葛帥帥，李開明

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

一般六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)有實(shí)現(xiàn)姿態(tài)能力差、運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解困難以及難以通過(guò)閉環(huán)控制獲得較高的精度和較好的動(dòng)態(tài)性能等缺點(diǎn)，而少自由度并聯(lián)機(jī)床具有驅(qū)動(dòng)元件少、結(jié)構(gòu)緊湊、成本低等突出優(yōu)點(diǎn)。三自由度并聯(lián)機(jī)床已能滿足大多數(shù)應(yīng)用需求。雖然并聯(lián)機(jī)構(gòu)具備串聯(lián)機(jī)構(gòu)不能比擬的優(yōu)勢(shì)，但也有一些串聯(lián)機(jī)構(gòu)所沒有的缺點(diǎn)，若將兩者結(jié)合起來(lái)恰好可以在優(yōu)缺點(diǎn)上形成互補(bǔ)[1]。五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工技術(shù)是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜自由曲面產(chǎn)品加工制造的關(guān)鍵技術(shù)[2]。在原有的三平動(dòng)非對(duì)稱并聯(lián)機(jī)床的基礎(chǔ)上增加一個(gè)C-A型雙擺頭構(gòu)成五軸聯(lián)動(dòng)混聯(lián)機(jī)床，但并聯(lián)機(jī)床存在運(yùn)動(dòng)耦合，必須通過(guò)逆解運(yùn)算將動(dòng)平臺(tái)在操作空間中的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)空間中的伺服運(yùn)動(dòng)才能使動(dòng)平臺(tái)走出期望的軌跡[3]。由于采用一般的插補(bǔ)方法C-A型雙擺頭可能會(huì)產(chǎn)生非線性誤差，因此本文提出了一種操作空間粗插補(bǔ)與關(guān)節(jié)空間精插補(bǔ)相結(jié)合的插補(bǔ)算法來(lái)解決上述問(wèn)題。

1 機(jī)構(gòu)描述

3-2SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由動(dòng)平臺(tái)、機(jī)架和3組伸縮桿組成，如圖1所示，上下兩組伸縮桿兩端分別與動(dòng)平臺(tái)和機(jī)架連接,中間一組伸縮桿兩端分別與動(dòng)平臺(tái)和線性模組連接，線性模組是一種可水平滑動(dòng)的冗余滑塊，用以規(guī)避奇異位形和增大工作空間。每組伸縮桿均由一個(gè)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng),以保證同一組伸縮桿始終平行且桿長(zhǎng)相等，從而使動(dòng)平臺(tái)只能在機(jī)床的X,Y,Z軸方向上平動(dòng)。在上述并聯(lián)機(jī)床動(dòng)平臺(tái)上裝上C-A型雙擺頭構(gòu)成五軸聯(lián)動(dòng)混聯(lián)機(jī)床。

圖1 混聯(lián)機(jī)床三維模型

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

2.1 坐標(biāo)系的建立

圖2 定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)和定坐標(biāo)系示意圖

圖3 動(dòng)平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)和動(dòng)坐標(biāo)系示意圖

2.2 并聯(lián)機(jī)床的位置及速度正反解

(1)

(2)

式中:Bi為動(dòng)平臺(tái)上鉸鏈安裝點(diǎn)在機(jī)床動(dòng)坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)；Ai為定平臺(tái)上鉸鏈安裝點(diǎn)在機(jī)床定坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)。

由式(2)可得本文并聯(lián)機(jī)床位置反解方程：

(3)

由式(3)可得本文并聯(lián)機(jī)床位置正解方程：

(4)

由于L1=L2,L3=L4,L5=L6，則有：

(5)

(6)

2.3 雙擺頭的位置正反解

如圖4所示，雙擺頭定軸坐標(biāo)系為Om-XmYmZm，其中Om是擺動(dòng)A軸和旋轉(zhuǎn)軸C軸的交點(diǎn)，各坐標(biāo)軸方向與機(jī)床定坐標(biāo)系相同；Ot-XtYtZt為刀具坐標(biāo)系，其中Ot與刀尖點(diǎn)重合，各坐標(biāo)軸方向與機(jī)床定坐標(biāo)系相同，Om到Ot的距離為L(zhǎng)；工件坐標(biāo)系為Ow-XwYwZw。在刀具坐標(biāo)系中，刀位點(diǎn)為(0,0,0)，刀軸矢量為Ps0(0,0,L)；在工件坐標(biāo)系中，記機(jī)床平移軸相對(duì)于初始狀態(tài)的位置為Ps(sx,sy,sz)。刀位點(diǎn)矢量和刀軸矢量在工件坐標(biāo)系中分別為u(ux,uy,uz)和p(px,py,pz)，可由Ot-XtYtZt相對(duì)于Om-XmYmZm的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換和Om-XmYmZm相對(duì)于Ow-XwYwZw的平移坐標(biāo)變換得到[6]：[uxuyuz0]T=M(PM0+PM)·MRZ(θC)·MRX(θA)·M(-PM0)·[0 0 1 0]T，[pxpypz1]T=M(PM0+PM)·MRZ(θC)·MRX(θA)·M(-PM0)·[0 0 0 1]T，其中M(PM0+PM)和M(-PM0)為平移變換矩陣，MRZ(θC)和MRX(θA)為旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

圖4 工雙擺頭機(jī)床坐標(biāo)系統(tǒng)圖

綜上可得[7]：

(7)

3 笛卡爾空間粗插補(bǔ)

記某段程序首位置刀位點(diǎn)坐標(biāo)和刀軸矢量為rs[ps(psx,psy,psz),us(usx,usy,usz)]，末位置為re[pe(pex,pey,pez),ue(uex,uey,uez)]，與其對(duì)應(yīng)的機(jī)床定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和A、C角為Ms(Xs,Ys,Zs,As,Cs)、Me(Xe,Ye,Ze,Ae,Ce)。程序段首位置和末位置距離為L(zhǎng)es=|pe-ps|，設(shè)當(dāng)前是第n個(gè)插補(bǔ)周期，當(dāng)前刀位點(diǎn)為rn[pn(pnx,pny,pnz),un(unx,uny,unz)]，與首位置的距離為L(zhǎng)ns=|pn-ps|，設(shè)第(n+1)個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的進(jìn)給速度為Fn+1，則刀位點(diǎn)沿進(jìn)給方向移動(dòng)ΔLn+1=Fn+1·T，此時(shí)(n+1)插補(bǔ)周期后的刀位點(diǎn)為rn+1[pn+1(p(n+1)x,p(n+1)y,p(n+1)z),un+1(u(n+1)x,u(n+1)y,u(n+1)z)]，與首位置之間的距離為[8]：

(8)

則：

rn+1=rs+(re-rs)·Ln+1/Les

(9)

即：

(10)

聯(lián)立式(7)和(10)可求得各個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)θA,θC,sx,sy,sz的值。

4 關(guān)節(jié)空間精插補(bǔ)

已知伸縮桿起點(diǎn)和終點(diǎn)(即伸縮桿的長(zhǎng)度)、伸縮桿伸出速度和兩點(diǎn)間的時(shí)間(插補(bǔ)周期)T,則符合這3個(gè)限制條件的三次運(yùn)動(dòng)軌跡是唯一確定的，在一個(gè)插補(bǔ)段內(nèi)任意時(shí)刻的加速度a(t)、速度v(t)和伸縮桿長(zhǎng)度l(t)可表示為[10]：

j(t)=j00≤t≤T

(11)

a(t)=j0t+a00≤t≤T

(12)

(13)

(14)

給定伸縮桿各插補(bǔ)周期內(nèi)的起始桿長(zhǎng)l0和終止桿長(zhǎng)l1以及起始速度v0和終末速度v1，可得：

(15)

(16)

將j0和a0代入式(14)，可得l(t)的矩陣表達(dá)式為：

(17)

由式(17)可以看出，通過(guò)這種插補(bǔ)方法得到插補(bǔ)軌跡段的離散點(diǎn)，且在插補(bǔ)周期內(nèi)伸縮桿伸出速度和加速度也連續(xù)。

5 仿真實(shí)例

5.1 仿真計(jì)算結(jié)果

為進(jìn)一步驗(yàn)證上述插補(bǔ)方法的有效性，在MATLAB軟件中仿真了一段直線加工軌跡。設(shè)軌跡段的起點(diǎn)刀尖點(diǎn)坐標(biāo)及刀軸矢量為(-191.395 8,2.638 4,7.225 2),(0.028 586,0.104 879,0.994 070)，終點(diǎn)刀尖點(diǎn)坐標(biāo)及刀軸矢量為(-191.397 8,4.816 3,7.208 0),(0.028 817,0.071 236,0.995 840)；仿真插補(bǔ)周期為3 ms，進(jìn)給速度為4 000 mm/min，L=20 mm。插補(bǔ)算法計(jì)算結(jié)果如圖5～圖10所示。

5.2 仿真結(jié)果分析

圖5～圖7中的粗插補(bǔ)點(diǎn)序?yàn)榻?jīng)操作空間粗插補(bǔ)后再通過(guò)位置反解得到的關(guān)節(jié)空間中的桿長(zhǎng)分布點(diǎn)序，圖中的精插補(bǔ)曲線是在關(guān)節(jié)空間中采用PVT插補(bǔ)得到的各伸縮桿的桿長(zhǎng)變化曲線，從圖中可看出，精插補(bǔ)曲線通過(guò)所有的粗插補(bǔ)點(diǎn)序，說(shuō)明采用此種插補(bǔ)方法獲得的軌跡精度較高、位置誤差較小。圖8、圖9分別為伸縮桿5在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的桿長(zhǎng)變化曲線和速度變化曲線，從圖中可看出,桿長(zhǎng)變化曲線光滑，在插補(bǔ)周期內(nèi)伸縮桿速度和加速度曲線光滑連續(xù)。圖10為在操作空間內(nèi)刀尖點(diǎn)所走的軌跡與原直線加工軌跡之間的誤差變化圖，從圖中可看出，最大加工誤差為0.765 μm，滿足加工精度要求。

圖5 伸縮桿1的桿長(zhǎng)插補(bǔ)曲線

圖6 伸縮桿3的桿長(zhǎng)插補(bǔ)曲線

圖7 伸縮桿5的桿長(zhǎng)插補(bǔ)曲線

圖8 伸縮桿5一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)桿長(zhǎng)插補(bǔ)曲線

圖9 伸縮桿5一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)速度插補(bǔ)曲線

圖10 操作空間內(nèi)誤差變化曲線

6 結(jié)束語(yǔ)

原有的并聯(lián)機(jī)床(3-2SPS)是三平動(dòng)非對(duì)稱機(jī)床，在其上添加一個(gè)C-A型雙擺頭構(gòu)成混聯(lián)機(jī)床，可實(shí)現(xiàn)五軸聯(lián)動(dòng)。并聯(lián)機(jī)床必須通過(guò)逆解運(yùn)算將動(dòng)平臺(tái)在操作空間中的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)空間中的伺服運(yùn)動(dòng)才能使動(dòng)平臺(tái)走出期望軌跡，而在操作空間中的普通插補(bǔ)，由于C-A型雙擺頭旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的影響，刀具實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡不是期望的直線，原來(lái)的插補(bǔ)算法不適用。本文將提出的操作空間粗插補(bǔ)與關(guān)節(jié)空間精插補(bǔ)相結(jié)合的插補(bǔ)算法用于該五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床刀具軌跡的修正，能較好地控制刀具的運(yùn)動(dòng)軌跡， MATLAB仿真結(jié)果也驗(yàn)證了該算法能有效減小混聯(lián)機(jī)床的加工誤差。