黃志鵬 牛惠民

（蘭州交通大學交通運輸學院 蘭州730070）

0 引 言

高速鐵路作為一種安全、快捷、綠色的交通方式受到越來越多旅客的青睞。旅客選擇高鐵出行不僅僅局限于傳統(tǒng)的鐵路客運產(chǎn)品——位移，同時對列車服務提出了新的更高要求，而列車出發(fā)時段則是旅客最為關(guān)心的服務品質(zhì)。旅客通常會根據(jù)各自的出行目的和出行習慣選擇最理想的出發(fā)時段，即旅客對1 d 中的不同時段表現(xiàn)出明顯的偏好和差異，這必然會導致旅客需求分布的時間不均衡。對應地，鐵路部門必然會感受到這種偏好，并在不同時段提供不同的列車服務以響應這樣的需求分布特征。在列車運營階段，列車停站方案和開行頻率是鐵路供給產(chǎn)品的最重要體現(xiàn)，在很大程度上決定列車服務的品質(zhì)。因此，深入研究旅客出發(fā)時段偏好和需求分布之間的耦合關(guān)系，據(jù)此優(yōu)化高鐵列車停站方案和開行頻率，具有重要的現(xiàn)實意義。

軌道列車停站和頻率優(yōu)化始終是國際熱門的研究問題。許多學者將列車停站方案作為列車運行圖的子問題進行研究，Yue等[1]、Qi等[2]分別構(gòu)建了以運輸收益最大、列車空座位運行距離以及列車總停站次數(shù)最小為目標的規(guī)劃模型，Shang等[3]將旅客出行過程抽象到基于空間-時間-狀態(tài)的3維網(wǎng)絡中優(yōu)化列車停站方案。李得偉等[4]、牛豐等[5]將列車停站次數(shù)作為優(yōu)化目標或者約束條件，構(gòu)建高鐵列車停站方案模型。Niu等[6]針對1條擁擠的高鐵走廊，以最小化乘客的候車時間為目標，研究了列車時刻表和停站方案的協(xié)同優(yōu)化問題。文獻[7-8]以鐵路運輸企業(yè)運輸效益最大化為目標對列車開行方案進行優(yōu)化。文獻[9-11]分析了影響旅客出行滿意度的因素，并構(gòu)建了列車開行方案模型。Wang[12]和Zhao 等[13]分析了旅客出行選擇行為和列車開行方案優(yōu)化的關(guān)系，并設(shè)計了優(yōu)化模型和算法?？紤]到需求與供給之間的博弈關(guān)系，文獻[14-18]建立了雙層規(guī)劃模型對列車停站和頻率問題進行數(shù)學描述，取得了重要的研究成果。

國內(nèi)外學者對軌道列車停站和頻率問題做了大量深入的研究，但如何在優(yōu)化過程中體現(xiàn)旅客對出發(fā)時段的偏好屬性，尚未見到公開的報道。本文針對1 條高速鐵路走廊，引入吸引度與排斥度來量化旅客對出發(fā)時段的偏好，據(jù)此構(gòu)造了新的高鐵旅客出行阻抗函數(shù)，通過構(gòu)建雙層規(guī)劃模型反映企業(yè)和旅客的不同利益博弈，研究基于時段偏好的列車停站和頻率優(yōu)化問題。本文的主要創(chuàng)新點是將旅客的出行時段偏好與列車停站方案和開行頻率結(jié)合起來，將道路交通流平衡分配理論運用在軌道交通運輸組織中，把多OD 客流需求分配問題轉(zhuǎn)化為旅客出行方案（時空出行路徑）選擇問題。以期達到鐵路運輸企業(yè)運營“系統(tǒng)最優(yōu)”和出行者“用戶均衡”的協(xié)同優(yōu)化。

1 問題分析

1.1 問題和假設(shè)

本文研究1條擁擠的高鐵線路，擁擠性表現(xiàn)為受列車服務供給的影響，旅客不能全部按照自己最理想的時段出發(fā)。不失一般性，本文研究單方向列車的運營問題。設(shè)該高鐵線路含有m 個車站，從始發(fā)站1開始，沿列車運行方向依次標記為2，3，…，m ，并用S 表示車站集合。

首先假設(shè)在給定的高鐵線路上，所有列車的運行速度和編組長度相同。此外，假定高鐵全天的運營時間限制在06:00—24:00之間，并以1 h為1個時段，按照時間順序依次編號1，2，…，18，共18 個時段，如將07:00—08:00標記為時段2，并用H 表示時段的集合。

為了響應需求分布的時間不均衡特征，在不同時段，鐵路部門會選用不同的停站方案及不同的開行頻率或列車數(shù)量。本文將以時段為單元，依據(jù)旅客對出發(fā)時段的偏好，制定各時段的列車停站及頻率方案，最大限度地滿足具有時段偏好差異的旅客

需求。因此，本文研究的列車停站和頻率問題，實際上就是確定集合為h時段開行p 停站方案的列車數(shù)量；P 為停站方案的集合。

1.2 時段偏好

從2 個方面度量旅客出發(fā)時段偏好，基于客觀的時段吸引度和基于客流影響的時段排斥度。

1.2.1 時段吸引度

對于1 條運營的高鐵線路，不同時段對旅客出發(fā)的吸引程度具有明顯差異，其大小受出行目的、旅行時間、經(jīng)濟條件、文化習慣等多因素的影響。對于指定的車站i ，本文用1個介于0-1之間的常數(shù)來表示h 時段的吸引度。時段越好或該時段越吸引乘客，則吸引度的取值越小，反之則吸引度的取值越大。通常情況下，吸引度的取值可以通過旅客問卷調(diào)查或客流數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析來獲得。對于本文討論的蘭西高速鐵路走廊（蘭州西—西安北），在始發(fā)站（蘭州西站）組織實施了含有1 067份有效問卷的數(shù)據(jù)調(diào)查，輔助于歷史訂票信息的分析，得到了該站的時段吸引度（見表1），其中時段4（09:00—10:00）最吸引乘客。

1.2.2 時段排斥度

對于某個出發(fā)時段，除了時段吸引度，還有一種受客流反向影響的屬性，本文稱之為時段排斥度，其大小受制于該時段加載的客流量。當某個時段的吸引度取值較小時，大量的旅客選擇在這個時段出行，這必然會導致部分旅客買不到該時段車票，或者為了確保能在這個時段出行，旅客必須提前購票，使得出行靈活性降低，最終導致該時段的排斥度變大。

表1 蘭州西站時段吸引度Tab. 1 Period attractivity of Lanzhouxi station

時段排斥度的數(shù)值，取決于從始發(fā)站發(fā)出的累計客流量。例如，車站對（1，2）關(guān)于時段1的排斥度，除了受時段1產(chǎn)生的（1，2）站之間客流影響，還要受時段1從始發(fā)站1發(fā)出的（1，3）、（1，4）、（1，5）等客流的影響和支配?；诖耍枚攘寇囌緦﹂gh 時段的排斥度。其中:xihj為變量，為從i 站出發(fā)途經(jīng)車站對的累計客流量；為車站對( i,j )之間旅客能夠在h 時段出發(fā)的數(shù)量，這與h 時段列車開行的數(shù)量有關(guān)。顯然，累計客流量xihj越大，則該時段的排斥度越大。

1.3 阻抗函數(shù)

旅客出行的綜合成本，可以用阻抗函數(shù)大小來度量。結(jié)合前文引入的時段吸引度和排斥度，本文定義車站對( )i,j 間旅客選擇h 時段出行的阻抗函數(shù)見式（1）。

式中:α 為調(diào)節(jié)系數(shù)；τij為列車在車站對( i,j )的平均運行時間。式（1）定義的阻抗函數(shù)是累計客流量的增函數(shù)，具有普通阻抗函數(shù)的特征。

高鐵旅客對出發(fā)時段的選擇，類似于城市交通出行者對路徑的選擇，他們總是期望能夠在阻抗最小的時段出行。不同于城市交通系統(tǒng)擁擠現(xiàn)象主要發(fā)生在行駛途中，高鐵系統(tǒng)的擁擠現(xiàn)象則發(fā)生在上車站，表現(xiàn)為部分旅客不能夠在自己期望的時段出發(fā)。

乘客首先會選擇阻抗值最小的時段出行，當很多旅客都做出這種選擇時，會導致該時段的阻抗增加，并使該時段不再是旅客最佳的選擇，部分旅客會轉(zhuǎn)而選擇其他時段。如此循環(huán)反復，最終旅客對出發(fā)時段的選擇達到UE 平衡狀態(tài)。也就是說，所有時段上的出行阻抗相等，都等于它們共同的最小值。

1.4 停站方案

對于1 條含有m 個車站的高鐵線路，列車將有2m種可能的停站選擇。當m 較大時，這是1 個典型的NP問題。然而，現(xiàn)實中真正需要選擇是否停車的車站數(shù)量往往并不太多。如始發(fā)站1 和終到站m ，以及部分客流量大的中心城市所在站，列車必須停車。排除這些必停站，需要決策是否停車的車站是很有限的。

如含有10 個車站的蘭西高鐵走廊，除蘭州西、定西北、天水南、寶雞南、咸陽秦都、西安北等6個必停站，真正需要選擇列車是否?？康能囌局挥?個。因此，全部停站方案的總數(shù)為:24= 16 。基于此，對于本文討論的列車停站問題，可以用枚舉法列出所有可能的方案，再用優(yōu)化模型計算相應的列車頻率。然而，當?？寇囌驹龆鄷r，這種建立列車停站方案備選集的方法會降低求解效率，應當增加1 組0-1決策變量來表示沿途?？空镜摹巴＼?通過”狀況。

1.5 求解思路

本文運用雙層規(guī)劃模型刻畫問題，用遺傳算法和Frank-Wolfe方法求解模型。在構(gòu)模階段，上層模型確定列車停站和頻率方案，下層模型確定時段配流結(jié)果。具體地說，就是將全天的OD 客流需求作為輸入常數(shù)，對枚舉的每個停站方案和當前的列車頻率，運用Frank-Wolfe 方法將客流需求加載至時段；然后，利用得到的配流結(jié)果，計算和度量方案的優(yōu)劣，再運用遺傳操作生成更好的列車頻率；如此循環(huán)反復，最終得到最優(yōu)的基于時段偏好的列車停站和頻率方案。

2 模型和算法

2.1 符號說明

本文建模所需符號見表2。

表2 符號說明Tab. 2 Notation's description

2.2 上層規(guī)劃

1） 目標函數(shù)。在一個出發(fā)時段，可以選用不同的停站方案和開行頻率。這些不同的列車開行方案，必然產(chǎn)生不同的運營成本。本文以最小化鐵路部門總運營成本為上層規(guī)劃的優(yōu)化目標。當?shù)趆 時段，選用停站方案p 的列車數(shù)量為yhp（決策變量）時，將產(chǎn)生rp?yhp的運行成本，對于鐵路運輸企業(yè)，運營成本最小化是其目標，故上層目標函數(shù)可以表示為

式中:θij為鐵路部門為車站i 與j 之間分配的票額比例，假定該數(shù)值為已知的常數(shù)，取值可根據(jù)歷史數(shù)據(jù)進行估計。約束條件（3）表示h 時段開行的列車總數(shù)不能超過額定能力，約束條件（4）表示車站i 與j 之間在h 時段提供的服務能力應該不小于相應的客流需求。

2.3 下層規(guī)劃

旅客總是選擇出行阻抗最小的時段出發(fā)，而阻抗函數(shù)（1）又是流量的增函數(shù)，這必然會導致不同旅客間的選擇博弈，這種選擇博弈最終會達到一種UE用戶平衡狀態(tài)。即對于車站對(i,j) 間的旅客，任意時段只要存在客流，則這些時段上旅客出行阻抗相等。用uij表示車站i 與j 之間的最小出行阻抗，則UE平衡條件可表示為

圖1 算法流程Fig. 1 Algorithm process

上述最優(yōu)化模型具有和城市交通UE 配流模型相似的形式，差異性表現(xiàn)在其中的路段、路徑和阻抗函數(shù)具有完全不同的意義。其中決策變量表明在上層決策的基礎(chǔ)上，流量分配的結(jié)果，其又能反饋給上層約束（4）。

2.4 算法

所建模型是1 個雙層規(guī)劃問題，它被公認為是極其困難求解的NP完全問題。目前，國內(nèi)外學者普遍運用智能算法從全局角度尋找滿意解?？紤]到遺傳算法編碼與本文模型有較好的契合度，同時具有較好的全局收斂性。另一方面，所建的下層模型是在Beckmann 模型基礎(chǔ)上進行的轉(zhuǎn)化模型，而Frank-Wolfe 算法是目前廣泛應用的求解Beckmann模型的有效算法。因此，采用嵌套Frank-Wolfe方法的遺傳算法對雙層規(guī)劃模型進行求解。

遺傳算法染色體采用整數(shù)編碼，每個染色體表示1個可能的停站和頻率方案。每個基因位置表示各時段各種停站方案的列車數(shù)量yhp。算法流程見圖1。

3 算 例

3.1 參數(shù)設(shè)置

以蘭西高鐵走廊（見圖2）為背景，對所提出的模型和算法進行測試。為了方便表示，按照列車運行方向依次編號1，2，…，10，并標記相鄰2站間運行時分，如車站對(2,3)間運行時分為0.5 h。

圖2 蘭西高鐵走廊示意圖Fig. 2 Lanzhou-Xi'an high-speed-rail corridor

3.1.1 參數(shù)取值

對于上述單向列車運行問題，根據(jù)西蘭高鐵上行方向（蘭州西—西安北方向）2025 年客流預測數(shù)據(jù)，并以目前西蘭高鐵上各OD 間的票額分配比例作為算例的輸入。車站i 到車站j 之間的旅客出行需求qij、及票額比例 θij見表3。

表3 參數(shù)qij 和 θij 的取值Tab. 3 Value of qij and θij

各時段均按最小發(fā)車間隔5 min 進行設(shè)置，即各時段的最大發(fā)車數(shù)fh均為12 列。列車定員按照CRH3C 型動車組，β = 601 。對于參數(shù)，可通過車站對( i,j )之間的列車運行時分τij可通過計算( i,j )之間的所有區(qū)間運行時分之和得到。不同停站方案下的列車運行成本rp見表4?？紤]到蘭西高鐵沿線各站的時段吸引度相差不大，本文用蘭州西站的吸引度（見表1）來替代所有車站的吸引度。此外，遺傳算法中的種群規(guī)模popsize = 200 ，交 叉 概 率 Pc= 0.8 ，變 異 概 率Pm= 0.07 ，最大迭代次數(shù)為100代。

表4 參數(shù)rpTab. 4 Value of rp (unit: ten-thousand yuan/train)萬元/列

3.1.2 參數(shù)α 的標定

圖3 不同α 值，時段4客流分配結(jié)果Fig. 3 Passenger assignment for period 4 with different α value

圖4 列車停站方案及數(shù)量Fig. 4 Train skip-stop operations and quantities

3.2 計算結(jié)果

上層規(guī)劃的優(yōu)化結(jié)果見圖4。圖4的左側(cè)，枚舉了所有16種列車停站方案，右側(cè)列出了各時段不同停站方案的列車數(shù)量。如第一行的方案1表示列車在通渭、秦安、岐山和楊陵南不停車，該方案全天開行10列，其中在第2時段開行1列、第4時段開行1列等。

下層規(guī)劃的配流結(jié)果見表5，可得到各車站全天18 個時段的總出發(fā)人數(shù)。共有45 個車站對，表5 列出了部分車站對之間的流量分配輸出。上述配流結(jié)果符合通常情況下旅客對出發(fā)時段的偏好，如旅客選擇第4 時段（09:00—10:00）和第12 時段（17:00—18:00）的出發(fā)客流最大。

表5 各時段配流結(jié)果Tab. 5 Passenger assignment in each period人·次

圖5 描述了吸引度、排斥度和客流量隨時段變化的情況。吸引度曲線與排斥度曲線的走勢相反，而排斥度曲線與客流曲線的走勢相同，這與吸引度、排斥度的意義完全吻合，即出發(fā)時段越好，則吸引度取值越小，排斥度取值越大，所加載的客流也就越多。

圖5 各時段客流量、吸引度和排斥度Fig. 5 Passenger volume, attractivity and inaccessibility in each period

4 結(jié)束語

考慮到出發(fā)時段對高鐵旅客出行決策的重要影響，利用吸引度與排斥度描述旅客對出發(fā)時段的偏好，并據(jù)此構(gòu)造旅客出行阻抗函數(shù)。針對旅客和企業(yè)之間的不同利益博弈，建立了高速鐵路列車停站和頻率優(yōu)化的雙層規(guī)劃模型，上層規(guī)劃用于確定列車的停站和頻率方案，下層規(guī)劃用于計算客流分配結(jié)果。對所建立的雙層規(guī)劃模型，設(shè)計了嵌套Frank-Wolfe 方法的復合遺傳算法。以蘭西高鐵為背景對模型和算法的有效性進行測試。計算結(jié)果表明:在可接受的求解時間范圍內(nèi)，本文提出的方法能夠得到滿意的高鐵列車停站和頻率方案。本文研究過程中，隱含著列車在時段分布均衡的假定?，F(xiàn)實的高鐵運營中，鐵路部門為了響應旅客對出發(fā)時段的偏好，會考慮發(fā)車間隔不均衡的列車運行組織模式。如何優(yōu)化基于時段偏好的列車服務方案，將是一個有意義的研究方向。