吳明晨， 趙 錚， 許衛(wèi)鍇

(1.中國船舶重工集團(tuán)公司第七一三研究所， 鄭州 450015； 2.南京理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 210094; 3.沈陽航空航天大學(xué)遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 沈陽 110136)

由于具備重要帶隙特性，聲子晶體(phononic crystals, PnCs)作為一種人工超材料在過去的幾十年中受到了廣泛的關(guān)注[1-3]。一般來說，由至少兩種不同材料組成的周期性微結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生彈性波帶隙，并在波導(dǎo)、頻率濾波器和振動(dòng)控制器等實(shí)際器件的設(shè)計(jì)中實(shí)現(xiàn)彈性/聲波的操縱[4-12]。在實(shí)際應(yīng)用中，合理選取具有預(yù)期性能的聲子晶體并以之組成所要設(shè)計(jì)的聲學(xué)器件是一種行之有效的手段，因此，采用拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)聲子晶體的預(yù)期性能進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要的實(shí)際意義。

影響聲子晶體帶隙特性的因素主要包括結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)，控制和調(diào)整周期性微結(jié)構(gòu)的材料布局及屬性，可以達(dá)到設(shè)計(jì)所需帶隙特性復(fù)合材料的目的，這與拓?fù)鋬?yōu)化的思想不謀而合。Sigmund等[13]首先利用有限元方法和拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)對(duì)二維聲子晶體的最大化帶隙進(jìn)行了研究，隨后聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化迅速得到了廣大研究人員的關(guān)注。Gazonas等[14]和鐘會(huì)林等[15]利用遺傳算法研究了二維固態(tài)聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化；Hussein等[16]和Bilal等[17]則分別針對(duì)一維和二維的聲子晶體進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。有關(guān)聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化問題已成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)[18-22]。

然而，前人研究多是針對(duì)兩相材料的設(shè)計(jì)，對(duì)三相聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究仍然較少。2000年，Liu等[23]首次提出了由環(huán)氧樹脂、橡膠和鉛球組成的三相局域共振型聲子晶體，突破了傳統(tǒng)Brugg散射機(jī)制的限制，使用較小的尺寸即可得到低頻帶隙。這一發(fā)現(xiàn)也對(duì)聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化提出了新的挑戰(zhàn)：帶隙的產(chǎn)生機(jī)理有Bragg散射和局域共振兩種，這意味著三相材料的聲子晶體有可能產(chǎn)生更加優(yōu)異的性能。Matsuki等[24]和Yang等[25]分別研究了局域共振型聲子晶體的帶隙優(yōu)化，但他們僅僅是將單胞內(nèi)的橡膠層進(jìn)行了設(shè)計(jì)，對(duì)三相材料聲子晶體進(jìn)行系統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是非常必要的。

為此，利用遺傳算法對(duì)二維三相聲子晶體進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。通過引入改進(jìn)的二進(jìn)制變量[20]以描述三相材料單胞，并分別給出了面內(nèi)模態(tài)、面外模態(tài)和混合模態(tài)3個(gè)拓?fù)鋬?yōu)化算例。以期為二維多相聲子晶體的設(shè)計(jì)及多目標(biāo)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 聲子晶體拓?fù)鋬?yōu)化理論

1.1 彈性波基本方程

考慮由不同的各向同性材料構(gòu)成的二維聲子晶體，其彈性波方程可寫為[21,26]

(1)

式(1)中：u=(ux,uy,uz)和r=(x,y,z)分別為位移矢量和位置矢量；λ、μ為拉梅常數(shù)；ρ為密度；ω和分別為角頻率和矢量微分算子。

若假設(shè)彈性波在xy平面內(nèi)傳播，可將此調(diào)和彈性波方程分解為面內(nèi)混合模態(tài)和面外剪切模態(tài)兩種形式，分別為

i=x,y

(2)

(3)

式中：xy平面的矢量微分算子T=(?/?x,?/?y)；xy平面的位移矢量uT=(ux,uy)。

1.2 帶隙結(jié)構(gòu)計(jì)算

在求解波動(dòng)方程時(shí)，由于聲子晶體的周期性，其有限元計(jì)算可在一個(gè)周期性單胞內(nèi)進(jìn)行，如圖1所示。其位移矢量滿足周期系統(tǒng)的Bloch定理。

u(r)=eikruk(r)

(4)

式(4)中：uk(r)為位置矢量r的周期性函數(shù)；其中k=(kx,ky)為波矢量。

由于對(duì)稱性，只需沿不可約布里淵區(qū)的邊界(M→?！鶻→M)掃掠即可。利用有限元軟件求解波動(dòng)方程[式(2)、式(3)]時(shí)，波動(dòng)方程可離散成廣義的特征值方程：

[K(k)-ω2M]U=0

(5)

式(5)中：U為特征矢量；K和M分別為周期性單胞的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。應(yīng)用COMSOL有限元軟件，可以快速解決此特征值問題。

1.3 多相材料的遺傳算法

如圖1所示，聲子晶體的拓?fù)鋬?yōu)化問題通常會(huì)轉(zhuǎn)化為離散網(wǎng)格中填充不同材料的過程。遺傳算法的染色體由1和0組成，恰好可對(duì)應(yīng)兩種材料，因此在兩相材料的拓?fù)鋬?yōu)化問題中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[21,27]，如“1”表示一種材料，而“0”表示另一種材料，但在多相材料的設(shè)計(jì)中將不再適用。為此，引入二元對(duì)變量：

(6)

則一個(gè)由l組材料組成的單胞，可以表示為長度2l的染色體表示向量：

a=[(x1,y1),(x2,y2),…，(xl,yl)]

(7)

定義二元對(duì)變量的和為

(8)

因此，單胞的材料分布可由向量b=(b1,b2,…，bl)表示。

對(duì)圖1所示的方形單胞，可將其劃分為N×N個(gè)有限單元，從而產(chǎn)生包含N×N個(gè)元素的邏輯矩陣。若考慮1/8對(duì)稱的情況，則只需分析圖示三角形的不可約布里淵區(qū)內(nèi)的元素，即向量b中元素個(gè)數(shù)為(N/2×N/2)/2+N/4。聯(lián)立式(6)～式(8)，即可將任意染色體a轉(zhuǎn)化為真實(shí)的單胞構(gòu)型，從而計(jì)算其帶隙性質(zhì)并利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖1 1/8對(duì)稱的聲子晶體單胞像素結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The sketch of one-eighth symmetrical unit cell with pixel-filling method

2 算例分析

選取3種材料：0為鋁、1為環(huán)氧樹脂、2為金屬鎢。材料參數(shù)如表1所示。單胞尺寸為0.02 m，取N=40，則染色體的長度為420。相應(yīng)的，遺傳算法的種群大小Np=60,交叉率Pc=0.9, 突變率Pm=0.1。

表1 組分材料參數(shù)Table 1 Parameters of the component materials

為了更方便地討論結(jié)構(gòu)參數(shù)與頻率的關(guān)系，與文獻(xiàn)[28]類似，取歸一化頻率進(jìn)行分析，其表達(dá)式為

Ω=ωa/2πC0

(9)

在所有算例中，選取最大相對(duì)帶寬[15,20,21-28]作為優(yōu)化目標(biāo)：

(10)

式(10)中：min和max分別表示第n階頻率的最小值和第n+1階頻率的最大值。

2.1 面內(nèi)模態(tài)

因篇幅有限，并未給出所有各階帶隙的優(yōu)化結(jié)果，而是直接給出最大的相對(duì)帶寬。圖2(a)為最優(yōu)的3×3單胞拓?fù)錁?gòu)型。從構(gòu)型上來看，其拓?fù)涮卣髋c文獻(xiàn)[19,21,28-29]中的結(jié)果類似，表現(xiàn)為模量和密度都很大的散射體嵌入到模量和密度較小的基體中，打開了基于Brugg散射機(jī)制的帶隙。這意味著盡管局域共振型的聲子晶體具有產(chǎn)生較低頻率帶隙的特點(diǎn)，但在寬度上稍有欠缺。鐘會(huì)林[28]對(duì)局域共振型的聲子晶體進(jìn)行了尺寸優(yōu)化，得到的最大相對(duì)帶寬為0.596。

橙色部分表示環(huán)氧樹脂；藍(lán)色部分表示鋁；灰色部分表示鎢圖2 面內(nèi)模態(tài)下的優(yōu)化構(gòu)型及帶隙結(jié)構(gòu)Fig.2 Optimized unit cell and its band gap for the in-plane mode

由圖2(b)可以看出，最優(yōu)構(gòu)型的最大相對(duì)帶寬出現(xiàn)在第三帶隙，達(dá)到了1.189，遠(yuǎn)大于兩相材料的結(jié)果，文獻(xiàn)[20]中的相對(duì)帶隙寬度為0.87，文獻(xiàn)[21]中的結(jié)果為0.455、0.902，分別對(duì)應(yīng)于鉛/環(huán)氧體系和金/環(huán)氧體系。

2.2 面外模態(tài)

與2.1節(jié)類似，針對(duì)面外剪切模態(tài)的也僅給出最大相對(duì)帶寬的設(shè)計(jì)結(jié)果，如圖3所示。圖3(a)為最優(yōu)的3×3單胞拓?fù)錁?gòu)型。從圖3可以看出，單胞中散射體的形狀變得更為復(fù)雜，為典型的復(fù)式晶格結(jié)構(gòu)。這是由于對(duì)于聲子晶體的面外模態(tài)，帶隙的階數(shù)越低時(shí)，對(duì)應(yīng)的單胞晶格越簡單[21,29]。在本例中，最大的相對(duì)帶寬位于第7帶隙，達(dá)到了1.077。

橙色部分表示環(huán)氧樹脂；藍(lán)色部分表示鋁；灰色部分表示鎢圖3 面外模態(tài)下的優(yōu)化構(gòu)型及帶隙結(jié)構(gòu)Fig.3 Optimized unit cell and its band gap diagram for the out-of-plane mode

2.3 全波混合模態(tài)

由2.1、2.2節(jié)可以看出，面內(nèi)或面外模態(tài)的單胞形狀截然不同，因此有必要對(duì)同時(shí)考慮面內(nèi)和面外禁帶的全波混合模態(tài)進(jìn)行研究。圖4(a)、圖4(b)分別為全波混合模態(tài)下最大相對(duì)帶寬的設(shè)計(jì)構(gòu)型與帶隙圖，得到帶寬為1.01。從構(gòu)型上來看，其拓?fù)涮卣髋c圖2(a)類似，同樣表現(xiàn)為模量和密度都很大的散射體嵌入到模量和密度較小的基體中，但散射體的尺寸較圖2(a)小，相應(yīng)的其面內(nèi)帶隙的上限降至0.7左右；與文獻(xiàn)[29]相比較，四角的鋁延伸并相互連接，提高了環(huán)氧樹脂包覆層的剛度，使得面外模態(tài)的第一帶隙得到了大幅下降，并與面內(nèi)模態(tài)的第3帶隙重合，從而得到了寬頻帶的全波帶隙。

橙色部分表示環(huán)氧樹脂；藍(lán)色部分表示鋁；灰色部分表示鎢圖4 全波混合模態(tài)下的優(yōu)化構(gòu)型及帶隙結(jié)構(gòu)Fig.4 Optimized unit cell and its band gap diagram for the full wave mixed mode

3 結(jié)論

采用遺傳算法和有限元技術(shù)，通過引入“二元對(duì)”變量對(duì)二維多相聲子晶體進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到了面內(nèi)模態(tài)、面外模態(tài)和全波混合模態(tài)所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)單胞構(gòu)型。優(yōu)化算例展現(xiàn)了良好的帶隙特征，并得到以下結(jié)論。

(1)相比兩相材料，三相聲子晶體在面內(nèi)模態(tài)、面外模態(tài)和全波混合模態(tài)下均具有更好的帶隙特性，能夠在較低的頻率打開較寬的禁帶帶隙。

(2)盡管局域共振易于打開低頻下的帶隙，但并不能保證得到最大的相對(duì)帶隙。

(3)針對(duì)低頻帶隙的設(shè)計(jì)目標(biāo)，其對(duì)應(yīng)的帶隙應(yīng)為低階帶隙，此時(shí)得到的單胞結(jié)構(gòu)形狀一般較為簡單，更易于優(yōu)化結(jié)果的制備。結(jié)果證明提出的方法是可行的。