□侯 軍 王婭梅

（1.中央民族大學(xué)附屬中學(xué)海南陵水分校，海南陵水 572400；2.云南省石屏高級中學(xué)，云南石屏 662200）

高中數(shù)學(xué)第一課教什么？怎么教？不同的教師有不同的教學(xué)構(gòu)想.筆者認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)第一課應(yīng)是一節(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的“欣賞課”，一節(jié)學(xué)生數(shù)學(xué)情感的“重塑課”.通過第一課的教學(xué)，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學(xué)的概念、方法、思想等，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)之美，體會數(shù)學(xué)之用，進(jìn)而認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和價值，幫助學(xué)生破除“高中數(shù)學(xué)難學(xué)”的心理障礙和錯誤認(rèn)識，從而使學(xué)生的思想向想要“玩好數(shù)學(xué)”（學(xué)好數(shù)學(xué)）轉(zhuǎn)變.

一、情感激發(fā)：認(rèn)識高中數(shù)學(xué)的“好玩”

2002 年7月，陳省身先生應(yīng)《上海教育》邀請給廣大青少年題詞：數(shù)學(xué)好玩.不久，中科院院士田剛教授也題了四個字：玩好數(shù)學(xué).一個簡單的“玩”字滲透了兩位老一輩數(shù)學(xué)家對青少年的勉勵和期待[1].如何才能讓學(xué)生玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學(xué)？入學(xué)第一課是關(guān)鍵.教師不妨帶領(lǐng)學(xué)生先從認(rèn)識“數(shù)學(xué)好玩”開始，通過這一過程使學(xué)生初步了解高中數(shù)學(xué)的知識內(nèi)涵，進(jìn)而向想要“玩好數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變.

（一）好玩的數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是玩概念的，數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，其抽象的數(shù)學(xué)表征是學(xué)生步入高中面臨的一個重要難題.數(shù)學(xué)教學(xué)實質(zhì)上就是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，課堂活動或課后作業(yè)的布置都是為了深化概念的理解.剛剛步入高中的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時常犯的一個錯誤就是忽視概念理解，陷入“套路式”解題模仿.故起始課教學(xué)中讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的重要性是十分必要的.

【教學(xué)片段1】

面對新的教師，新的同學(xué)，學(xué)生往往比較拘謹(jǐn)，不敢表達(dá)，這無疑會影響教師教育教學(xué)的質(zhì)量.故而，教師在課程導(dǎo)入時，不妨以集合的“確定性”為背景和學(xué)生開一個小玩笑.

班長：起立！

學(xué)生：老師好！

教師笑語：同學(xué)們好！請所有長頭發(fā)的同學(xué)站一下，其余同學(xué)請坐下.（停頓幾秒給學(xué)生思考）

教師繼續(xù)：（目測包含所有站著的學(xué)生）請站著的同學(xué)中身高低于2米的坐下.

【設(shè)計說明】意在建立學(xué)生對集合概念的感性認(rèn)識.“長頭發(fā)”的不確定性引發(fā)學(xué)生思考：多長的頭發(fā)算長頭發(fā)？部分頭發(fā)較長的女生不知所措，有的男生也在糾結(jié)自己的坐與站的問題.教師快速追加坐下的條件“身高低于2米”，則所有站立的學(xué)生坐下，化解了這一部分學(xué)生的尷尬.課堂上，師生談笑間拉近了心理的距離.

教師開始本節(jié)課的導(dǎo)入語：首先祝賀大家升入高中的學(xué)習(xí)，老師剛剛以高中數(shù)學(xué)中“集合”的概念為背景和大家開了一個小玩笑.什么是集合？我們?nèi)嗟娜w同學(xué)可以是一個集合，全體的男同學(xué)或全體的女同學(xué)也都是一個集合，但所有長頭發(fā)的同學(xué)不能構(gòu)成一個集合，因為集合要滿足其內(nèi)在的個體（元素）是確定的.這也是引發(fā)部分同學(xué)不確定自己是坐還是站的原因，而站著的同學(xué)中“身高低于2 米的同學(xué)”顯然是能夠確定的，它是一個集合.集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個基本概念，也是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個概念.同學(xué)們在后續(xù)的學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，概念的理解程度決定了我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度，也直接決定了數(shù)學(xué)解題水平的高低.

【設(shè)計說明】通過學(xué)生不難理解的集合概念，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.教學(xué)中，教師不必對集合的概念加以定義，以學(xué)生的感性認(rèn)識理解即可，意在提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)認(rèn)知，也可留下懸念為后續(xù)正式學(xué)習(xí)集合相關(guān)知識鋪墊情感因素.

【教學(xué)片段2】

問題 1：比較 1.01365,1365,0.99365之間的大小.

問題2：它們之間相差大嗎？

【設(shè)計說明】問題1到問題2意在建立矛盾沖突，學(xué)生通過自己的直覺即可回答問題1，然而再用直覺判斷問題2則會帶來錯誤.事實上，教師引導(dǎo)學(xué)生使用科學(xué)計算器完成以上數(shù)據(jù)的計算，可得1.01365=37.78343433289，0.99365=0.02551796445229.進(jìn)一步的，教師運用Geogebra 等動態(tài)可視化軟件帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步觀測不同指數(shù)、三個數(shù)值之間的差異，初步體會從函數(shù)的視角看數(shù)值的變化，簡單了解函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)爆炸等數(shù)學(xué)概念.并引導(dǎo)學(xué)生思考：努力學(xué)習(xí)和不努力學(xué)習(xí)的差異，努力一周和一年、三年的差別.

（二）好玩的數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)方法即用數(shù)學(xué)語言表述事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，并加以推導(dǎo)、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預(yù)言的方法.數(shù)學(xué)方法是學(xué)習(xí)者解決具體問題的數(shù)學(xué)手段，是數(shù)學(xué)概念應(yīng)用于解題過程的顯化.教師在起始課教學(xué)中，不妨讓學(xué)生初步感受高中數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)方法.例如基于“二分法”設(shè)計的猜數(shù)字游戲，再如基于“算兩次”設(shè)計一些代數(shù)或幾何問題，以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的理性認(rèn)識.需要注意的是，問題設(shè)計應(yīng)貼合學(xué)生認(rèn)知水平，不可超出學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”.下面是基于作差法比較大小的第一課教學(xué)片段.

【教學(xué)片段3】

一個唱片商店里，有兩類唱片，其中30張老式硬唱片一塊錢2張，另外30張唱片是一塊錢3張.那天，這60張唱片全賣完時，老板經(jīng)過計算，30張一塊錢2張的唱片共賣15元，30張一塊錢3張的唱片共賣10元，總共是25元.第二天老板又拿出這樣的60 張唱片，他想何必自找麻煩來分唱片？30 張老唱片是一塊錢2張，另30張一塊錢3張，何不把60張唱片放在一起，按2塊錢5張來賣？這一天60張唱片全按2 塊錢5 張賣出去了，可是老板點錢時發(fā)現(xiàn)只賣得24 元，不是25 元，這1 元錢到哪兒去了？老板百思不解，你能幫助分析原因嗎？

現(xiàn)實生活中，市場上經(jīng)常有兩種物品混合售賣的情況，例如水果的混合、瓜子的混合、糖果的混合等等，商家如何搭配銷售才能贏利？

我們可以利用數(shù)學(xué)方法作如下更一般性的分析，請同學(xué)們思考以下問題.

問題1：假設(shè)價格較高的甲商品買a單位需要b元，價格較低的乙商品買c單位需要d元，則甲、乙兩種商品單價分別為多少？

問題2：兩種商品混合后的售價為多少？（取平均售價）

問題3：回到上面的唱片案例，可知a=30,b=15,c=30,d=10，故混合后的銷售額：未進(jìn)行搭配的銷售額為b+d=25，搭配銷售虧了1 元錢.怎樣才能賺錢或不虧呢？（啟發(fā)學(xué)生比較大?。?/p>

兩種銷售方式的額差為(b+d)-

因為bc＞ad∴ad-bc＜ 0，

當(dāng)b＞d時，搭配銷售吃虧；當(dāng)b=d時，搭配前后一致；當(dāng)b＜d時，搭配后銷售利潤大.

【設(shè)計說明】以問題串的形式讓學(xué)生的思考層層遞進(jìn)，案例中主要體現(xiàn)了高中常見的作差比較法，通過對現(xiàn)實生活中實際問題的解決，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)方法對解決問題的重要性，理解學(xué)好數(shù)學(xué)的現(xiàn)實意義.

（三）好玩的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，教師通過對數(shù)學(xué)思想的介紹，能讓學(xué)生領(lǐng)會知識背后的數(shù)學(xué)思維方式.常見的數(shù)學(xué)思想有數(shù)學(xué)結(jié)合思想、函數(shù)思想、分類討論思想、極限思想等[2].

【教學(xué)片段4】

數(shù)學(xué)實驗：請學(xué)生在移動端的GeoGebra上打開老師做好的旋轉(zhuǎn)體實驗平臺（初始幾何體為圓柱，如圖1），通過調(diào)整幾何體上、下底面半徑、高度h三個參數(shù)進(jìn)行如下實驗.

實驗一：當(dāng)上底面半徑逐漸接近于0 時，圖形是怎樣變化的？（見圖2）

實驗二：當(dāng)上下底面不相等時，圖形是怎樣的？（見圖3）

實驗三：當(dāng)幾何體的高度h逐漸接近于0時，圖形是怎樣變化的？

圖1

圖2

圖3

【設(shè)計說明】學(xué)生親自動手操作，體會幾何圖形動態(tài)的變化過程.圖形之間從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)換可以使學(xué)生直觀感知極限思想的內(nèi)涵.值得一提的是，GeoGebra可以360度查看幾何體各個視角的形態(tài)，這為學(xué)生建立幾何直觀提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持.例如，圖4 是實驗三的正視圖，圖5是俯視圖.

圖4

圖5

【教學(xué)片段5】

題目用函數(shù)思想證明一道高考題.（2013 年全國高考數(shù)學(xué)理科新課標(biāo)Ⅱ卷第23題）

設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明

證明：由a+b+c=1得c=1-a-b，

【設(shè)計說明】在沒有運用高中數(shù)學(xué)知識的前提下完成一道高考真題，這樣的成就感無疑為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打了一針“強(qiáng)心劑”，也能讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想的無限魅力.其中對于的理解需要教師進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

二、學(xué)法指導(dǎo)：如何“玩好”高中數(shù)學(xué)

學(xué)會學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要隱性目標(biāo)，教師不僅要教給學(xué)生必要的考試知識，更要教會學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).第一課中，從“數(shù)學(xué)好玩”到“玩好數(shù)學(xué)”的過程本質(zhì)上恰是從授之以“欲”到授之以“漁”的過程.教師在帶領(lǐng)學(xué)生完成“數(shù)學(xué)好玩”的體驗過程后可趁熱打鐵指導(dǎo)學(xué)生“玩好數(shù)學(xué)”，相信學(xué)生必能聽之信之.

（一）數(shù)學(xué)運算重推理，聽課過程聽“分析”

初中階段的數(shù)學(xué)運算普遍是技巧層面的代數(shù)變形，且運算難度小，高中階段的數(shù)學(xué)運算則普遍是帶有邏輯推理的運算，且運算量較大.算不對、算不準(zhǔn)也就成了高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常態(tài).故在第一課教學(xué)中，教師有必要在課堂教學(xué)中展示一些往屆學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)或答題卡的解題圖片，通過展示不同水平畢業(yè)生的解題圖片讓學(xué)生認(rèn)識到苦練數(shù)學(xué)運算的重要性.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程外顯的是知識的汲取，內(nèi)隱的卻是思維的培養(yǎng).不同于初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，高中階段，學(xué)生聽得懂教師所講的數(shù)學(xué)知識，但自己獨立運用的時候卻往往又不會解題了.其主要原因是學(xué)生的聽課方式不正確，習(xí)慣性地關(guān)注教師解題步驟的書寫過程，而對教師分析問題（暴露思維）的過程重視不夠.故在第一課教學(xué)中，教師需指導(dǎo)學(xué)生高中數(shù)學(xué)聽課的關(guān)鍵要點——聽“分析”，即重視聽教師分析怎樣“想問題”，聽教師分析概念、定理、公式內(nèi)在的知識內(nèi)涵或思想方法.

（二）堅定信念苦鉆研，善于糾錯勤復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)解題不僅需要扎實的基礎(chǔ)，更需要堅定的信念.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生遇到難題需要花費較多的時間去思考，要求學(xué)生具有堅定的信念和刻苦鉆研的精神.故教師在授課時可介紹一些著名數(shù)學(xué)家的個人事跡或身邊學(xué)生刻苦學(xué)習(xí)獲得好成績的成功案例，以激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的斗志.最后，教師還需指導(dǎo)學(xué)生高效整理筆記、錯題的方法以及養(yǎng)成科學(xué)復(fù)習(xí)的好習(xí)慣.

高中數(shù)學(xué)第一課的教學(xué)中，認(rèn)識“數(shù)學(xué)好玩”立足于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、學(xué)生數(shù)學(xué)情感重塑這兩個層面，而如何“玩好數(shù)學(xué)”則是針對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和學(xué)習(xí)習(xí)慣的建議.高中階段培育學(xué)生的核心素養(yǎng)首先在于育“情”（對數(shù)學(xué)的態(tài)度、興趣、學(xué)習(xí)意志等），有“情”的學(xué)生才能在日積月累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷地思考、積累、探索，才能真正地“玩好數(shù)學(xué)”，才能實現(xiàn)“會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的目標(biāo) .