(xué)重點和難點，因而深受廣大師生青睞.現(xiàn)代教育技術(shù)背景下的“自覺數(shù)學(xué)”教學(xué)思想利用教育技術(shù)的平臺、載體和技術(shù)手段構(gòu)建滿足學(xué)生個性化學(xué)習(xí)和發(fā)展的教學(xué)生態(tài)環(huán)境，提供可選擇的課程資源，以學(xué)生發(fā)展為本，強調(diào)尊重學(xué)生的差異性，加強對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支持和服務(wù)，在平等對話的基礎(chǔ)上進(jìn)行有效的因材循導(dǎo)和自覺體悟，做到學(xué)、教、做相統(tǒng)一和講、探、練相結(jié)合，關(guān)注少教多學(xué)，喚醒、激勵學(xué)生釋放出本質(zhì)潛能，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)、思維品質(zhì)、道德品質(zhì)不斷成長，形成學(xué)生面向未來的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展的能力.本文以《經(jīng)典幾何模型之“阿氏圓”》的教學(xué)設(shè)計為例，詮釋了如何實現(xiàn)以自覺課堂教學(xué)策略下主導(dǎo)自覺為主、幾何畫板支持為輔的自覺數(shù)學(xué)課堂.

【課前自覺學(xué)習(xí)】

一、模型背景

“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點，更是難點.當(dāng)k的值為1時，其為“PA+PB”型的最值問題，此時可轉(zhuǎn)化為常見的“將軍飲馬”模型來處理，即轉(zhuǎn)化為軸對稱問題（和最小，找對稱）來處理.而當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題則無法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同進(jìn)行分類，一般分為兩類進(jìn)行研究，即點P在直線上運動和點P在圓上運動.其中，點P在直線上運動的類型稱為“胡不歸”問題，點P在圓上運動的類型稱為“阿氏圓”問題.

二、模型由來

圖1“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩定點 B，C，則所有滿足PCPB=k（k≠1）的點P的軌跡是一個圓.這個軌跡最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱“阿氏圓”.在幾何畫板上觀察圖1，當(dāng)點P在⊙O上運動時，PB，PC的長在不斷地發(fā)生變化，但PCPB的比值k始終保持不變.

設(shè)計意圖：借助幾何畫板，通過拖動點P，讓學(xué)生觀察當(dāng)點P在⊙O上不斷運動時，PC和PB的數(shù)值雖

然在發(fā)生變化，但其比值始終保持不變，從而激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和參與熱情.

三、模型證明

圖2如圖2，P是平面上一動點，B，C是兩定點，PCPB=k（k>0且k≠1），M是BC的內(nèi)分點（M在線段BC上），N是BC的外分點（N在BC的延長線上），且MCMB=NCNB=k，則點P的軌跡是以MN為直徑的⊙O.

證明這個定理的方法有很多，下面是筆者的分析與證明，僅供參考.

（一）知識儲備

為了證明阿波羅尼斯圓定理，先證明下面兩個定理.

圖3定理1：如圖3，已知M是△PBC的邊BC上的一點，且PCPB=MCMB，求證：PM平分∠CPB.（三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理）

證明：過點C作CD∥PM，交BP的延長線于點D，則PDPB=MCMB，又PCPB=MCMB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠D=∠3.∵CD∥PM，∴∠1=∠D，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴PM平分∠CPB.

定理2：如圖4，N是BC的延長線上的一點，且PCPB=NCNB，求證：PN平分∠CPB的鄰補角∠CPE.

證明：過點C作CD∥PN，交BP于點D，則PDPB=NCNB，又PCPB=NCNB，∴PDPB=PCPB，∴PD=PC，∴∠3=∠4.∵CD∥PN，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1=∠2，∴PN平分∠CPB的鄰補角∠CPE.

（二）證明模型

有了上面兩個定理的證明，阿波羅尼斯圓定理的證明就不難了.現(xiàn)證明如下：

如圖5，連接PM，PN，∵M(jìn)為BC的內(nèi)分點，PCPB=MCMB=k，∴PM平分∠CPB，∴∠2=12∠CPB.∵N為BC的外分點，PCPB=NCNB=k，∴PN平分∠CPE，∴∠3=12∠CPE.∵∠CPB+∠CPE=180°，∴∠2+∠3=12（∠CPB+∠CPE）=90°，即∠MPN=90°，∴動點P到MN的中點O的距離等于MN（定值）的一半（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），點P的軌跡是以定比k內(nèi)分和外分定線段BC的兩個分點的連線為直徑的圓.

四、模型建立

圖6如圖6，⊙O 的半徑為 r，點 A，B 都在⊙O 外，P 為⊙O 上一動點，已知 rOB=k，連接 PA，PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時，點P的位置如何確定？

（一）模型解讀

圖8最早的“PA+PB”型問題應(yīng)該出現(xiàn)在“將軍飲馬”問題中，而本題多了一個“k”，故如何確定“k·PB”的大小是關(guān)鍵.如圖7，在線段 OB上截取 OC，使 OCr=k.∵rOB=k，∴r2=OB·OC，即OP2=OB·OC，又∵∠O=∠O，∴△BOP 與△POC相似，∴PCPB=OPOB=k，即k·PB= PC，故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點，P為動點，故當(dāng)A，P，C三點共線時，“PA+PC”的值最小，即“PA+k·PB”的值最小，如圖8所示.

（二）建構(gòu)步驟

解決“阿氏圓”問題，關(guān)鍵是熟練掌握“共角共邊型”相似三角形（也稱“母子型”相似或“美人魚”相似）的構(gòu)造方法.

第一步：找“阿氏圓”（或圓?。?，如果動點P的軌跡是一個圓（或圓?。?，不妨設(shè)圓心為點O，連接PO，得“阿氏圓”半徑OP;

第二步：構(gòu)造母三角形，考慮到要求的是“PA+k·PB”的最小值，故母三角形的三個頂點分別為圓心O、動點P、定點B（一般選含有k的線段的兩個端點分別與圓心O連接而成）;

第三步：構(gòu)造子三角形，分別計算出線段OP與OB的比、OP與OA的比，選取線段比為k的一組，如上例中的OPOB=k，在OB上取一點C，使得OCOP=OPOB=k（核心關(guān)鍵步驟），連接PC，得子三角形OCP，則△PCO∽△BPO，如圖7所示;

第四步：連接 AC，與⊙O 的交點即為點P（如圖8），此時“PA+PC”的值最小，即“PA+k·PB”的值最小.

（三）核心步驟

圖9回顧圖7，在OB上取點C，使OCOP=OPOB=k的目的是構(gòu)建“共角共邊型”相似三角形，其構(gòu)建是“阿氏圓”模型破解的“核武器”.

將圖7中的△BPO從圖中分解出來，如圖9所示，上色的△PCO∽△BPO，就是“母子型”相似模型.“母子型”相似模型的特點如圖10所示，△PCO與△BPO有公共角∠O（圓心角）、公共邊OP（半徑）.構(gòu)造出△PCO∽△BPO后，可以得到OCOP=OPOB，進(jìn)而求出OC=OP2OB，確定點C的位置后，連接AC，求出AC的長度，“阿氏圓”即可破解.

設(shè)計意圖：借助幾何畫板進(jìn)行解讀模型、構(gòu)建模型、分解模型、著色、標(biāo)注等一系列操作后，有利于激活學(xué)生的思維，向?qū)W生揭示知識發(fā)生和發(fā)展的過程，從而幫助學(xué)生更好地掌握“阿氏圓”這一經(jīng)典幾何模型，所以說幾何畫板是數(shù)學(xué)教學(xué)中解決問題的有效工具.利用幾何畫板在教學(xué)中“大顯身手”，不僅大大減少了課上板書的時間，使每節(jié)課都能向?qū)W生傳授更多的知識，而且能使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更濃厚的興趣，讓學(xué)習(xí)不再是負(fù)擔(dān)，不再是枷鎖，給學(xué)生的思維插上一對有力的翅膀.

【課中自覺強化】

五、典例講解：顯性阿氏圓（或?。?/p>

圖11例1 如圖11，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=6，⊙C的半徑為2，P為⊙C上一動

點，連接 AP，BP，求 AP+12BP的最小值.

圖12解析 如圖12，連接CP，因為CP=2，AC=6，BC=4，則CPAC=13，CPCB=12，而題目中是求“AP+12BP”，其中的k=12，故不在 AC 上取構(gòu)造點D，應(yīng)選用CPCB=12，所以在CB上取一點D，使CD=CP2CB=1，則有CDCP=CPCB=PDPB=12.無論點P如何移動，△PCD 與△BCP始終相似，故PD=12BP始終成立，所以AP+12BP=AP+PD，其中 A，D為定點，故 A，P，D三點共線時有最小值，AP+12BP=AP+PD=AD=AC2+CD2=37.

變式1 例1的已知條件不變，求13AP+BP的最小值.

圖13變式 2 如圖13，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，⊙C 的半徑為 2，點 P 是⊙C 上一動點，求23AP+PB 的最小值.

變式3 變式2的已知條件不變，求AP+12BP的最小值.

圖14變式4 如圖14，已知在扇形OCD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一點，求2PA+PB的最小值.

變式5 在變式4的條件下，求PA+65PB 的最小值.