□唐 萍 劉根厚

（1.連云港市海州區(qū)教育局教科室，江蘇連云港 222000；2.連云港職業(yè)技術(shù)學(xué)院圖書館，江蘇連云港 222000）

在認(rèn)知心理學(xué)研究范疇，數(shù)學(xué)心理過程包括陳述性心理過程、程序性心理過程和過程性心理過程.陳述性心理過程就是獲得陳述性知識(shí)的圖式，程序性心理過程就是建立程序性知識(shí)的雙向產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng)，過程性心理過程就是形成過程性知識(shí)的關(guān)系表征和觀念表征[1].現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，人的復(fù)雜的整塊知識(shí)是用圖式來表征的，產(chǎn)生式系統(tǒng)是圖式演進(jìn)的思維狀態(tài)，是以“如果，那么（if/then）”思維形式存在的，因此發(fā)展“認(rèn)知圖式”是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的根本任務(wù)，具有“定盤星”“導(dǎo)航儀”和“方向盤”的作用.換句話說，營(yíng)建以認(rèn)知圖式的發(fā)展為心理起點(diǎn)，以產(chǎn)生式形成為心理過程，以概念關(guān)系表征為心理本質(zhì)的課堂教學(xué)策略尤為必要.

本文以研究“二元一次方程”概念起始課為探究載體，以知識(shí)的獲得、保持與遷移為思維目標(biāo)，探析認(rèn)知圖式發(fā)展的心理過程，落實(shí)“關(guān)鍵能力”的培養(yǎng)目標(biāo).初中階段學(xué)生的認(rèn)知圖式發(fā)展主要是通過同化、順應(yīng)和平衡等心理過程完成的，涉及動(dòng)作式表征、圖像式表征和符號(hào)式表征，這有助于學(xué)生的知覺力、表象力和數(shù)學(xué)思維的梯度發(fā)展，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維，將“知識(shí)結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)化為“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，這就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理本質(zhì).

一、一種認(rèn)知圖式得以同化的心理過程動(dòng)作式表征有助于知覺思維的概括

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程起于動(dòng)作式思維表征，成于同化圖式心理過程的建立，終于知覺思維的有質(zhì)量概括.在認(rèn)知發(fā)展心理學(xué)看來，動(dòng)作式表征是用合適的動(dòng)作反應(yīng)來表示對(duì)世界的理解，是陳述性圖式的概括狀態(tài).比如，日常生活中的“帶路行為”就是一種動(dòng)作式表征圖式；數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”就是動(dòng)作式表征的實(shí)踐方式，是知識(shí)得以同化的行為路徑.具體來說，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，動(dòng)作式表征是數(shù)學(xué)陳述性心理過程的起點(diǎn)，是認(rèn)知圖式得以發(fā)展的思維導(dǎo)火索.表現(xiàn)在三個(gè)層面：一是“做數(shù)學(xué)”的動(dòng)作表征，讓學(xué)生在“做”中形成同化心理就緒的思維準(zhǔn)備狀態(tài)，有助于心智技能的形成；二是“說數(shù)學(xué)”的動(dòng)作表征，讓學(xué)生在說數(shù)學(xué)中形成“數(shù)學(xué)地思維”和“思維地?cái)?shù)學(xué)”，有助于概念圖式形成目標(biāo)的達(dá)成；三是“想數(shù)學(xué)”的動(dòng)作表征，是一種知覺思維，讓學(xué)生在“數(shù)學(xué)地想數(shù)學(xué)”中，建立知識(shí)圖式表征和概念關(guān)系表征，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知同化的先行作用，進(jìn)而改善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“非平衡”狀態(tài).日常數(shù)學(xué)教學(xué)中的“舉一反三”就是認(rèn)知同化的常見表現(xiàn)方式.“你能再寫出幾個(gè)具有類似特征的例子嗎？”就是同化認(rèn)知圖式的常見表現(xiàn)形式.換句話說，動(dòng)作表征是同化認(rèn)知圖式的基本路徑（畫圖等），能讓學(xué)生有效地將新知納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的豐富和充實(shí).

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，認(rèn)知圖式是心理發(fā)展中極為重要的組成部分，涉及知覺、思維、智力等方面的變化.可以說，數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的過程就是認(rèn)知圖式的演進(jìn)過程.比如“二元一次方程”正整數(shù)解的產(chǎn)生過程，就是通過“用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)”來完成的概念同化過程.其中，“知覺→思維→智力”的發(fā)展過程，就是知覺圖式（如何確立二元一次方程的一個(gè)解）、思維圖式（二元一次方程有無數(shù)個(gè)解的關(guān)系）以及智力圖式的發(fā)展（二元一次方程的“無數(shù)個(gè)解”能組成一條直線，有“點(diǎn)動(dòng)成線”的理解智慧）.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，要把每一節(jié)的知識(shí)放在整體的角度加以理解，讓學(xué)生在整體與局部思維圖式的參與下，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)把握知識(shí)；對(duì)于某些知識(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同層次、不同角度加以認(rèn)識(shí)，形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)，這就是認(rèn)知圖式同化的常見樣例.為此，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是認(rèn)知圖式的發(fā)展過程，即“概念圖→知覺經(jīng)驗(yàn)→整體結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的“陳述圖式”轉(zhuǎn)化為“認(rèn)知發(fā)展”.

【認(rèn)知圖式同化的實(shí)踐樣例】在研究“二元一次方程”概念發(fā)生模塊，我們就是基于同化圖式發(fā)展知覺的概括作用.具體來說，筆者設(shè)置了兩個(gè)梯度問題情境，稱為一級(jí)問題情境和二級(jí)問題情境.一級(jí)問題情境：學(xué)校舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則如下：答對(duì)1 題得4 分，答錯(cuò)1題扣1 分．小明在這次競(jìng)賽中回答了10 個(gè)問題，共得25 分，小明答對(duì)了幾題？答錯(cuò)了幾題？這一問題怎樣用一元一次方程來描述答對(duì)（或答錯(cuò)）的題數(shù)與得分之間的相等關(guān)系呢？二級(jí)問題情境：學(xué)校舉行環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則如下：答對(duì) 1 題得 4 分，答錯(cuò) 1 題扣 1 分．小明在這次競(jìng)賽中共得25分．你能確定小明答對(duì)幾題嗎？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】一級(jí)問題情境的設(shè)置旨在讓學(xué)生自然銜接“一元一次方程”，站在“一元一次方程”思維圖式的基礎(chǔ)上，建立“二元一次方程”概念體系；二級(jí)問題情境的創(chuàng)設(shè)旨在讓學(xué)生知覺“二元一次方程”發(fā)生的必要性.正如我們?cè)谟欣頂?shù)范圍內(nèi)無法分解因式x2-3，有必要引進(jìn)“無理數(shù)概念”，實(shí)現(xiàn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解目標(biāo)，x2-3=(x+ 3 )(x- 3 ).就這一認(rèn)識(shí)來說，二元一次方程概念圖式的建立過程就是知覺認(rèn)知發(fā)展的過程，可以倒逼學(xué)生產(chǎn)生需要學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，這就是動(dòng)作表征的準(zhǔn)備心理狀態(tài).

另外，一級(jí)問題情境的呈現(xiàn)，能讓學(xué)生基于一元一次方程解決現(xiàn)實(shí)問題，一方面有助于知識(shí)銜接，另一方面有助于后續(xù)類比一元一次方程知識(shí)體系，研究二元一次方程的知識(shí)體系，具有預(yù)熱方程認(rèn)知圖式的作用.如果說，一級(jí)問題情境是動(dòng)作表征發(fā)生的思維地基，那么二級(jí)問題情境是知覺思維的表現(xiàn)形式，則“一級(jí)→二級(jí)”是概念圖式發(fā)展的起點(diǎn)，這有助于學(xué)生在認(rèn)知發(fā)展中獲得認(rèn)知圖式的發(fā)展，在知識(shí)同化中形成結(jié)構(gòu)概念的能力，實(shí)現(xiàn)知覺理解走向關(guān)系理解，將動(dòng)作轉(zhuǎn)化為技能與智慧.

二、一種認(rèn)知圖式得以順應(yīng)的心理過程圖像式表征有助于表象思維的可逆

圖像式表征是程序性圖式就緒的積極心理狀態(tài)，是概念、規(guī)則、命題形成的必要心理?xiàng)l件.常見的圖像式表征就是讓學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)從實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題.就像“二元一次方程”概念的建立過程，而“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽（上述實(shí)踐樣例）→抽象數(shù)學(xué)問題→形成數(shù)學(xué)關(guān)系”就是圖像式表征的常見思維形態(tài).由于個(gè)體認(rèn)知圖式的狀態(tài)不同，內(nèi)部概念結(jié)構(gòu)的思維水平不同，在學(xué)習(xí)新知時(shí)，往往需要改善已有的圖式以適應(yīng)新的環(huán)境（皮亞杰稱之為順應(yīng)）.就這一認(rèn)識(shí)來說，認(rèn)知圖式發(fā)展的過程就是認(rèn)知心理水平得以順應(yīng)的過程.尤其是程序性認(rèn)知圖式的發(fā)展，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平和思維環(huán)境之間，在“半平衡”思維的參與下達(dá)到了新的平衡，這種平衡的過程一直持續(xù)下去，學(xué)生的認(rèn)知能力就不斷得到發(fā)展.比如，在建立了“二元一次方程”概念圖式的基礎(chǔ)上，如果學(xué)習(xí)“二元一次方程組”，則需要再次進(jìn)行“思維順應(yīng)”.在學(xué)生建立了完形的“二元一次方程組”的概念圖式，后續(xù)建立“一元二次方程”概念表象，需要進(jìn)行再次“思維順應(yīng)”.這里的圖像式表征，必須從兩個(gè)維度進(jìn)行：一是基于“一元一次方程”認(rèn)知圖式，建立“一元二次方程”表象；二是基于“二元一次方程”認(rèn)知圖式，建立“一元二次方程”表象，這種疊加式圖式結(jié)構(gòu)的建立，需要建立思維順應(yīng)和思維表象，方能建立完備的概念體系結(jié)構(gòu)，形成可逆的“數(shù)與代數(shù)”概念圖式.

就數(shù)學(xué)活動(dòng)心理來說，圖像式表征主要是用表象來表示對(duì)世界的理解（經(jīng)歷的人、事有清晰的印象）.函數(shù)圖象、方程模型、數(shù)學(xué)關(guān)系式、各級(jí)各類統(tǒng)計(jì)圖以及數(shù)學(xué)關(guān)系表格及其背后的數(shù)學(xué)方法體系等都是圖像表征的結(jié)果狀態(tài)，是一種程序性圖式的心理過程.也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)中程序性圖式建立的質(zhì)量，支配著學(xué)生的認(rèn)知水平、速度和效率.學(xué)生對(duì)“一元一次方程知識(shí)體系”的可逆表征水平，影響后續(xù)“二元一次方程”概念表象體系的建立.這就是程序性圖式發(fā)揮支配作用的表現(xiàn)形式.一般情況下，表象式表征是靠“樣例學(xué)習(xí)”和“問題解決”兩種方式來實(shí)現(xiàn)的.數(shù)學(xué)課本中的“例題及其分析”就是“樣例學(xué)習(xí)”的最常見呈現(xiàn)方式.實(shí)踐證明，學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)作為影響圖式獲得的獨(dú)立變量，“樣例學(xué)習(xí)”或“問題解決”的效果依賴于學(xué)習(xí)者經(jīng)驗(yàn)的水平.就圖像表征認(rèn)識(shí)論來說，“樣例學(xué)習(xí)”的本質(zhì)就是建立“會(huì)一題、通一類、連一片”的可逆表象系統(tǒng)，“問題解決”就是“獨(dú)立思考→學(xué)會(huì)思考”的思維順應(yīng)，是程序性心理圖式建立的基本單元.基于此，在借助圖像表征發(fā)展程序認(rèn)知圖式的過程中，需要做好三個(gè)層面的思維工作：一是用好樣例學(xué)習(xí)，讓學(xué)生建立概念表象；二是做好問題解決，讓學(xué)生體驗(yàn)程序性認(rèn)知圖式建立的心理過程；三是順應(yīng)經(jīng)驗(yàn)現(xiàn)實(shí)，讓學(xué)生基于已有認(rèn)知圖式，建立完形的概念表象體系，形成結(jié)構(gòu)性知識(shí)圖式，建立是什么、怎么樣和為什么的整體思維樣態(tài)和可逆思維行為.

【認(rèn)知圖式順應(yīng)的實(shí)踐樣例】在研究“二元一次方程”概念形成模塊，基于“問題解決”建立圖像式表征，在樣例思維的引領(lǐng)下，在順應(yīng)思維的參與下，落實(shí)可逆思維及其表象思維體系的建立.具體問題組塊：（1）籃球比賽規(guī)則規(guī)定：贏一場(chǎng)得2 分，輸一場(chǎng)得1 分.在某次中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某籃球隊(duì)賽了若干場(chǎng)，積20分.問該球隊(duì)贏了多少場(chǎng)？輸了多少場(chǎng)？你是怎么知道的？經(jīng)歷上述活動(dòng)，你發(fā)現(xiàn)了什么？（2）某球員在一場(chǎng)籃球比賽中共得35分，其中罰球得10 分.他投中了兩分球多少個(gè)？三分球多少個(gè)？為什么？（3）讓學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)，抽象表征出數(shù)學(xué)概念，再寫出幾個(gè)具有類似特征的方程，以此落實(shí)類化概念的目的.

【設(shè)計(jì)意圖】問題（1）的設(shè)置，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)二元一次方程概念的存在特征，為二元一次方程圖像式表征的建立做好鋪墊；問題（2）的設(shè)置，讓學(xué)生基于“一元一次方程”的圖像式表征，在順應(yīng)思維的幫助下，建立二元一次方程思維表象及其心理表象體系；問題（3）的設(shè)置是讓學(xué)生在可逆思維的支配下，實(shí)現(xiàn)對(duì)二元一次方程正整數(shù)解的理解，為后續(xù)“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)鋪設(shè)思維路基.在圖式發(fā)展的心理過程中，圖像式表征的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)關(guān)系表征的常見范式.數(shù)學(xué)關(guān)系是數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的思維活動(dòng)賴以生存的條件，是“數(shù)學(xué)對(duì)象間可以確切定義的關(guān)系”[2].就這一認(rèn)識(shí)來說，圖像式表征包括概念的發(fā)生、概念的順應(yīng)、可逆圖式的過程以及“半穩(wěn)態(tài)”數(shù)學(xué)能力系統(tǒng)的演進(jìn)，因此圖像式表征是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

三、一種認(rèn)知圖式得以平衡的心理過程符號(hào)式表征有助于數(shù)學(xué)思考的補(bǔ)償

數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律進(jìn)行抽象，通過概念和符號(hào)運(yùn)算與邏輯推理的科學(xué)[3].符號(hào)表征是符號(hào)推理的重要形式，是數(shù)學(xué)作為工具的表現(xiàn)形式之一，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)孕育的“母基”.就大尺度符號(hào)化思想來說，符號(hào)表征是數(shù)學(xué)建模的外在形式，是學(xué)生認(rèn)知圖式不斷平衡的標(biāo)志.這種“平衡→不平衡→平衡”的思維過程，就是一種過程性心理圖式演進(jìn)的基本方式，有助于數(shù)學(xué)思考的層次性補(bǔ)償.數(shù)學(xué)教學(xué)中，描述性數(shù)學(xué)概念，“像這樣的……叫作……”就是符號(hào)表征的思維產(chǎn)物 .比如，“方程 2x+y=20、2x+3y+10=35，它們都含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程，叫作二元一次方程”就是符號(hào)表征的常見形式.就數(shù)學(xué)思考的補(bǔ)償作用來說，符號(hào)式表征是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)，是監(jiān)測(cè)學(xué)生知識(shí)獲得質(zhì)量的一把標(biāo)尺.“小結(jié)與思考”就是課堂教學(xué)的常見表征形式，有助于學(xué)生建立完備的概念圖式，能發(fā)揮補(bǔ)償與平衡思維作用.在核心素養(yǎng)發(fā)展范疇，符號(hào)式表征就是用數(shù)學(xué)的語言表征世界，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.也是我們常說的“一般化思想”，是數(shù)學(xué)中考考查的重要視角.

過程性心理圖式蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)活動(dòng)的巧妙設(shè)計(jì)中，學(xué)生的心理活動(dòng)表征，一般有兩類：一類是外部數(shù)學(xué)活動(dòng)（行為表征），另一類是內(nèi)部數(shù)學(xué)活動(dòng)（認(rèn)知表征）.在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》看來，符號(hào)表征是指運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，是通過用語言符號(hào)表示對(duì)世界的理解；同時(shí)，使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論更具有一般性.數(shù)學(xué)公式就是一種符號(hào)表征的產(chǎn)物.符號(hào)表征分為行為表征、認(rèn)知表征和情感表征.就初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理過程來說，行為表征就是“做數(shù)學(xué)”，認(rèn)知表征就是“說數(shù)學(xué)”，情感表征就是“想數(shù)學(xué)”，這樣平衡認(rèn)知圖式的過程，有助于學(xué)生形成系統(tǒng)概念圖式.比如，數(shù)學(xué)活動(dòng)的呈現(xiàn)，能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)概念定理的曲折過程，切實(shí)體驗(yàn)“陳述性→程序性→過程性”的微言大意.這也是英國(guó)數(shù)學(xué)家德·摩根（A.De Morgan，1806—1871）強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)教學(xué)中的歷史次序，認(rèn)為“教師在教代數(shù)時(shí)，不應(yīng)該一下子把新符號(hào)都教給學(xué)生，而是應(yīng)該讓學(xué)生按照歷史的順序去學(xué)習(xí)符號(hào)”[4]的根本原因.基于這一認(rèn)識(shí)，在平衡學(xué)生思維圖式的過程中，需要做好三個(gè)維度的符號(hào)表征工作：一是正反例證，讓學(xué)生知道來龍去脈；二是類比思想方法，讓學(xué)生表征概念的關(guān)系體系；三是用以致學(xué)，讓學(xué)生形成雙向產(chǎn)生式系統(tǒng)，進(jìn)而發(fā)展認(rèn)知圖式的再平衡狀態(tài).

【認(rèn)知圖式平衡的實(shí)踐樣例】在研究“二元一次方程‘結(jié)課模塊’”，就是基于符號(hào)表征，在平衡思維的多次參與下，落實(shí)認(rèn)知圖式發(fā)展和數(shù)學(xué)思考的深度進(jìn)行.首先讓學(xué)生舉例表征對(duì)二元一次方程及其概念體系的理解；其次是讓學(xué)生類比一元一次方程的章節(jié)體系，猜想二元一次方程應(yīng)該研究哪些內(nèi)容的問題；最后是讓學(xué)生體驗(yàn)“中考鏈接”視角，即一輛汽車從A地駛往 B 地，前路段為普通公路，其余路段為高速公路.已知汽車在普通公路上行駛的速度為60km/h，在高速公路上行駛的速度為100km/h，汽車從A 地到B 地一共行駛了2.2h．請(qǐng)你根據(jù)以上信息，就該汽車行駛的“路程”或“時(shí)間”，提出一個(gè)用二元一次方程組解決的問題，并寫出解答過程（可以提出如下問題：試問汽車在普通公路和高速公路上各行駛多少時(shí)間？解答方案略）.

【設(shè)計(jì)意圖】“舉例說明”是一種對(duì)做數(shù)學(xué)的行為表征，“類比思想”的使用是一種大尺度說數(shù)學(xué)，能讓學(xué)生在認(rèn)知表征中獲得系統(tǒng)圖式，“用以致學(xué)”是一種情感表征，是想數(shù)學(xué)的基本途徑，促進(jìn)了認(rèn)知圖式的再平衡.

二元一次方程概念是一個(gè)符號(hào)工具，其內(nèi)容是關(guān)于二元一次方程符號(hào)“所指何物”的知識(shí)，是方程符號(hào)系統(tǒng)和不同情境中兩個(gè)變量的具體關(guān)系所組成的“符號(hào)指稱系統(tǒng)”.因此，概念是認(rèn)知圖式的頂層思維，需要探析，需要發(fā)展，更需要表征關(guān)系，方能讓學(xué)生形成“入乎其內(nèi)，出乎其外”的心理過程 .