盧 霖

(湖南第一師范學院 數(shù)學與計算科學學院， 湖南 長沙 410205)

常微分方程是數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)的核心專業(yè)課程，也是一門理論與實際相結(jié)合的應(yīng)用型課程。目前，常微分方程已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于物理、生物、氣象、工程、醫(yī)學等領(lǐng)域[1-2]。教育部在《關(guān)于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》中指出“加強高等學校本科教學工作的主要任務(wù)和要求是：著眼于國家發(fā)展和人的全面發(fā)展需要，加大教學投入，強化教學管理，深化教學改革，堅持傳授知識、培養(yǎng)能力、提高素質(zhì)協(xié)調(diào)發(fā)展，更加注重能力培養(yǎng)，著力提高大學生的學習能力、實踐能力和創(chuàng)新能力，全面推進素質(zhì)教育”。因此，為適應(yīng)當前教學改革和素質(zhì)教育的需要，培養(yǎng)大批理論與應(yīng)用能力較強的復合型人才，結(jié)合師范類本科院校的培養(yǎng)目標、常微分方程發(fā)展的現(xiàn)狀及主流趨勢，對傳統(tǒng)常微分方程教學做了一些探索。

1 優(yōu)選教材，優(yōu)化內(nèi)容

根據(jù)師范類本科院校培養(yǎng)目標以及學生的實際情況，我們選用了“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材，王高雄等編著的《常微分方程》(第三版)。此教材共有七章，其中第一章至第五章研究的是線性微分方程，該部分關(guān)注方程的定量求解；第六章研究的是非線性微分方程，該部分重點對微分方程進行定性分析；第七章研究的是偏微分方程，它可以看作是與前六章獨立的一個板塊，也是微分方程的另一個分支領(lǐng)域。

隨著教學改革的不斷深入，專業(yè)課程的設(shè)置以及課時重新調(diào)整已是趨勢。由于學時的不斷減少，導致教學內(nèi)容相對增加，這給教學帶來了不小的影響。通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某些普通本科高校把常微分方程的重點教學放在了前五章，以要求學生掌握常微分方程的初等解法為主要目標；在時間允許的情況下次要講第六章；受限于學生的水平以及學時的限制，第七章及附錄幾乎不講。上述教學設(shè)計是有瑕疵的，可進一步改進。事實上，一方面，前五章幾類特殊的線性微分方程(組)的求解這一知識體系早在幾百年前就已經(jīng)非常成熟，第六章非線性微分方程的定性分析才是近代常微分方程研究的主流方向且目前仍在發(fā)展中。另一方面，當前已是信息化時代，計算機技術(shù)在混沌、孤立子與分形、數(shù)值模擬中的應(yīng)用也相當廣泛前沿。 因此，在教學大綱的基本要求下, 本著重視基礎(chǔ)、突出重點原則，基于對師范生后續(xù)發(fā)展的考慮，我們對教材內(nèi)容進行了優(yōu)化處理：

1. 將解的延拓、解對初值的連續(xù)性和可微性定理、一階線性偏微分方程作為選學內(nèi)容，教師只利用 2～ 3 課時給學生作簡單的指導。而將常數(shù)變易法、積分因子、解的存在唯一性定理、常系數(shù)線性方程(組)、Euler方程、穩(wěn)定性、V函數(shù)方法和奇點的分類作為重點講授內(nèi)容。

2. 第一章重點講授微分方程的基本概念，并把常微分方程模型應(yīng)用于數(shù)學建模課程，介紹單擺模型、Logistic模型、傳染病模型、捕食模型、Lorenz模型，用MATLAB演示附錄Ⅱ中上述模型的軌跡圖，使同學們對常微分方程的研究背景有一個直觀理解。

3. 第二章講授恰當方程時, 聯(lián)系數(shù)學分析中曲線積分的相關(guān)知識, 補充恰當方程的線積分求解公式[3]。

4. 第三章講授解的存在唯一性定理的證明時，重點突出皮卡迭代和逐步逼近思想方法，它是研究微分方程解的存在性的一種重要工具。

5. 第四章與第五章統(tǒng)一起來講授，建立高階微分方程與一階線性微分方程組之間的關(guān)系，這使得章節(jié)之間具有聯(lián)系性，在敘述上使第四章與第五章更加簡潔直觀。對于齊次與非齊次線性微分方程(組)的學習，要求學生對比高等代數(shù)中相應(yīng)的概念與解的性質(zhì)[4]。

6. 講授第六章非線性微分方程時，一定要強調(diào)與前五章的研究方法和側(cè)重點的區(qū)別：第六章非線性微分方程主要是對微分方程進行定性分析，前五章主要是對微分方程進行定量計算。結(jié)合文獻[5]，對教材第六章零解穩(wěn)定性授課做如下安排。當特征方程沒有零根或零實部時，非線性微分方程與線性微分方程零解的穩(wěn)定性態(tài)一致。此時，非線性微分方程零解的穩(wěn)定性容易分析。當特征方程沒有正實部的根，但有零根或者零實部的根時，非線性微分方程的穩(wěn)定性態(tài)不能由線性方程近似代替。此時，可用構(gòu)造V函數(shù)的方法分析非線性微分方程零解的穩(wěn)定性。某些復雜的常微分方程無法構(gòu)造出V函數(shù)，所以需要引入新的方法來判斷非線性微分方程零解的穩(wěn)定性。當前比較前沿的一種方法是利用KAM理論和牛頓迭代法，該部分內(nèi)容留給有余力完成的同學自學。對于含參數(shù)的常微分方程，方程零解的穩(wěn)定性依賴于參數(shù)。當參數(shù)變化時，方程的平衡點的個數(shù)、穩(wěn)定性態(tài)可能發(fā)生改變，此時可分析系統(tǒng)的分支、混沌現(xiàn)象。該部分內(nèi)容留給有余力完成的同學自學。

2 滲透數(shù)學思想，培養(yǎng)邏輯思維

思維是認識的高級階段，即通常人們所指的理性認識階段。形象思維與抽象思維是人類思維的兩種基本形式，抽象思維即邏輯思維，它是指人們在認識過程中借助于概念、判斷、推理反映現(xiàn)實的過程，是科學研究的基本思維方式，它以科學的抽象概念揭示事物的本質(zhì)，敘述認識現(xiàn)實的結(jié)果[6]。數(shù)學邏輯思維是建立在邏輯思維和形象思維基礎(chǔ)之上的一種理性思考方式。通過常微分方程的教學，期望能夠培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。例如，學生曾提問：“為什么常微分方程課本第六章會講授混沌，什么是混沌，為什么研究它？” 為了培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，組織學生開展以“蝴蝶效應(yīng)”為主題的小組活動，講授思路、步驟如下：

1.讓學生分組課下自行查閱、搜集相關(guān)文獻，引導學生了解蝴蝶效應(yīng)故事背景等。

2.在教師的引導下對蝴蝶效應(yīng)的定義進行概括性描述：“蝴蝶效應(yīng)是指初始條件十分微小的變化經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極大的差別”。美國學者洛倫茲認為：“盡管擁有高速計算機和精確地數(shù)據(jù)測量，也難以獲得準確的長期的天氣預報”。

3.蝴蝶效應(yīng)是混沌現(xiàn)象的一個最經(jīng)典例子，引出混沌的精確定義。

4.提出疑問、自問自答。既然混沌是混亂的不可預測的，那么是不是混沌就沒有一點規(guī)律可循？ 事實上不是的。哲學指出，世界萬物都是在不斷變化的，無序與有序是相輔相成的，無序中也蘊含著有序。看似雜亂無章的混沌并不是完全隨機的，相反，它卻是有跡可循的，有著內(nèi)在普適的規(guī)律?；煦绲闹饕芯款I(lǐng)域之一就是混沌控制理論。

5.混沌理論的前沿應(yīng)用與展望?；煦缋碚撘驯粡V泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如商業(yè)周期研究、動物種群動力學、行星運轉(zhuǎn)軌道、半導體電流、醫(yī)學預測 (如癲癇發(fā)作)、天氣預報等。當今世界仍存在著無限可能，混沌這個課題才剛剛開始并且會不斷地發(fā)展下去。

上述授課安排體現(xiàn)了層次遞進的數(shù)學邏輯思維，從“混沌的研究背景-蝴蝶效應(yīng)”到“混沌的精確定義”，再到“研究內(nèi)容”，最后到“前沿應(yīng)用與發(fā)展趨勢”，較清晰地解答學生的疑問。

3 課程教學中存在的問題與改進

作為師范類本科院校，不僅承擔著傳授學生知識的任務(wù)，同時承擔著為我國培養(yǎng)優(yōu)質(zhì)師范生的責任。然而通過常微分方程的聽課與交流，發(fā)現(xiàn)有些年輕教師在課程教學方面存在問題。受文獻[7-8]的啟發(fā)并結(jié)合常微分方程課程特點，本文給出具體問題和改進方案如下：

1.教學方法形式單一，學生參與教育實踐環(huán)節(jié)薄弱。目前，由于課時量的限制，很多高校教師對常微分方程基本是按傳統(tǒng)方式授課——教師講學生聽，缺乏互動，缺乏學生探索。 本文認為，應(yīng)該把講授、討論、演示、自主探索等教學方法根據(jù)不同章節(jié)靈活運用。

第一章建議采用自主學習和課堂討論的方式教學，讓學生了解常微分方程的發(fā)展歷史、主要研究問題、如何用方程建立數(shù)學模型，同時教師演示利用MATLAB處理一些微分方程模型的圖像等。

第二章至第五章，建議采用PPT與傳統(tǒng)板書相結(jié)合、學生與教師互動的教學方法進行相關(guān)內(nèi)容的教學。尤其第三章講授“解的存在唯一性定理”證明時，由于證明過程非常長且思路繁瑣，該部分更應(yīng)該用PPT展式證明思路和方法概要，并用板書補充細節(jié)。

第六章“微分方程定性理論”，其內(nèi)容主要包括奇點的分類、解的穩(wěn)定性、V函數(shù)的構(gòu)造等。這部分內(nèi)容是重難點、前沿內(nèi)容，應(yīng)以教師講授為主。因為學生對該部分掌握是否扎實，直接關(guān)系到對后續(xù)課程的學習和研究。對于分支、混沌等選修內(nèi)容，建議留給學生自學探索為主，把全班學生分成幾個小組，把章節(jié)下放到每個組，由小組自行組織探討學習，然后抽取兩個課時集中匯報、教師點評，此時教師可利用MATLAB畫出分支圖，數(shù)形結(jié)合直觀地展示該部分研究內(nèi)容，便于同學們理解。這樣既節(jié)約了時間，同時又提升了學生的參與和探索能力，并且對師范生教學有啟發(fā)作用，有利于他們今后的教學研究。

2.教學內(nèi)容較陳舊，沒有緊跟前沿研究動態(tài)及時更新、補充教學內(nèi)容。傳統(tǒng)的常微分方程教學過多側(cè)重于求精確解，例如求一階線性微分方程(組)的精確解，或者求常系數(shù)非齊次線性微分方程在特殊條件下的精確解。然而事實上很多方程或者動力系統(tǒng)無法求精確解，例如Riccati方程、N體問題等。隨著常微分方程近幾十年的快速發(fā)展，目前該課程的研究領(lǐng)域更側(cè)重于定性分析、求近似解、數(shù)值模擬等內(nèi)容，這些研究內(nèi)容又與“偏微分方程”“泛函微分方程”“脈沖微分方程”“控制理論”等專業(yè)研究課程緊密聯(lián)系。在學時范圍內(nèi)適當補充一部分國內(nèi)外最新研究內(nèi)容和動態(tài)，旨在使學生在后續(xù)的專業(yè)課程學習中對前沿知識有初步的了解，有利于學生把握這門課程的發(fā)展方向，為后續(xù)研究生階段的學習打下良好的基礎(chǔ)。

4 考核方法改進

考試是教學過程的重要組成部分，是衡量學生學習能力和評估教學質(zhì)量的有效手段。 純粹的閉卷考核強調(diào)記憶和理論，忽略了實踐環(huán)節(jié)，在某種程度上存在缺陷。 因此，改革“一考定終身”的考核制度具有重要意義。受文獻[9]啟發(fā)并結(jié)合課程的特點, 對于常微分方程課程的考核，可以采用“多模塊綜合評價”的考核方法?？己丝煞譃槠綍r成績、期中成績、期末成績、實踐考查四個環(huán)節(jié)，并對每個環(huán)節(jié)設(shè)置相應(yīng)的分值比例，最后取總評成績。具體來說，平時成績占10%，期中成績占30%，期末成績占40%，實踐考查占20%。

1.平時成績。由于出勤率、按時保質(zhì)完成作業(yè)是作為一名學生最基本要求之一，尤其對師范類本科生而言更是如此，他們不僅是學生，而且是祖國未來的教師，更應(yīng)該懂得言傳身教的道理。平時成績比例不宜設(shè)置過高，只需表達出對學生平時認真上課的肯定態(tài)度即可。平時成績中上課考勤占 30%，學生必須按時上課，事、病假情況必須有審批假條，無假條按曠課處理； 課堂表現(xiàn)占 40%，主要考查學生課堂上參與討論、提問、發(fā)言的積極性；作業(yè)完成情況占30%，學生應(yīng)按時保質(zhì)完成作業(yè)，不會的可以查閱相關(guān)資料、與同學討論、到辦公室問老師，堅決杜絕雷同作業(yè)。

2.期中考試。采取閉卷考試的形式。由于只是為了對學生前半學期學習常微分方程課程的質(zhì)量與效果做一個考核、評價，因此，期中考試的分值占比應(yīng)低于期末考試。王高雄等編著的《常微分方程》(第三版)的特點是前半部分側(cè)重于對方程進行求解，同時該課程教學大綱也明確要求學生熟練掌握對不同類型的線性微分方程的求解，因此該部分出題建議以計算題為主要題型，以便考查學生對不同類型的微分方程求解的基本功是否扎實。另一方面，適當出一些基礎(chǔ)概念題，比如判斷方程是否線性、方程的階數(shù)、齊次與非齊次的概念等，以便學生理解、掌握對不同的微分方程進行分類，并相應(yīng)地采取不同方法處理問題。

3. 期末考試。采取閉卷考試的形式。期末考試在每學期末的全?？荚囍芗邪才?，用于全面考核學生這一學期對常微分方程課程的總體掌握情況。建議期末考試試卷適當包含一部分期中考試學過的內(nèi)容，一方面可使學生對前半學期學習內(nèi)容進行鞏固，另一方面便于學生對整個內(nèi)容有較系統(tǒng)的理解。期末考試的題型和難度要有一定區(qū)分度，可以含有論述微分方程解的存在唯一性定理、對微分方程的平衡解進行定性分析等題型，有利于學生掌握常微分方程較前沿的理論知識。由于論述題部分內(nèi)容難度相對較大，建議分值設(shè)置不宜過高。

4. 實踐考查。該部分采取考查的形式。具體評分標準不做統(tǒng)一要求，由任課教師自行制定合理方案并報相關(guān)部門備案。實踐考查部分包含：學習利用MATLAB軟件解微分方程、畫微分方程的相圖、分支圖；課后分小組分工收集、探索微分方程近代有哪些研究領(lǐng)域以及研究方法；根據(jù)自己的興趣愛好選擇常微分方程的一個點寫一篇小論文；教師與考生進行課程相關(guān)的問答，讓考生就某一主題發(fā)表評論及解答，題目不會很難，關(guān)鍵考查考生的知識積累、分析判斷能力、應(yīng)變能力，由記錄員做相應(yīng)記錄并由教師評分。學生可自行選擇一個考查內(nèi)容。這些考查內(nèi)容均具有較強的開放性，都與常微分方程課程緊密相關(guān)。該考查方式旨在充分調(diào)動學生思考的積極性，讓學生能夠根據(jù)興趣研究個性的發(fā)展，同時使得學生的學習充滿探究性，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新型人才。

以上考核制度應(yīng)在常微分方程課程的教學大綱中明確標出，并由任課教師在本課程開講后的前兩周內(nèi)告知學生?！岸嗄K綜合評價”的考核方式不僅使學生掌握該課程的理論知識，同時反映了學生的各方面綜合素質(zhì)，突出了學生的探索能力，有利于師范類本科院校人才的培養(yǎng)。

5 結(jié)語

作為師范類本科院校，常微分方程課程的教學不僅關(guān)系到學生專業(yè)課學習，也關(guān)系到這些學生未來教育下一代的教育質(zhì)量。我們期望通過本課程的教學，學生能夠在專業(yè)理論知識、實踐探索、教學技能等方面得到提升。本教學方案的關(guān)鍵在于用發(fā)展的眼光調(diào)整、優(yōu)化教學內(nèi)容和手段，既注重基礎(chǔ)知識講解又注重前沿知識探索，既注重教師啟發(fā)式教學又注重培養(yǎng)學生自主學習能力，把講授、討論、演示、自主探索等教學方法根據(jù)不同章節(jié)靈活運用，改進考核方法，從而提高學生的綜合素質(zhì)，達到培養(yǎng)優(yōu)秀師范生人才的目標。