于平超，陳果，王存，楊默晗

1. 南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院，南京 211106 2. 北京動(dòng)力機(jī)械研究所，北京 100074

由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)氣動(dòng)效率極高要求，其轉(zhuǎn)靜件間隙不斷減小，同時(shí)航空發(fā)動(dòng)機(jī)在全壽命周期內(nèi)遭遇的載荷工況又極為復(fù)雜，導(dǎo)致碰摩一直是航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的常見現(xiàn)象。轉(zhuǎn)靜件碰摩會(huì)引發(fā)轉(zhuǎn)子劇烈振動(dòng)以及轉(zhuǎn)子軸系內(nèi)部的交變應(yīng)力，進(jìn)而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子軸系的疲勞斷裂，危及轉(zhuǎn)子乃至整機(jī)的安全運(yùn)行，是影響航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)可靠性的關(guān)鍵問題之一。

當(dāng)碰摩發(fā)生時(shí)，會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生沖擊、摩擦以及約束等多種物理效應(yīng)[1-2]，進(jìn)而帶來轉(zhuǎn)子復(fù)雜的物理現(xiàn)象，為此國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了廣泛的研究。Muszynska[3]對(duì)轉(zhuǎn)靜子局部碰摩問題進(jìn)行了研究，表明系統(tǒng)存在階次為1/2、1/3、1/4的次諧波振動(dòng)。Chu和Zhang[4]對(duì)碰摩轉(zhuǎn)子的分岔和穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，揭示了轉(zhuǎn)子動(dòng)力響應(yīng)從穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)過倍周期分岔、擦邊分岔等變?yōu)閿M周期和混沌響應(yīng)的過程。Chen等[5]針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)系統(tǒng)碰摩，建立了梁?jiǎn)卧麢C(jī)模型，分析了碰摩剛度比、不平衡量等參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)、分岔以及混沌特性的影響。Ma等[6-8]建立了單點(diǎn)、多點(diǎn)以及全周碰摩形式的轉(zhuǎn)子模型，研究了不同碰摩形式對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)頻響應(yīng)和軸心軌跡的影響。

碰摩除對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生非線性激勵(lì)作用外，還對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生約束效應(yīng)。約束效應(yīng)，即轉(zhuǎn)子與靜子一直接觸或者持續(xù)間斷接觸而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度增加的現(xiàn)象，也稱剛化效應(yīng)[9]。利用該現(xiàn)象，Chu和Lu[10]建立了碰摩過程中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度的參數(shù)識(shí)別方法，并將其應(yīng)用于碰摩轉(zhuǎn)子的故障診斷。Wang等[11]分析了碰摩約束對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)特性的影響，指出附加約束剛度使轉(zhuǎn)子共振區(qū)間擴(kuò)張，并出現(xiàn)不穩(wěn)定接觸區(qū)域。

由于碰摩約束導(dǎo)致的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛度變化，會(huì)使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)頻率/振型改變，然而以往碰摩研究中很少關(guān)注碰摩轉(zhuǎn)子這類強(qiáng)非線性系統(tǒng)的模態(tài)特性。Hong等[12]結(jié)合Floquet理論和Hill方法建立了間歇碰摩轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的計(jì)算方法，分析了碰摩約束剛度時(shí)變對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率和穩(wěn)定性的影響，但該方法需事先假設(shè)碰摩過程，局限性較大。陳艷華和江俊[13]首次將非線性模態(tài)理論引入到碰摩轉(zhuǎn)子中，通過解析方法推導(dǎo)獲得了碰摩轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率，其分析思路為研究碰摩約束對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)的影響提供了借鑒。在此之上，Hong等[14]通過半解析的諧波平衡法建立了碰摩轉(zhuǎn)子模態(tài)的計(jì)算方法，分析了碰摩約束轉(zhuǎn)子的模態(tài)特征和穩(wěn)定性演化過程。然而，目前關(guān)于碰摩轉(zhuǎn)子模態(tài)的研究?jī)H局限于單盤Jeffcott轉(zhuǎn)子這類簡(jiǎn)化系統(tǒng)，對(duì)于以航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子為代表的這類工程復(fù)雜柔性轉(zhuǎn)子，其不僅具有復(fù)雜質(zhì)量/剛度分布、陀螺效應(yīng)影響，同時(shí)工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)含多階彎曲模態(tài)[15]，碰摩約束對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響更加復(fù)雜。另一方面，工程中的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)往往需要大量自由度進(jìn)行描述[16]，這使得現(xiàn)有求解碰摩轉(zhuǎn)子非線性模態(tài)的解析或半解析方法無法勝任。

鑒于此，本文在非線性模態(tài)理論框架下，研究具有真實(shí)結(jié)構(gòu)特征的航空發(fā)動(dòng)機(jī)柔性轉(zhuǎn)子在碰摩約束下的模態(tài)特性。首先，針對(duì)柔性轉(zhuǎn)子復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征，基于梁?jiǎn)卧邢拊ń⒖紤]碰摩約束的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型；其次，結(jié)合頻域中自由度壓縮、諧波平衡思想以及時(shí)頻轉(zhuǎn)換技術(shù)等提出一套適用于含大規(guī)模自由度復(fù)雜轉(zhuǎn)子非線性模態(tài)的求解方法；最后，詳細(xì)分析碰摩約束對(duì)實(shí)際航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓柔性轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響規(guī)律。

1 考慮碰摩約束的柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示為典型高涵道比渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)低壓柔性轉(zhuǎn)子示意圖，轉(zhuǎn)子包含風(fēng)扇、多級(jí)增壓級(jí)及渦輪葉盤，并采用0-2-1三支點(diǎn)支承方案。由于葉盤、錐殼等結(jié)構(gòu)使用，轉(zhuǎn)子具有較為復(fù)雜的質(zhì)量/剛度分布。同時(shí)，此類轉(zhuǎn)子具有細(xì)長(zhǎng)軸段、懸臂大質(zhì)量/轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、長(zhǎng)跨度支承等結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，為典型弱剛度柔性轉(zhuǎn)子，工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)通常會(huì)有多階彎曲模態(tài)被激起。當(dāng)碰摩發(fā)生時(shí)，碰摩產(chǎn)生的約束剛度往往與轉(zhuǎn)子自身的橫向等效剛度相當(dāng)，這將導(dǎo)致柔性轉(zhuǎn)子多階模態(tài)均可能發(fā)生顯著變化。

圖1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓柔性轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of low-pressure flexible rotor structure in aero engines

1.1 柔性轉(zhuǎn)子的有限元建模方法

針對(duì)圖1所示的柔性轉(zhuǎn)子，建模的關(guān)鍵是準(zhǔn)確模擬其質(zhì)量/轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、橫向剛度沿軸向的分布特征，為此采用?；芰^強(qiáng)的有限元法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

本文基于梁?jiǎn)卧⒋祟愞D(zhuǎn)子的?；椒?，基本流程如下：首先基于低壓轉(zhuǎn)子的CAD模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化過程如圖2所示，忽略螺栓、篦齒等局部結(jié)構(gòu)，采用等截面直梁模擬軸段和鼓筒，變截面梁模擬錐殼，彈簧單元模擬支承。對(duì)于葉盤結(jié)構(gòu)，采用質(zhì)量單元模擬，保證質(zhì)量元的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與實(shí)際葉盤結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一致；值得說明的是，葉盤結(jié)構(gòu)也可采用梁?jiǎn)卧M，通過仔細(xì)劃分模擬葉盤結(jié)構(gòu)的梁?jiǎn)卧孛媸沟迷摬糠至簡(jiǎn)卧馁|(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與實(shí)際葉盤結(jié)構(gòu)一致即可。本文中，風(fēng)扇葉盤采用梁?jiǎn)卧M，其他葉盤結(jié)構(gòu)采用質(zhì)量元，最終建立的簡(jiǎn)化模型如圖3(a)所示。

圖2 轉(zhuǎn)子模型簡(jiǎn)化示意圖Fig.2 Simplification process of rotor model

其次，根據(jù)上述簡(jiǎn)化模型，在ANSYS中建立其有限元模型，梁?jiǎn)卧捎肂eam188單元，質(zhì)量單元為Mass21，彈簧單元為Combin14。梁?jiǎn)卧孛鎸傩院唾|(zhì)量單元實(shí)常數(shù)通過上述簡(jiǎn)化模型獲得，彈簧單元的實(shí)常數(shù)基于發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)際支承剛度獲得。所建立的有限元模型如圖3(b)所示，模型包含46個(gè)單元和40個(gè)節(jié)點(diǎn)，需要說明的是，梁?jiǎn)卧獙?shí)際為一維的中心線模型，圖3(b)是ANSYS中為了視覺效果而設(shè)置的截面顯示功能。

為了保證模型的精度，一方面在進(jìn)行結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化和網(wǎng)格劃分時(shí)，需要校核關(guān)鍵部件質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與真實(shí)值的誤差，以及軸段的等效剛度與真實(shí)值的誤差，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行適當(dāng)修正；另一方面，對(duì)于建立好的模型，也可以通過模態(tài)分析結(jié)果與試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果或者精細(xì)的實(shí)體有限元模型模態(tài)分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的精度。本文所建立模型與所方提供的實(shí)體模型模態(tài)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，所關(guān)心模態(tài)的誤差均在5%以下，滿足精度要求。

圖3 低壓柔性轉(zhuǎn)子的梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ虵ig.3 Beam element model of low-pressure flexible rotors

1.2 轉(zhuǎn)靜件碰摩約束模型

圖4所示為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)碰摩約束模型，當(dāng)轉(zhuǎn)子振幅超過轉(zhuǎn)靜間隙r0時(shí)，轉(zhuǎn)子與機(jī)匣發(fā)生碰摩，假設(shè)機(jī)匣剛度為kc，轉(zhuǎn)靜件之間的摩擦系數(shù)為μ，該截面p處轉(zhuǎn)子位移為xp和yp，令zp=xp+iyp，i為復(fù)數(shù)，則碰摩對(duì)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的附加剛度為

k′=H(|zp|-r0)kc(1+isign(vrel)μ)·

(1-r0/|zp|)

(1)

式中：vrel=ω|zp|+Ω·rp,bd為碰摩點(diǎn)相對(duì)速度，ω為進(jìn)動(dòng)角速度，Ω為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度；rp,bd為截面p處的葉盤半徑；H(·)為Heaviside函數(shù)；sign(·)為符號(hào)函數(shù)，表達(dá)式為

(2)

(3)

將碰摩剛度分解到x和y方向，可以獲得截面p處由碰摩產(chǎn)生的附加剛度矩陣：

(4)

可以看出，碰摩附加剛度矩陣為節(jié)點(diǎn)自由度xp和yp的非線性函數(shù)，且其在非對(duì)角線元素上存在非0項(xiàng)，即碰摩約束引起x和y向的交叉耦合。根據(jù)節(jié)點(diǎn)自由度編號(hào)將各截面處由碰摩產(chǎn)生的附加剛度矩陣進(jìn)行組集，便可得到整體的碰摩附加剛度矩陣K′。

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩約束模型Fig.4 Rubbing constraint model of rotor system

1.3 考慮碰摩約束的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)1.1節(jié)柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模方法，可在ANSYS獲得柔性轉(zhuǎn)子有限元模型，并將其質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣及陀螺矩陣導(dǎo)出。進(jìn)一步在對(duì)應(yīng)自由度位置處引入1.2節(jié)的轉(zhuǎn)靜碰摩約束模型，可獲得含碰摩約束的柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程：

K′(u)u(t)=0

(5)

式中：M、C、G、K、u分別為質(zhì)量、阻尼、陀螺、剛度矩陣和位移向量；K′(u)為附加剛度矩陣，其為轉(zhuǎn)子自由度的非線性函數(shù)矩陣。

2 基于諧波平衡的非線性模態(tài)求解方法

2.1 諧波平衡法原理

非線性模態(tài)由Rosenberg首次提出，將其定義為無阻尼非線性系統(tǒng)的一種同步周期振子[17]，此后為了能夠考慮系統(tǒng)阻尼耗散，Krack[18]、Laxalde[19]等學(xué)者將線性系統(tǒng)復(fù)模態(tài)概念進(jìn)一步擴(kuò)展，提出了復(fù)非線性模態(tài)概念。根據(jù)復(fù)非線性模態(tài)概念，動(dòng)力學(xué)方程式(5)的特征值為

(6)

式中：ω0為特征頻率；ξ為模態(tài)阻尼比。此處假設(shè)模態(tài)阻尼比是與頻率無關(guān)的。

根據(jù)非線性模態(tài)定義，非線性模態(tài)具有周期運(yùn)動(dòng)特性，故可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)形式，但由于系統(tǒng)存在阻尼，需引入慢變的衰減項(xiàng)e-kβt，其中，k=1,2，…,l表示諧波階次，l為諧波系數(shù)總數(shù)，t為時(shí)間，則非線性模態(tài)運(yùn)動(dòng)表示為

(7)

該非線性模態(tài)運(yùn)動(dòng)的基頻即為λ=-β+iω，A0為靜力項(xiàng)，Ak、Bk分別為正弦和余弦展開項(xiàng)的系數(shù)向量。若忽略靜力項(xiàng)并僅保留k=1項(xiàng)，上述解便退化為線性阻尼系統(tǒng)的指數(shù)解假設(shè)；若系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，即不存在阻尼耗散，則慢變衰減項(xiàng)e-kβt=1。

對(duì)于碰摩約束項(xiàng)g(u)=K′(u)u(t)，由于K′(u)為位移u(t)的非線性函數(shù)，故該項(xiàng)也可以展開為傅里葉形式，如式(8)所示：

Pksinkωt)

(8)

式中：P0為碰摩載荷的傅里葉展開常數(shù)項(xiàng)；Pk和Qk為碰摩載荷的傅里葉展開正弦和余弦分量。

將式(6)～式(8)代入到式(5)中，并分別令方程的e-kβtsinkωt和e-kβtcoskωt等于0，整理得到代數(shù)方程：

(9)

KA0+P0=0

(10)

其中:D=C+G。將各個(gè)階次的平衡方程進(jìn)行組裝，得到如下的代數(shù)方程組：

(11)

其中：

Λk=

H(Z,ω,β)=Λ(ω,β)Z+b(Z,ω)=0

(12)

其中：

2.2 自由度縮減方法

由于柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有較多的自由度，因此式(12)所示的非線性代數(shù)方程通常具有較高規(guī)模，這將導(dǎo)致代數(shù)方程在求解過程中存在求解效率低、難于收斂問題。為此，給出如下的自由度縮減方法。假設(shè)系統(tǒng)非線性自由度個(gè)數(shù)為m，線性自由度個(gè)數(shù)為s(m+s=N，N為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自由度總數(shù))。對(duì)于式(13)所示的非線性代數(shù)方程組，按線性和非線性自由度進(jìn)行分塊：

(13)

其中：

式(13)進(jìn)行展開，可得：

ΛqqZq+ΛqpZp+Rq=0

(14)

ΛpqZq+ΛppZp=0

(15)

根據(jù)式(15)，得到Zp的表達(dá)式為

(16)

將式(16)代入(14)，得到：

(17)

2.3 數(shù)值求解方法

對(duì)前述非線性代數(shù)方程組進(jìn)行求解，還需解決如下兩方面問題，其一是由于特征值λ=-β+iω的引入，使得非線性代數(shù)方程的待求變量比方程數(shù)量多2，為此，可借鑒線性系統(tǒng)模態(tài)歸一化的思想，引入附加方程，從而使代數(shù)方程組靜定。選取第m個(gè)自由度的一次諧波系數(shù)進(jìn)行歸一化處理，即令：

(18)

第2個(gè)問題是如何根據(jù)位移u(t)的傅里葉系數(shù)獲得碰摩項(xiàng)g(u)=K′(u)u(t)的傅里葉系數(shù)，此處通過時(shí)頻轉(zhuǎn)換技術(shù)予以計(jì)算，如式(19)所示，通過位移的各項(xiàng)諧波系數(shù)，可以確定位移的時(shí)域表達(dá)，根據(jù)時(shí)域中碰摩約束項(xiàng)與位移間的顯示關(guān)系，確定時(shí)域中的碰摩約束項(xiàng)表達(dá)，便可以得到碰摩約束項(xiàng)的各項(xiàng)諧波系數(shù)。變換時(shí)，傅里葉系數(shù)與其時(shí)域間的關(guān)系通過離散傅里葉變換與逆變換實(shí)現(xiàn)。

(19)

最終，獲得如下的非線性代數(shù)方程：

(20)

X(k+1)=X(k)-F′(X(k))-1F(X(k))

(21)

計(jì)算時(shí)，取線性模態(tài)分析結(jié)果作為初值X(0)，F(xiàn)′(X(k))為向量函數(shù)的Jacobi矩陣，通過有限差分法計(jì)算得到。

2.4 計(jì)算流程

結(jié)合第1節(jié)建模及本節(jié)的計(jì)算方法，本文提出求解航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性模態(tài)的一般流程，如圖5所示。

圖5 航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子非線性模態(tài)分析流程Fig.5 Modal analysis process for rotor system in aero-engines

首先結(jié)合CAD簡(jiǎn)化模型獲得轉(zhuǎn)子截面參數(shù)、質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)等參數(shù)后，基于ANSYS軟件建立其梁?jiǎn)卧Ｐ?，而后?dǎo)出HBMAT格式的動(dòng)力學(xué)矩陣(質(zhì)量矩陣、剛度矩陣等)以及Mapping映射文件(含自由度編號(hào)信息)；在MATLAB文件中，首先根據(jù)HBMAT格式的動(dòng)力學(xué)矩陣和Mapping文件獲得滿秩格式的動(dòng)力學(xué)矩陣，根據(jù)節(jié)點(diǎn)自由度編號(hào)引入碰摩約束項(xiàng)，建立考慮碰摩約束的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)一步結(jié)合本文建立的轉(zhuǎn)子非線性模態(tài)計(jì)算方法，獲得碰摩約束轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性。

3 計(jì)算結(jié)果與討論

3.1 無碰摩時(shí)轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性

針對(duì)圖3的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，本節(jié)分析其在碰摩約束下的非線性模態(tài)特性。首先了解該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在無碰摩狀態(tài)下的固有特性，根據(jù)第1節(jié)建立的轉(zhuǎn)子模型，基于ANSYS軟件對(duì)不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子進(jìn)行線性特征值計(jì)算，得到各轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子線性模態(tài)頻率，圖6和圖7所示分別為相應(yīng)的坎貝爾圖及兩階正進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速下的振型，結(jié)果表明：該轉(zhuǎn)子在工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)存在兩階正/反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速，一階正/反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速為2 720 r/min和1 480 r/min；二階正/反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速為4 660 r/min 和2 210 r/min。對(duì)應(yīng)振型分別為轉(zhuǎn)子一階彎曲和渦輪平動(dòng)振型。

圖6 無碰摩時(shí)柔性轉(zhuǎn)子的坎貝爾圖Fig.6 Campbell diagram of flexible rotor without rub-impact

圖7 兩階臨界轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子振型Fig.7 Mode shapes at two order critical speeds

3.2 碰摩影響下轉(zhuǎn)子模態(tài)特性

考慮風(fēng)扇碰摩對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響，給定如下計(jì)算參數(shù)：機(jī)匣剛度kc=107N/m，摩擦系數(shù)μ=0.2，轉(zhuǎn)靜間隙r0=0.2 mm，葉盤直徑800 mm，轉(zhuǎn)子1#支點(diǎn)存在阻尼，值為10 000 N·s/m，同時(shí)假設(shè)轉(zhuǎn)子工作于巡航轉(zhuǎn)速3 600 r/min。由于非線性模態(tài)具有能量相關(guān)性，需考慮不同振動(dòng)狀態(tài)下轉(zhuǎn)子模態(tài)，本文通過風(fēng)扇幅值大小來反映轉(zhuǎn)子振動(dòng)水平，在2.3節(jié)的模態(tài)歸一化中給定不同的風(fēng)扇幅值，而后基于2.4節(jié)計(jì)算流程獲得不同風(fēng)扇幅值下轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率，結(jié)果如圖8所示。本文在分析中主要考慮工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的兩階模態(tài)，圖中結(jié)果可得出如下結(jié)論：

1) 轉(zhuǎn)子振動(dòng)水平較小時(shí)，風(fēng)扇幅值小于轉(zhuǎn)靜間隙，未發(fā)生碰摩，通過本文非線性模態(tài)求解方法計(jì)算得到的模態(tài)頻率與圖6中ANSYS線性特征值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，2種方法計(jì)算結(jié)果相同，側(cè)面驗(yàn)證了本文建立的非線性模態(tài)計(jì)算方法的有效性。

2) 當(dāng)風(fēng)扇幅值超過轉(zhuǎn)靜間隙時(shí)，風(fēng)扇機(jī)匣約束使得轉(zhuǎn)子各階正/反進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率增加，增加趨勢(shì)呈現(xiàn)逐漸變緩趨勢(shì)，當(dāng)風(fēng)扇振幅達(dá)到一定程度，即轉(zhuǎn)子振動(dòng)能量足夠高時(shí)，轉(zhuǎn)子各階模特頻率趨近于定值?？傮w而言，考慮碰摩約束影響時(shí)轉(zhuǎn)子模特頻率具有區(qū)間分布特征，不同振動(dòng)狀態(tài)下轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率均位于該區(qū)間內(nèi)。

圖8 風(fēng)扇碰摩對(duì)兩階模態(tài)頻率的影響(巡航轉(zhuǎn)速3 600 r/min)Fig.8 Influence of fan rubbing on two order modal frequencies (Operating speed 3 600 r/min)

表1 不同風(fēng)扇相對(duì)幅值下轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率的變化率

以上分析了碰摩約束轉(zhuǎn)子在特定轉(zhuǎn)速下的模態(tài)，針對(duì)不同轉(zhuǎn)速，分別計(jì)算轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率隨振幅變化曲線，提取各轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率區(qū)間最小值和最大值，如圖9所示，進(jìn)而可獲得碰摩約束轉(zhuǎn)子的各階臨界轉(zhuǎn)速。結(jié)果表明：風(fēng)扇碰摩下，轉(zhuǎn)子一階正/反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間分別為[2 720,3 460]r/min和[1 480,1 810]r/min；二階正/反進(jìn)動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速區(qū)間分別為[4 660,4 683]r/min和[2 210,2 260]r/min，風(fēng)扇振動(dòng)為主的一階臨界轉(zhuǎn)速受風(fēng)扇碰摩約束改變較為顯著，使得該階臨界轉(zhuǎn)速相對(duì)巡航轉(zhuǎn)速裕度顯著降低。航空發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)氣動(dòng)效率的高要求，葉尖間隙通常接近零間隙設(shè)計(jì)，工作時(shí)碰摩時(shí)常發(fā)生，臨界轉(zhuǎn)速分析結(jié)果說明實(shí)際工程中考慮碰摩約束帶來的轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速及其裕度是極其必要的。

圖9 風(fēng)扇碰摩約束下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)坎貝爾圖Fig.9 Campbell diagram of rotor system with fan rub-impact

圖10所示為碰摩約束對(duì)轉(zhuǎn)子振型的影響，圖中碰摩約束下的轉(zhuǎn)子振型均取模態(tài)頻率接近極限值(風(fēng)扇振幅2 mm)時(shí)的結(jié)果，同時(shí)為便于對(duì)比，將無碰摩時(shí)和碰摩時(shí)的振型均作振幅歸一化，兩階振型均取遠(yuǎn)離風(fēng)扇碰摩位置的渦輪作為基準(zhǔn)進(jìn)行歸一化。結(jié)果表明：碰摩對(duì)轉(zhuǎn)子振型產(chǎn)生一定影響，對(duì)于風(fēng)扇振動(dòng)為主的一階模態(tài)，風(fēng)扇碰摩約束可使得風(fēng)扇位置的相對(duì)振動(dòng)幅值有所降低，即抑制了風(fēng)扇振動(dòng)；而對(duì)于渦輪振動(dòng)為主的二階模態(tài)，風(fēng)扇碰摩約束使得風(fēng)扇相對(duì)振動(dòng)略有增加，二階振型存在由渦輪振動(dòng)向低壓轉(zhuǎn)子二階彎曲演化的趨勢(shì)，但總體而言風(fēng)扇碰摩約束對(duì)二階振型的影響相對(duì)較小。

圖10 風(fēng)扇碰摩約束對(duì)轉(zhuǎn)子振型的影響Fig.10 Influence of fan rub-impact on rotor modal shapes

根據(jù)2.1節(jié)，轉(zhuǎn)子模態(tài)阻尼對(duì)應(yīng)著特征值實(shí)部，其決定著模態(tài)運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的衰減速率。對(duì)于大多數(shù)線性系統(tǒng)，模態(tài)阻尼通常為正，系統(tǒng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間衰減，而對(duì)于非線性系統(tǒng)，非線性力的引入可能導(dǎo)致模態(tài)阻尼為負(fù)，因而其模態(tài)并不總是穩(wěn)定的。圖11所示為轉(zhuǎn)子各階模態(tài)阻尼比隨轉(zhuǎn)子振動(dòng)幅值的變化曲線，結(jié)果表明：未碰摩時(shí)，轉(zhuǎn)子各階模態(tài)阻尼比為正，其原因是由于1#支點(diǎn)存在阻尼；當(dāng)風(fēng)扇振幅超過轉(zhuǎn)靜間隙時(shí)，轉(zhuǎn)靜件發(fā)生碰摩，各階模態(tài)阻尼比將發(fā)生變化，對(duì)于正進(jìn)動(dòng)模態(tài)，其模態(tài)阻尼比隨振幅增加，而反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼則隨振幅減小，當(dāng)碰摩足夠劇烈時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的

反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼比為負(fù)，此時(shí)反進(jìn)動(dòng)模態(tài)不穩(wěn)定。正反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼的變化機(jī)理主要與碰摩接觸點(diǎn)處摩擦力做功有關(guān)[14]，對(duì)于反進(jìn)動(dòng)模態(tài)，摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模態(tài)運(yùn)動(dòng)做正功，增加轉(zhuǎn)子能量，導(dǎo)致反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼比下降，當(dāng)摩擦力輸入能量超過轉(zhuǎn)子支點(diǎn)阻尼耗散能力時(shí)，轉(zhuǎn)子等效模態(tài)阻尼比為負(fù)，此時(shí)模態(tài)失穩(wěn)。需要說明的是，由反進(jìn)動(dòng)模態(tài)不穩(wěn)定誘發(fā)的轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)失穩(wěn)現(xiàn)象已在簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)子試驗(yàn)器上得到了證實(shí)[3]。然而，在實(shí)際航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子中，反進(jìn)動(dòng)模態(tài)不穩(wěn)定導(dǎo)致的轉(zhuǎn)子振動(dòng)失穩(wěn)卻鮮有出現(xiàn)，主要原因可能在于航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子中通常具有擠壓油膜阻尼器，同時(shí)轉(zhuǎn)子中大量連接界面的存在等，使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有足夠的相對(duì)阻尼，因此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)能量能夠得到有效的耗散。

3.3 碰摩參數(shù)的影響規(guī)律

實(shí)際工程中，航空發(fā)動(dòng)機(jī)風(fēng)扇機(jī)匣可能采用不同材質(zhì)并內(nèi)涂不同材質(zhì)/硬度的涂層[20]，這對(duì)機(jī)匣自身剛度以及葉片/機(jī)匣之間的摩擦系數(shù)有明顯影響。因此，本節(jié)重點(diǎn)分析機(jī)匣剛度和摩擦系數(shù)對(duì)碰摩轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響。

3.3.1 機(jī)匣剛度

機(jī)匣剛度分別取5×106N/m、1×107N/m和2×107N/m，其他參數(shù)與3.1節(jié)相同。計(jì)算得到不同機(jī)匣剛度下，轉(zhuǎn)子兩階正/反進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率隨振幅變化曲線，如圖12所示?？梢钥闯?，隨機(jī)匣剛度增加，轉(zhuǎn)子兩階正/反進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率均增加，其原因是在相同振動(dòng)狀態(tài)下，機(jī)匣剛度越高，其對(duì)

圖12 機(jī)匣剛度對(duì)模態(tài)頻率的影響Fig.12 Influence of casing stiffness on modal frequency

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的約束作用越強(qiáng)，導(dǎo)致模態(tài)頻率增加的越高。另外，從機(jī)匣剛度對(duì)兩階模態(tài)頻率影響的相對(duì)變化而言，如表2所示，一階模態(tài)頻率對(duì)碰摩剛度變化更為敏感，而二階模態(tài)頻率對(duì)碰摩剛度變化則極不敏感，以兩階正進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率為例，當(dāng)碰摩剛度由5×106N/m增加至2×107N/m，一階正進(jìn)動(dòng)

表2 不同碰摩剛度下柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)頻率變化率(風(fēng)扇幅值2 mm)

模態(tài)頻率變化率可由8.94%增加至31.49%；而二階正進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率變化率由0.06%增加至0.19%。

由于反進(jìn)動(dòng)模態(tài)存在失穩(wěn)的可能，因此分析機(jī)匣剛度對(duì)反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼的影響，如圖13所示，可以看出：隨機(jī)匣剛度增加，反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼比等于0的臨界振幅逐漸減小，表明機(jī)匣剛度越高，碰摩時(shí)反進(jìn)動(dòng)模態(tài)越容易失穩(wěn)。

圖14所示為不同機(jī)匣剛度下低壓轉(zhuǎn)子的振型，不同機(jī)匣剛度下轉(zhuǎn)子振型均相對(duì)渦輪進(jìn)行了振幅歸一化處理。結(jié)果表明：① 對(duì)于風(fēng)扇振動(dòng)為主的一階彎曲振型，隨著機(jī)匣剛度增加，風(fēng)扇位置的相對(duì)振幅逐漸增加，表明機(jī)匣剛度越高，對(duì)風(fēng)扇振動(dòng)的抑制作用愈發(fā)明顯；② 對(duì)于渦輪振動(dòng)為主的二階振型，隨著機(jī)匣剛度增加，風(fēng)扇相對(duì)振幅有增加的趨勢(shì)，低壓轉(zhuǎn)子向二階彎曲振型演化的趨勢(shì)愈發(fā)顯著。

圖14 機(jī)匣剛度對(duì)模態(tài)振型的影響Fig.14 Influence of casing stiffness on modal shapes

3.3.2 摩擦系數(shù)

本節(jié)分析摩擦系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的影響，如前所述，風(fēng)扇碰摩對(duì)轉(zhuǎn)子一階模態(tài)頻率的影響顯著高于二階模態(tài)，故此處僅一階反進(jìn)動(dòng)模態(tài)為例，給出計(jì)算結(jié)果。圖15所示為摩擦系數(shù)取0.1、 0.2和0.4時(shí)，一階反進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率和阻尼變化曲線。結(jié)果表明，摩擦系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率的影響極小，表明轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率主要取決于接觸點(diǎn)處法向約束，而對(duì)切向的摩擦作用極不敏感；而對(duì)于反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼，隨摩擦系數(shù)增加，轉(zhuǎn)子反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼比顯著下降，同時(shí)模態(tài)阻尼比等于0的臨界振幅逐漸減小，表明摩擦系數(shù)越高，反進(jìn)動(dòng)模態(tài)越容易失穩(wěn)。

圖15 摩擦系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子一階反進(jìn)動(dòng)模態(tài)的影響Fig.15 Influence of friction coefficient on first order backward whirl mode

4 結(jié) 論

1) 本文針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)中具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)和質(zhì)量/剛度分布的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，結(jié)合梁?jiǎn)卧ㄌ岢隽丝煽紤]碰摩約束的復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法；將諧波平衡思想與頻域的自由度縮減技術(shù)結(jié)合，建立了適用于復(fù)雜非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性模態(tài)特性的求解方法；基于ANSYS和MATLAB平臺(tái)，將建模方法與求解方法融合，提出了可適用于工程中含大規(guī)模自由度的非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)特性的計(jì)算分析流程。建模及求解方法的適用性在某航空發(fā)動(dòng)機(jī)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性模態(tài)分析中得到了驗(yàn)證。

2) 碰摩約束使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)頻率/臨界轉(zhuǎn)速顯著增加，且轉(zhuǎn)子振幅越高，機(jī)匣對(duì)轉(zhuǎn)子約束作用越強(qiáng)，模態(tài)頻率也越高，針對(duì)文中所分析的發(fā)動(dòng)機(jī)柔性轉(zhuǎn)子對(duì)象及參數(shù)，風(fēng)扇碰摩可使一階彎曲型的正/反進(jìn)動(dòng)模態(tài)頻率最高增加約16%和29%。但需要注意的是，碰摩約束轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率始終位于特定區(qū)間范圍內(nèi)。此外，風(fēng)扇碰摩同時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)子一階彎曲型的模態(tài)振型產(chǎn)生一定抑制作用。陀螺效應(yīng)、轉(zhuǎn)子振型以及機(jī)匣剛度對(duì)碰摩約束帶來的轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率變化有較為顯著的影響，但摩擦系數(shù)的影響可以忽略。

3) 由于碰摩點(diǎn)處切向摩擦力做功影響，碰摩對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)阻尼亦會(huì)產(chǎn)生顯著影響，轉(zhuǎn)子各階正進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼始終大于0，而反進(jìn)動(dòng)模態(tài)阻尼在碰摩較為劇烈時(shí)可能小于0，表明碰摩轉(zhuǎn)子的正進(jìn)動(dòng)模態(tài)始終穩(wěn)定，而反進(jìn)動(dòng)模態(tài)存在失穩(wěn)的可能。結(jié)合模態(tài)阻尼變化機(jī)理及關(guān)鍵參數(shù)影響規(guī)律，實(shí)際中通過擠壓油膜阻尼器提升轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的阻尼耗散能力、抑制碰摩程度等方式均可降低反進(jìn)動(dòng)模態(tài)失穩(wěn)的可能性。

與線性模態(tài)類似，非線性模態(tài)為非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一種固有特性，必然在理解轉(zhuǎn)子非線性振動(dòng)響應(yīng)方面能發(fā)揮重要作用。本文揭示了碰摩約束對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)低壓轉(zhuǎn)子非線性模態(tài)的影響，進(jìn)一步，碰摩轉(zhuǎn)子的非線性模態(tài)與其振動(dòng)響應(yīng)之間的影響關(guān)系如何，例如非線性模態(tài)在何種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下被激起,不同階次的非線性模態(tài)對(duì)碰摩轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為的演化有何貢獻(xiàn),這些理論問題將在未來予以重點(diǎn)關(guān)注。