【對比思考】

“雞兔同籠”問題是我國民間流傳下來的經(jīng)典數(shù)學(xué)古題。它集題型的趣味性、解法的多樣性、應(yīng)用的廣泛性于一體，具有訓(xùn)練智能的教育功能和價值，是實施開放式教學(xué)的好題材。此內(nèi)容，三大主流版本都編入了教材，不同的教材編寫了不一樣的解決方法，體現(xiàn)了編者各自的新課程理念和不同的文本思想。人教版編排在六年級，主要是用列表法和假設(shè)法解，這兩種不同思維層次的解法，蘊涵著兩種不同的數(shù)學(xué)思想：列表法體現(xiàn)了“分類”的思想，假設(shè)法蘊涵著“逼近”的思想。蘇教版也編排在六年級，呈現(xiàn)的是用

畫圖和列表法解，用畫圖的方法解體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想。而北師大版編排在五年級，主要是用列表法解，并融合了“嘗試、窮舉和猜想”的方法，這本質(zhì)就是“分類”和“逼近”的思想。

看來，不管哪個版本，這節(jié)課的核心目標(biāo)都是解決問題的策略。解決“雞兔同籠”問題的本身并不重要，它只是一個載體，編者是想借“雞兔同籠”這一問題的解決，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，掌握一些基本的解決問題的策略，感悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法?？墒?，解題策略的掌握、思想方法的滲透不能一蹴而就，它有一個漸進的過程。為策略教學(xué)提供支撐的素材又是多種多樣的，載體也不宜過于單調(diào)。雖然，教學(xué)時不主張多種方法一哄而上，但這絕不是不讓學(xué)生掌握教材以外的其他方法。教學(xué)時，教師可在尊重學(xué)生的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生充分展示、交流不同的方法，在讓學(xué)生選擇適合自己的方法解答的同時，感悟不同的數(shù)學(xué)思想。我想，不管教哪個版本的教材，我們都可以設(shè)“數(shù)學(xué)思想方法”為教學(xué)的暗線，讓學(xué)生在策略的綜合應(yīng)用中，對知識背后的思想方法有所感悟、有所思考，從而為終身發(fā)展產(chǎn)生積極的影響和長期的效應(yīng)。

【教材解讀】

“雞兔同籠”問題是北師大版五年級上冊的內(nèi)容，屬于綜合應(yīng)用的范疇，是《嘗試與猜測》這個專題下的一個內(nèi)容。北師大版呈現(xiàn)了“逐一列表、跳躍列表和折中列表”三個層次的列表方法，是讓學(xué)生經(jīng)歷列表、嘗試和不斷調(diào)整的過程，習(xí)得列表法解決問題的一般策略，感悟“逼近”的思想?？v觀以上各版本的階梯策略，北師大版這種不教也能試的列表法，是解“雞兔同籠”問題的基礎(chǔ)。其他版本以假設(shè)為前提的代數(shù)法和方程法的算理也都少不了逐一列表的支撐。教學(xué)中，在學(xué)生掌握列表法的基礎(chǔ)上，能否再充分利用這一表格資源，讓學(xué)有余力的學(xué)生向代數(shù)法延伸，使深度學(xué)習(xí)更有效地發(fā)生，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？下面，筆者就以余金龍和呂緒婷兩位教師設(shè)計的《雞兔同籠》教學(xué)為例，談一點再思考。

一、經(jīng)歷策略形成的過程——深度學(xué)習(xí)之核

解題策略的形成不能一蹴而就，是要在方法的實施中通過體驗獲得，是要經(jīng)歷一個親身體驗——抽象數(shù)學(xué)模型——解釋與應(yīng)用的漸進過程?！盎顒优c體驗”是深度學(xué)習(xí)的核心特征?！盎顒印笔且詫W(xué)生為主體的主動活動，“體驗”是一種心理活動，是學(xué)生在活動中生發(fā)的意識和感受。因此，在解決問題的策略教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷策略的形成過程是深度學(xué)習(xí)必須追求的重要目標(biāo)。

當(dāng)然，學(xué)生的主動活動要依賴教師的引導(dǎo)以及教師對教學(xué)內(nèi)容及學(xué)生學(xué)習(xí)過程與方式的精心設(shè)計。設(shè)計（一）中，余老師首先讓學(xué)生課前通過微課學(xué)習(xí)，了解逐一列表法。這樣把課堂延伸至課外，是讓學(xué)生有更多的時間自主嘗試，充分體驗，獲得用列表的策略解決簡單的雞兔同籠問題經(jīng)驗。然后，出示《孫子算經(jīng)》原題，讓學(xué)生嘗試逐一，體驗繁瑣，激發(fā)簡化需求；嘗試跳躍，化繁為簡，體會跳躍的優(yōu)勢。設(shè)計（二）中，呂老師在活動一出示了“雞兔同籠，一共9只”的簡單問題，讓學(xué)生猜各有幾只？通過枚舉，憑借經(jīng)驗，整理成表?；顒佣貧w復(fù)雜的古題，先通過逐一列表感受繁瑣；再引導(dǎo)學(xué)生估計雞和兔數(shù)量的可能范圍，減少列舉的次數(shù)，體驗化繁為簡；后反思優(yōu)化，靈活選用合適的列表方法解決問題。另外，兩位教師都重視“一個一個地試”，這樣便于揭示雞、兔只數(shù)變化引起它們腿的條數(shù)的變化規(guī)律：多1只雞，少1只兔，減少了2條腿。掌握了這個規(guī)律，便于之后“跳躍法”“折中法”的推算，也便于學(xué)困生接受和掌握。

以上的教學(xué)，讓學(xué)生反復(fù)體驗用列表的策略解決問題的過程，反思活動行為，提取活動經(jīng)驗，逐步形成未來學(xué)習(xí)必備“猜測、嘗試、調(diào)整”的策略意識和關(guān)鍵能力，這就是深度學(xué)習(xí)的終極目標(biāo)。

二、感悟策略蘊含的思想——深度學(xué)習(xí)之魂

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗往往寓于具體、感性的數(shù)學(xué)活動中，是內(nèi)隱、本質(zhì)、永恒的。在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的養(yǎng)成教育中，不僅要關(guān)注顯性的數(shù)學(xué)知識和技能，更要關(guān)注隱性的思想和方法。深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以通過策略的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感受解題的策略價值，逐步掌握數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想是豐富多彩的，數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分把握滲透原則，立足數(shù)學(xué)思想，側(cè)重數(shù)學(xué)教學(xué)中的知識發(fā)生過程，并在“過程中”有針對性地進行數(shù)學(xué)思想“滲透”教學(xué)。

由于“雞兔同籠”古題的數(shù)據(jù)較大，不便于學(xué)生進行探究，兩位教師的設(shè)計中都將原題改編成“雞兔同籠，有9個頭，26條腿”的簡單問題，都讓學(xué)生經(jīng)歷“猜測、計算、調(diào)整”的過程，找到問題的答案。設(shè)計（一）中，余老師先通過逐一假設(shè)列表，并借助表格很快找到了正確答案，再立足假設(shè)，引導(dǎo)主動探究其他列表的方法。設(shè)計（二）中，呂老師此環(huán)節(jié)的教學(xué)流程與余老師差不多，更難能可貴的是呂老師在教學(xué)完三種列表方法后，引導(dǎo)學(xué)生提煉出“逐一列舉：無遺漏、不重復(fù)；跳躍列舉：減少嘗試的次數(shù)；折中列舉：縮小嘗試的范圍”的認知。改編的過程就是“化繁為簡”思想的真實寫照；猜測與嘗試滲透著“假設(shè)”思想；三種列表，三個層次，本質(zhì)都是“逼近”的思想。

以上的教學(xué)實踐，教師都側(cè)重對學(xué)生列表方法的訓(xùn)練，并在這一數(shù)學(xué)方法訓(xùn)練過程中滲透思想方法，讓學(xué)生在方法的習(xí)得中感悟方法背后的思想，這些都是學(xué)生帶得走、用得著的終身本領(lǐng)。

三、構(gòu)建策略關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)——深度學(xué)習(xí)之本

認知心理學(xué)認為，學(xué)生的學(xué)習(xí)就是建立認知聯(lián)結(jié)，形成認知結(jié)構(gòu)的過程。美國教育心理學(xué)家、認知心理學(xué)家布魯納也說：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它，簡單地說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。”學(xué)生以建構(gòu)的方式學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)中的知識，通過建構(gòu)將學(xué)習(xí)內(nèi)容本身所具有的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)進行個性化的再關(guān)聯(lián)、再建構(gòu)，從而形成自己的知識建構(gòu)。提升學(xué)生結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)能力，需要教師樹立結(jié)構(gòu)化教學(xué)的思維，開展以整合知識為主要內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化活動。

設(shè)計（一）中，余老師在探究活動三中，用課件再次展示逐一列表，讓學(xué)生觀察、分析，并發(fā)現(xiàn)用1只雞換掉1只兔，腿的條數(shù)就會減少2條，反之用兔換掉雞就會增加2條的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，再通過比較，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)表格各項之間的變化規(guī)律，運用逆向思維，從表格累計增減腿數(shù)反推到：只要算出假設(shè)的總腿數(shù)與實際腿數(shù)差就能求出雞的實際只數(shù)的方法，使“假設(shè)法”引入水到渠成。設(shè)計（二）中，呂老師是出示用逐一法列舉的完整的表三，先讓學(xué)生觀察表中腿的條數(shù)增減2的規(guī)律后，再讓學(xué)生抓住表的上下兩端進行深入分析，假設(shè)全是兔和全是雞兩種情況，觀察思考，列式計算。

以上的教學(xué)，都以表格為基礎(chǔ)，讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再從表中抽象出來假設(shè)法的算理，聯(lián)想表格做假設(shè)?？磥恚僭O(shè)法計算與列表法同屬假設(shè)，解題思路是一致的，只是表達的方式不同而已，都有效實現(xiàn)了數(shù)學(xué)關(guān)系的關(guān)聯(lián)建構(gòu)。這種以聯(lián)想、結(jié)構(gòu)的方式去學(xué)習(xí)，是深度學(xué)習(xí)的重要特征，也是夯實深度學(xué)習(xí)發(fā)生之本。

四、體驗策略應(yīng)用的價值——深度學(xué)習(xí)之標(biāo)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解決問題策略的價值并不局限于獲得具體問題的結(jié)論和答案，而是在于學(xué)生將習(xí)得的策略轉(zhuǎn)化為學(xué)生綜合實踐的能力，在“遷移與應(yīng)用”中體現(xiàn)價值。在深度學(xué)習(xí)中，“遷移和應(yīng)用”是重要的學(xué)習(xí)方式而不只是對學(xué)習(xí)結(jié)果的檢驗方式，它強調(diào)學(xué)生對學(xué)習(xí)結(jié)果的外化?！斑w移”是經(jīng)驗的擴展與提升，“應(yīng)用”是將內(nèi)化的知識外顯化。

設(shè)計（一）中，余老師在“鞏固應(yīng)用，拓展視野”中，安排了龜鶴和乘船兩個問題；設(shè)計（二）中，呂老師在“靈活運用，拓展提高”中，安排了儲蓄罐存錢問題。通過分析，這些問題都可以轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”問題，解決問題的策略也是一模一樣的。這些應(yīng)用就是檢驗學(xué)生內(nèi)化的策略能否外化為能力，是知識活化的標(biāo)志，也是學(xué)習(xí)成果的體現(xiàn)，深度學(xué)習(xí)需要特別予以關(guān)注。